第二类曲线积分的计算
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r
其中，「是从点4(200)到B(3,4,5)再
到 C (3,4,0)的折线段.
垂直性定向曲线z是垂直于X轴的线段时，有
J p( x, y y)dx — 0.
L
因当z垂直于X轴时, cos a = 0,故 J p( x, y )dx =J p( x, y )cos adS = 0 L
L
同理，当L是垂直于y轴的线段时，有
J p43; Qdy + Rdz =
解⑴・・・L:
x="皿七e从0变到亦,
y = a sine
冗
原式=Jo a2 sin2 e(—a sine)de
=a3「(1 一 cos2 e)d (cos e) = — —
a3. 0
3
・ (2) x从a变L:到y —= 0a, ,
f 原式= 0dx = 0.
a
例2计算曲线积分J ydx + zdy + xdz,
a
特殊情形
⑴L: y = y(x) x起点，终点为b・ 则 £Pdx + Qdy =，(P[ x, y( x)] + Q[ x, y( x)] y'( x
^}dx.
(2) L: x = x(y) y起点，终点为d.
则 £Pdx + Qdy = (P[x(y),y]xf(y) + Q[x(y),y]}dy.
r
J(tb){]
Py'[(
Xt)
(+t).,ay
(t),
z
(t)]
x，(
t)
+
Q[
x
(t),
y
(t),
z
R[ x( t), y( t), z( t )]z'( t )}dt
例题
丄 例1计算 尸如其中Z为
⑴半径为a. 心为原点,按逆时针方向绕行 的上半 周;
(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(—a,0)的直线段.
转化为定积分的计算公式
定理 设P(X, y), Q(X, y)在定向光滑n曲线弧Z上连
续,Z的参数方程为 X = X t:a PT
(t), y =
则 L P (x, y y)dx + Qy((t )x，, y )dy
p
=J (P[x(t), y(t)]x，(t) + Q[x(t), y(t)]y'(t)}dt
其中，「是从点4(200)到B(3,4,5)再
到 C (3,4,0)的折线段.
垂直性定向曲线z是垂直于X轴的线段时，有
J p( x, y y)dx — 0.
L
因当z垂直于X轴时, cos a = 0,故 J p( x, y )dx =J p( x, y )cos adS = 0 L
L
同理，当L是垂直于y轴的线段时，有
J p43; Qdy + Rdz =
解⑴・・・L:
x="皿七e从0变到亦,
y = a sine
冗
原式=Jo a2 sin2 e(—a sine)de
=a3「(1 一 cos2 e)d (cos e) = — —
a3. 0
3
・ (2) x从a变L:到y —= 0a, ,
f 原式= 0dx = 0.
a
例2计算曲线积分J ydx + zdy + xdz,
a
特殊情形
⑴L: y = y(x) x起点，终点为b・ 则 £Pdx + Qdy =，(P[ x, y( x)] + Q[ x, y( x)] y'( x
^}dx.
(2) L: x = x(y) y起点，终点为d.
则 £Pdx + Qdy = (P[x(y),y]xf(y) + Q[x(y),y]}dy.
r
J(tb){]
Py'[(
Xt)
(+t).,ay
(t),
z
(t)]
x，(
t)
+
Q[
x
(t),
y
(t),
z
R[ x( t), y( t), z( t )]z'( t )}dt
例题
丄 例1计算 尸如其中Z为
⑴半径为a. 心为原点,按逆时针方向绕行 的上半 周;
(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(—a,0)的直线段.
转化为定积分的计算公式
定理 设P(X, y), Q(X, y)在定向光滑n曲线弧Z上连
续,Z的参数方程为 X = X t:a PT
(t), y =
则 L P (x, y y)dx + Qy((t )x，, y )dy
p
=J (P[x(t), y(t)]x，(t) + Q[x(t), y(t)]y'(t)}dt