有心力场中粒子的运动和氢原子的量子描述
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§13-4 有心力场中粒子的运动和氢原子的量子描述
1、电子在库仑场中的运动
考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量 为m，电荷为 -e，核电荷为 +Ze。取核在坐标原点(核固 定)，体系哈密顿函数为:
H 2 2 Ze2
2
r
定态Schrodinger方程为
22 2
Ze2 r
上式就是由实验总结出来的巴尔末公式。在旧量子论 中Bohr是加进量子化条件后得到的，而在量子力 学中是通过解Schrodinger方程自然而然地导出的， 这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。
Leabharlann Baidu
两个概念:
（1）束缚态——通常把在无限远处为0的波函数所描写的 状态称为束缚态；
一般地说，束缚态所对应的能级是分立的。
（2）能级简并、非简并——一个本征能量对应一个本征函 数称为能级非简并；一个本征能量对应几个本征函数称为能 级简并；
对 应 一 个 n ， l可 取 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 等 共 n 个 值 ，
而 对 一 个 l， m 可 取 m 0 , 1 , 2 , , l等 共 2 l 1 个 值 ，
因此,对应于第n个能级
E
,有
n
n1
(2l 1) n2
l 0
个本征波函数 .n lm
即,第n个能级是 n 度2 简并的,或称为简并度为 .n 2
例：给出n=2时所有的本征波函数表示 l 0m 0 200
n
2
l
m 1 m
0 210 1 211
m 1 211
2、氢原子 电子在核产生的库仑场中的运动
En
Z2e4
2 2n2
n 1, 2,3,
nlm(r,,) Rnl(r)Ylm(,)
l 0,1,2, ,n1 m0,1,2, ,l
前提:核固定!
对氢原子,严格说,应该考虑核的运动,即讨论的是两个粒子— —电子和核在库仑相互作用下的运动——两体问题！
径向波函数：Rnl (r) 13.4.30 ，
球 谐 函 数 ： Ylm ( , ) 13.4.14a .
n:主量子数，n1,2,3 l:角量子数，l 0,1,2, n1 m:磁量子数，m0， 1， 2，,l
能量是分离谱,函数是束缚态,粒子在无限远处不出现.
n l m 与 n , l , m 有 关 ， 而 E n 只 与 n 有 关 ， 所 以 能 级 E n 是 简 并 的 。
两体问题
质量——约化质量 单体问题
方程(1)称为氢原子的相对运动方程，解此方程得到一个电子 相对于核运动的波函数 (r)以及相对运动能量E，这就是就 是氢原子的波函数和能级。
由氢原子的相对运动方程
22 r2U(r)(r)E(r)
可见，同于电子在固定核的库仑场中的薛定谔方程， 故直接令Z=1，得到氢原子的能级和波函数：
22 r2
U(r)(r)
E(r)
1
2M2 R2(R)(ET E)(R)
2
其中(2)式是质心运动方程，描述能量为 (ET 的E自) 由粒子 的定态薛定谔方程，说明质心以能量 (ET 作E自) 由运动。
我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的第一个方程，它描述 一个质量为的粒子在势能为 U(r) 的力场中的运动。
E
z
r
球坐标下变为:
r
x
y
22 (r12)r(r2
r)sin1
(sin)sin12
2
2
Ze2E球坐
r
标
分离变量,化简方程:
r,,R rY,
……
定态Schrodinger方程的解——本征函数、本征值为:
E
n
Z 2e4
2 2n2
n 1, 2, 3,
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
r r1 r2
M
m1 m2
m1m 2 m1 m2
则有:
(r 1,r2) (R ,r)
1
2
1 1 2
2 1 2
R R
r r
则相对坐标和质心坐标下薛定谔方程形式为：
2
2
[2 M 2 R2 r 2 U (r)] (R ,r)E T (R ,r)
分离变量法,令:
R,r(r)(R)
Ψ(r1,r2)
2
2
[2m1 12 2m2 22 U(r)](r1,r2) ET(r1,r2)
其中，12和22分别是对r1,r2微分，
r r1 r2 ，ET为体系总能量，
m1,m2分别是电子和原子核的质量。
引入质心坐标R和相对坐标r,以及总质量M和约化质量μ:
R
m1r1 m 2 r2 m1 m2
(a)基态和电离能
n=1的态是基态，基态能量为：
E1
2
e4
2
当n→∞时，E∞=0 ，则电离能为：
EE1 2e2 413.579eV
(b)氢原子谱线
1 h [En
Em]
En 2
Em
e4 4 3
1 m 2
1 n2
RHC
1 m 2
1 n2
里 德 堡 常 数 ： R H 4e 3 4 C 1 .0 9 7 1 0 7m 1
En
e4
2 2n2
n 1, 2,3,
nlm Rnl (r)Ylm ( ,)
径向波函数：Rnl (r) 13.4.30Z=1，
球谐函数：Ylm(,) 13.4.14aZ=1.
n:主量子数，n1,2,3 l:角量子数，l 0,1,2, n1 m:磁量子数，m0， 1， 2，,l
由能级公式得到下面结论：
§13-4 有心力场中粒子的运动和氢原子的量子描述
1、电子在库仑场中的运动
考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量 为m，电荷为 -e，核电荷为 +Ze。取核在坐标原点(核固 定)，体系哈密顿函数为:
H 2 2 Ze2
2
r
定态Schrodinger方程为
22 2
Ze2 r
上式就是由实验总结出来的巴尔末公式。在旧量子论 中Bohr是加进量子化条件后得到的，而在量子力 学中是通过解Schrodinger方程自然而然地导出的， 这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。
Leabharlann Baidu
两个概念:
（1）束缚态——通常把在无限远处为0的波函数所描写的 状态称为束缚态；
一般地说，束缚态所对应的能级是分立的。
（2）能级简并、非简并——一个本征能量对应一个本征函 数称为能级非简并；一个本征能量对应几个本征函数称为能 级简并；
对 应 一 个 n ， l可 取 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 等 共 n 个 值 ，
而 对 一 个 l， m 可 取 m 0 , 1 , 2 , , l等 共 2 l 1 个 值 ，
因此,对应于第n个能级
E
,有
n
n1
(2l 1) n2
l 0
个本征波函数 .n lm
即,第n个能级是 n 度2 简并的,或称为简并度为 .n 2
例：给出n=2时所有的本征波函数表示 l 0m 0 200
n
2
l
m 1 m
0 210 1 211
m 1 211
2、氢原子 电子在核产生的库仑场中的运动
En
Z2e4
2 2n2
n 1, 2,3,
nlm(r,,) Rnl(r)Ylm(,)
l 0,1,2, ,n1 m0,1,2, ,l
前提:核固定!
对氢原子,严格说,应该考虑核的运动,即讨论的是两个粒子— —电子和核在库仑相互作用下的运动——两体问题！
径向波函数：Rnl (r) 13.4.30 ，
球 谐 函 数 ： Ylm ( , ) 13.4.14a .
n:主量子数，n1,2,3 l:角量子数，l 0,1,2, n1 m:磁量子数，m0， 1， 2，,l
能量是分离谱,函数是束缚态,粒子在无限远处不出现.
n l m 与 n , l , m 有 关 ， 而 E n 只 与 n 有 关 ， 所 以 能 级 E n 是 简 并 的 。
两体问题
质量——约化质量 单体问题
方程(1)称为氢原子的相对运动方程，解此方程得到一个电子 相对于核运动的波函数 (r)以及相对运动能量E，这就是就 是氢原子的波函数和能级。
由氢原子的相对运动方程
22 r2U(r)(r)E(r)
可见，同于电子在固定核的库仑场中的薛定谔方程， 故直接令Z=1，得到氢原子的能级和波函数：
22 r2
U(r)(r)
E(r)
1
2M2 R2(R)(ET E)(R)
2
其中(2)式是质心运动方程，描述能量为 (ET 的E自) 由粒子 的定态薛定谔方程，说明质心以能量 (ET 作E自) 由运动。
我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的第一个方程，它描述 一个质量为的粒子在势能为 U(r) 的力场中的运动。
E
z
r
球坐标下变为:
r
x
y
22 (r12)r(r2
r)sin1
(sin)sin12
2
2
Ze2E球坐
r
标
分离变量,化简方程:
r,,R rY,
……
定态Schrodinger方程的解——本征函数、本征值为:
E
n
Z 2e4
2 2n2
n 1, 2, 3,
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
r r1 r2
M
m1 m2
m1m 2 m1 m2
则有:
(r 1,r2) (R ,r)
1
2
1 1 2
2 1 2
R R
r r
则相对坐标和质心坐标下薛定谔方程形式为：
2
2
[2 M 2 R2 r 2 U (r)] (R ,r)E T (R ,r)
分离变量法,令:
R,r(r)(R)
Ψ(r1,r2)
2
2
[2m1 12 2m2 22 U(r)](r1,r2) ET(r1,r2)
其中，12和22分别是对r1,r2微分，
r r1 r2 ，ET为体系总能量，
m1,m2分别是电子和原子核的质量。
引入质心坐标R和相对坐标r,以及总质量M和约化质量μ:
R
m1r1 m 2 r2 m1 m2
(a)基态和电离能
n=1的态是基态，基态能量为：
E1
2
e4
2
当n→∞时，E∞=0 ，则电离能为：
EE1 2e2 413.579eV
(b)氢原子谱线
1 h [En
Em]
En 2
Em
e4 4 3
1 m 2
1 n2
RHC
1 m 2
1 n2
里 德 堡 常 数 ： R H 4e 3 4 C 1 .0 9 7 1 0 7m 1
En
e4
2 2n2
n 1, 2,3,
nlm Rnl (r)Ylm ( ,)
径向波函数：Rnl (r) 13.4.30Z=1，
球谐函数：Ylm(,) 13.4.14aZ=1.
n:主量子数，n1,2,3 l:角量子数，l 0,1,2, n1 m:磁量子数，m0， 1， 2，,l
由能级公式得到下面结论：