怎样区分概率事件的类型

怎样区分概率事件的类型

高中阶段我们学习了等可能事件的概率、互斥事件至少有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复事件中恰好发生了ｋ次的概率。要运用好概率公式，首先要能区分概率事件的类型。下面我们通过实例来分析各种事件的特征。 例题：某人进行射箭游戏，每次射箭的结果互不影响，每次射中靶子的概率均为3

2，如果他有n 次是连续射中，这n 次得分分别记为1分、2分、… n 分；不是连续射中的，则每射中一次得1分；现在他一共射7箭。

（1） 求他在这7箭中射中了3次的概率；

（2） 求他的得分为4分的概率；

（3） 如果已知他在这7箭中射中3次，求得分不超过4分的概率；

分析：（1）这里研究的事件是每次射箭中与否，它们的结果是相互独立的，且是重复事件。

记事件i A 表示“第i 次射箭射中”(i =1、2、3、4、5、6、7)，2()3

i P A =

，所要求 的是7次独立重复事件中恰好发生了3次的概率，由公式得： 2187

280)31()32(43371=∙∙=C P （2）这里研究的事件是“得分”，它受到“每次射箭中与否，且有没有连续射中”的影响。

得分为4分有2种情况，它们是互斥事件：

○

1他在这7箭中射中4次但没有连续射中, 每次射箭是相互独立的，但一定是第1、3、5、7次射中，第2、4、6次没有射中。由相互独立事件同时发生的概率公式得： 4321()()33p =∙

○2他在这7箭中射中3次其中有2次连续射中，每次射箭是相互独立的，但是哪几次

射中有25A 种情形，＿○＿○●○＿○●●，每种情形的概率都是34

2

1

()()33∙ ∴'234521()()33p A =∙∙ ∴43234252

1

2

1

176()()()()33332187

P A =∙+∙∙= （３）已知他在这7箭中射中3次，得分只跟“射中的排序”有关。7箭中射中3次，４次

不中的总排序有37C 种，每种情形是等可能的。

不超过4分有2种情况:

○1他在这7箭中射中3次但没有连续射中，用插空法得3537

C p C = ○2他在这7箭中射中3次其中有2次连续射中，用插空法得2'

537A p C =

∴32553337767

C A P C C =+= 从上面的分析可以看出，相似问题在不同的背景下，事件的类型也不一样。同学们，做概率题时，将问题的背景弄清楚，确定好概率的类型很关键。试做一做下面的练习：

栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．

的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．

的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．

的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．

的概率． 解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =．

（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为

1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯= ；

（对立事件） （2）解：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，，

则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==．

（相互独立事件） 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

()0.420.550.580.450.492P AB AB +=⨯+⨯=．（互斥事件）