2021新高考数学二轮总复习专题突破练12 三角变换与解三角形 含解析

专题突破 三角变换与解三角形

1.(2020江西名校大联考,理17)已知函数f (x )=2a sin π

2

-x cos (x -2π

3

),且f (π

3)=1. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期; (2)若f (α)=-1

3,α∈(0,π

2),求sin 2α.

2.(2020山东滨州二模,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=4, ,求△ABC 的周长L 和面积S.

在①cos A=3

5,cos C=√5

5,②c sin C=sin A+b sin B ,B=60°,③c=2,cos A=-1

4这三个条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答.

3.(2020北京,17)在△ABC 中,a+b=11,再从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)a 的值;

(2)sin C 和△ABC 的面积. 条件①:c=7,cos A=-1

7; 条件②:cos A=1

8,cos B=916.

4.(2020山东潍坊二模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

a=2√3,A=π

.

3

,求b;

(1)若B=π

4

(2)求△ABC面积的最大值.

5.(2020江苏,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=√2,B=45°.

(1)求sin C的值;

,求tan∠DAC的值.

(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-4

5

6.(2020山东济宁5月模拟,17)在①sin A,sin B,sin C成等差数列;②sin B,sin A,sin C 成等比数列;③2b cos C=2a-√3c三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S.若,且

4S=√3(b2+c2-a2),试判断△ABC的形状.

7.(2020山东潍坊一模,17)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(c-a ,sin B ),n =(b-a ,sin A+sin C ),且m ∥n . (1)求C ;

(2)若√6c+3b=3a ,求sin A.

8.(2020山东模考卷,18)在△ABC 中,∠A=90°,点D 在BC 边上.在平面ABC 内,过D 作DF ⊥BC 且DF=AC.

(1)若D 为BC 的中点,且△CDF 的面积等于△ABC 的面积,求∠ABC ; (2)若∠ABC=45°,且BD=3CD ,求cos ∠CFB.

答案及解析

1.解(1)由已知f (π

3)=1,得2a ×1

2×1

2=1,解得a=2.

所以f (x )=4cos x

√32sin x-12

cos x

=2√3sin x cos x-2cos 2x =√3sin2x-cos2x-1 =2sin (2x -π

6)-1.

所以f (x )=2sin (2x -π

6)-1的最小正周期为π.

(2)f (α)=-1

3,2sin (2α-π

6)-1=-1

3,sin (2α-π

6)=1

3,因为α∈(0,π

2),所以2α-π

6∈(-π6,5π

6

).

又因为sin (2α-π

6)=1

3<1

2,

所以2α-π6∈(0,π6).所以cos (2α-π6)=√1-sin 2(2α-π

6)=

2√2

3, 则sin2α=sin (2α-π

6)+π

6=sin (2α-π

6)cos π

6+cos (2α-π

6)sin π

6 =1

3×

√32

+

2√23

×1

2=

√3+2√2

6

. 2.解方案一:选条件①.

因为cos A=3

5,cos C=√5

5,且0

5,sin C=

2√5

5

. 在△ABC 中,A+B+C=π,即B=π-(A+C ),所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=4

5×√55+35

×

2√5

5

=

10√525

=

2√5

5

.由正弦定理得,b=asinB

sinA =

4×

2√5545

=2√5.

因为sin B=sin C ,所以c=b=2√5.

所以△ABC 的周长L=a+b+c=4+2√5+2√5=4+4√5,△ABC 的面积S=1

2ab sin C=1

2×4×2√5×

2√5

5

=8. 方案二:选条件②. c sin C=sin A+b sin B , 由正弦定理得,c 2=a+b 2. 因为a=4,所以b 2=c 2-4.

又因为B=60°,由余弦定理得b 2=c 2+16-2×4×c ×1

2, 所以c 2-4c+16=c 2-4, 解得c=5.所以b=√21.

所以△ABC 的周长L=a+b+c=4+√21+5=9+√21,△ABC 的面积S=1

2ac sin B=5√3. 方案三:选条件③.

c=2,cos A=-1

4,由余弦定理得,16=b 2+4+2×b×2×1

4, 即b 2+b-12=0,

解得b=3或b=-4(舍去).