1.1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其运算

教学目标这节课你将学到：

1．理解空间向量的概念

2、掌握空间向量的加减法及线性运算

重点理解空间向量的概念

难点掌握空间向量的线性运算

复习引入1、平面向量的概念

2、平面向量的运算

向量加法的三角形法则向量加法的平行四边形法则

向量减法的三角形法则

新 授

一、 空间向量 1、概念

2、空间向量的运算 （1）加法——三角形法则、平行四边形法则

（2）减法——三角形法则

如下图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中：

AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 那么

AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ?

★向量共面：一般地，空间中的多个向量，如果表示它

们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面 （试着找出上图中哪些向量共面？哪些不共面） 共面向量： AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗ … 不共面的向量： AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

平面向量概

念中去掉“在平面上”换成

“在空间中”即为空间向

量概念

这两组向量

都在同一个

侧面上

由图可知这

一组向量不

在同一侧面

上，这样的两

个向量加法

怎样进行呢？

平移之后共面即可

A

DD1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AB

⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC

⃗⃗⃗⃗⃗ …

【结论】空间中任意两个向量是共面但任意三个向量却不一定共面

（3）运算律

（答案：DB1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）

【结论】三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量。

3、空间向量的线性运算

B

C

D

A B

C

D

A

★线性运算：空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算。

例2、设AB是空间中任意一条线段，O是空间中任意一点，求证：M为AB中点的充要条件是

证明：（略）

类似的有：

例3、如图1-1-10所示的三棱锥A-BCD中，O为CD的中点，化简

并在图中作出表示化简结果的向量

解： AB

⃗⃗⃗⃗⃗ +1

2

(BC

⃗⃗⃗⃗⃗ +BD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

=AB

⃗⃗⃗⃗⃗ +BO

⃗⃗⃗⃗⃗

=AO

⃗⃗⃗⃗⃗

4、空间向量数量积

例4、如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角：

解：（1）π

4（2）3π

4

（3）3π

4

（4）π

4、空间向量数量积

在上式中：

|a|cos〈a ,b⃗〉称为向量a在b⃗方向上投影的数量

|b⃗|cos〈a ,b⃗〉称为向量b⃗在a方向上投影的数量【性质】

练习教材11页A、B组

作业

小结1．理解空间向量的概念

2、掌握空间向量的加减法及线性运算教学反思