电场磁场中的边缘效应研究解读

x d / (r cos ln r ) y d / (r sin )
r const , 为参数的电力线方程
const , r 为参数的等位线方程
2：磁荷法

等效处理方法，其优势在于，不仅可求 解稳恒电流产生的静磁场问题，由于磁 荷与电荷形式上的相似性，还可等效地 处理静电场。这是利用磁荷法处理边缘 效应的理论基础。思路为： 电荷=>磁荷=>稳恒电流
1 共形映射
平行板电容器边缘非 均匀电场 虚线表示等势面。计 算一端时，可忽略另 一端之影响，该问题 可简化成，两平行半 平面导体板，距离2d， 电势分别为正负V0。

V=V0
Y
o
x
V=-V0
17.5 By Mathematical 15
电力线

Im Z d , Re Z d /
z
yy a b
o d L S
xx
以电容器左边矩形截面中心处0点为坐标原点，建立直角标 架。则该系统静电能可计算如下：
1 W E DdV 2V W F ex u const S
1 ex dz dy{ 0 E 2 [( L s ), y, z ] 2 d / 2 b / 2 E 2 [( L s), y, z ] E 2 [ s, y, z ] 0 E 2 [ s, y, z ]}
忽略边缘效应，会导致F=0，电场方向垂直向下。 前两式之形式等价性，说明我们至少可在忽略边缘 效应的条件下，用虚功原理求得一个形式上正确的 解。
三：边缘效应研究过程中的 方法体系
从理论上讲，我们完全可以依赖数学分 析的手段进行，但涉及复杂积分。或用 数值计算方法逼近，可是，我们总还是 希望有一个解析解。灵活运用一些新方 法，可达到事半功倍之效果。
四：结语
边缘效应是理论模型与实际问题的一个结 合点。如果对它置之不理，可能会使部分 研究结果的严密性，受到极大置疑。甚至 带来根本性的变化。我的研究只局限于电 场与磁场中的一些简单模型，只是在特定 情况下，计算和进行等效处理。可预见的 是，边缘效应的研究必将伴随其他相关科 学的发展而深入为科学研究服务。
x
2
1 E F ( x) ex( 0) dV 2 x V
X
若介质板的右端位于均匀区，左端远离边 缘电场。则该式可进一步化为我们通常意 义上的用静电能求静电力的形式。
!
虚功原理的实质是能量转化与守恒。在本例中，由 于介质的插入而引起的能量减少，是因为一部分能 量转化为极化能，如忽略边缘效应，边缘部分的能 量未计入在内，就不能从能量守恒的观点出发，用 虚功原理求解F。
*进一步在微观角度重新计算该力，结合虚功原理之实质， 指出通常意义下的利用静电能求静电力，只是给出了形式 上正确的解。只有结合边缘效应，才能真正解决该问题。
*归纳总结了处理边缘效应的方法体系
数学分析的方法
复变函数中Riemann共形映射理论 磁荷法
二 ：一个基点 ——平行板电容器

两极板间又介电常 数为 的介质，讨 论将介质抽出至如 图所示之位置时， 电极板所受之电场 力。假设两极板间 电压恒定。
d /2
b/2
由 虚 功 原 理
观察得，若介质板右端（x=s处），左端（x=-(L-s)处） 分别位于均匀区与无电场区（E=0)，则该式变为
这个力怎么产生，为什么可用 虚功原理来计算它？

产生机理：电容器边 缘不均匀区的存在， 使介质中极化的电偶 极子排列不均匀，当 介质移动时，横向力 F等于非均匀区所有 电偶极子受力的合力。
参考文献
[1]胡友秋，程福臻，刘之景.
电磁学.高等教育出版社. 1997.3
[2]潘永亮，汪芳庭，汪琥庭，宋立功. 复变函数. 科学出版社. 2004.3
[3]秦家桦 . 经典力学. 科大讲义.
感谢程福臻老师，孙霞老师的 耐心指导与启发！
谢谢大家！
电场磁场中的边缘效应研究
杨健 理学院03级物理三Hale Waihona Puke Baidu 指导老师：程福臻 孙霞
一、问题的提出
我对边缘效应的研究，缘起自程老师引导同学们进行的一 次激烈的课堂讨论。对抽拉介质过程中静电力的起因的探 讨，激发起我对原有模型的边缘效应的思考。
*计算全空间带电系统的总能量，得出在考虑边缘效应的 前提下，静电力的表达形式，并说明可以忽略边缘效应的 条件。

求解平行板附近的电场分部，极板间距d，场点离电容器 边缘远大于d，但远小于极板尺寸。
将上述面电荷分布代之以几何位形相同的平面磁荷分布。
0 IS mdS磁偶极子用圆电流环等效。 md I md I H 2r 20 r 0
按替换关系
pm mds 磁偶极矩
ed E 2 0r
的上半平面，做一个上 半w平面变成G的共形 映射，使V=0对应于正 实轴，割痕对应于负实 轴，该映射为 i.e.
X轴上V=0,根据其对称 性，只需考虑上半平面， 记G:有割痕
12.5 10 7.5 5 2.5 -15 -10 -5 5 10
等 位 线
15
Z d / ( ln )
平行板电容 器之一端