实数域(有理数域)上反对称矩阵的相似(合同)分类
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五.参考文献............................................................................................................ ‐ 33 ‐
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北京工业大学毕业设计（论文）
一.绪 论
（一）背景资料
This article focuses on the special charm of this matrix: real skew symmetric matrices. This thesis introduces some basic properties of real skew symmetric matrix. By careful discussion, we deduce that real skew symmetric matrix has many properties, which are nearly parallel to the theory that the symmetric matrix. It is similar to the (contract) with a quasi-diagonal matrix. Then we investigate the appropriate orthogonal matrix such that real skew-symmetric matrix are similar (congruent) to quasi-diagonal matrix. Finally, we describe the construction method of real skew-symmetric matrix. By a series of study, we can understand skew-real symmetric matrix clearly, and enjoy the "beautiful" experience of skew-symmetric matrix fully. Key words: skew-symmetric matrix, similarity, congruent transformation
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北京工业大学毕业设计（论文）
目录
目录
一.绪 论................................................................................................................. ‐ 4 ‐ （一）背景资料................................................................................................ ‐ 4 ‐ （二）预备知识................................................................................................ ‐ 6 ‐ 2.1 矩阵转置： ................................................................................................. ‐ 6 ‐ 2.2 矩阵的相似与合同 ..................................................................................... ‐ 7 ‐ 2.3 对角矩阵和对称矩阵 ................................................................................. ‐ 8 ‐ 2.4 正（负）定矩阵和半正（负）定矩阵 ..................................................... ‐ 9 ‐ 2.5 欧式空间 .............................................................................................这个结论可以把求正交矩阵 T 分成以下步骤：
(1)求出矩阵 的所有特征值。
(2)对于每个特征值，求出相对应的特征向量，将所有的特征向量进行
Schimidt 正交化，单位化。
(3)因为每个特征值分别不同，所以所对应的特征向量 ， ，……， 都
是两两正交的，由引理 3 和推论得知这些特征向量的实部和虚部也是正交
阵，即：
定理：设 A 是 n 阶反对称矩阵，存在正交矩阵 T，使得 A 正交相似于一个准
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北京工业大学毕业设计（论文）
对角矩阵；每个小的对角矩阵是一个与 A 的特征值相对应的二阶实数矩阵。即 存在正交矩阵 T，使得
0 0 0 0
以及求正交矩阵 T 的算法：
0 0 0
第一种算法（特殊算法）：根据这个结论可以把求正交矩阵 T 分成以下步骤：
的。因此分别取实部和虚部，他们就构成了 的一组标准正交基，这样
就可以求出正交矩阵 T 了。
以及反对称矩阵的构造方法：
(1) 将特征值写成形如引理 5 中矩阵 B 的形式
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(2) 任取一个同阶实矩阵，将其 Schimidt 正交化，得到正交矩阵 T。
(3) 计算
，其中 A 就是构造出来的实反对称矩阵。
线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线
性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。而在线性代数中最重要的内容就是行
列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这
两个课题的文章。1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来
比如方阵的元素为多项式时）。而矩阵表达的是一个数表的关系。
矩阵有很多特殊的形式，比方说对角矩阵、对称矩阵、0 矩阵、反对称矩阵、
正 交 矩 阵 等 ， 而 矩 阵 的 之 间 的 关 系 也 是 多 种 多 样 。 1855 年 ， 埃 米 特
(C.Hermite,1822-1901 年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的
的乘积中，结果就是现在称之为秩为 1 的矩阵，或简单矩阵。
因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又
发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可
以不等。
行列式和矩阵有根本上的差别。行列式是一个表达式，是对一个方阵中的元
素经过有规律的运算后得到的一个数（广义的说也可以是形式上的运算和结果，
(1) 计算 。
(2) 求出矩阵 的所有特征值。
(3) 对于每个特征值，求出相对应的特征向量，将所有的特征向量进行
Schimidt 正交化，单位化。
(4) 因为每个特征值分别不同，所以所对应的特征向量 ， ，……， 都
是两两正交的。因此他们就构成了 的一组标准正交基，这样就可以求
出正交矩阵 T 了。
（二）预备知识
2.1 矩阵转置：
设A为
阶矩阵（即 m 行 n 列），第 i 行 j 列的元素是 ，即：
定义 A 的转置为这样一个
阶矩阵 B，满足
三.结论.................................................................................................................... ‐ 29 ‐ 四.致谢............................................................................................................. ‐ 32 ‐
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Abstract
In the world of mathematics, there are many concepts and results. They are always expressed by mathematical symbols, it is too abstract and difficult to understand. In the matrix theory, many results are similar to this. However there also have many beautiful matrix are showed to us.
源于拉丁语，代表一排数。数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两
个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既
不等于
）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（Die lineale
Ausdehnungslehre） 一书中提出的。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵
二.实反对称矩阵及其性质.................................................................................... ‐ 11 ‐ （一）实反对称矩阵的概念.......................................................................... ‐ 11 ‐ （二）实反对称矩阵的性质.......................................................................... ‐ 11 ‐ （三）实反对称矩阵相似于准对角矩阵...................................................... ‐ 13 ‐ （四） 的特征值问题及其性质 ................................................................. ‐ 18 ‐ （五）第二型反对称矩阵.............................................................................. ‐ 20 ‐ （六）实反对称矩阵对角化相对应的正交矩阵的解法.............................. ‐ 21 ‐ （七）实反对称矩阵的构造.......................................................................... ‐ 26 ‐
特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施
(A.Clebsch,1831-1872 年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特
征根性质。而反对称矩阵恰恰于对称矩阵有着许多的相似之处，比方说实
对称矩阵的特征值都为实数，而反对称矩阵的特征值为 0 或者纯虚数。
本文主要是通过对反对称矩阵的研究，看其能否相似于一个很好的准对角矩
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摘要
数学世界中有很多概念和结论，以纯数学符号呈示和纯数学语言解说，便显 得过于抽象、过于复杂与难以理解。矩阵论中的许多概念便属于这种情形，但是 在矩阵世界中，也有些矩阵也完全可是说成是“美”的呈现。本文就主要讨论了 这种充满魅力的特殊矩阵：实反对称矩阵。本文首先介绍了实反对称矩阵的一些 基本性质，通过对基本性质的研究推导出了与实对称矩阵近乎平行的一套理论， 即实反对称矩阵相似（合同）与一个准对角矩阵等。再由实反对称矩阵相似（合 同）准对角矩阵引出求相应的正交矩阵的方法。最后，给出了构造实反对称矩阵 的方法。通过以上一系列的研究，我们可以更加直观的了解实反对称矩阵，充分 感受反对称矩阵给我们带来的“美”的享受。 关键字：反对称矩阵，相似，合同变换。
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一.绪 论
（一）背景资料
This article focuses on the special charm of this matrix: real skew symmetric matrices. This thesis introduces some basic properties of real skew symmetric matrix. By careful discussion, we deduce that real skew symmetric matrix has many properties, which are nearly parallel to the theory that the symmetric matrix. It is similar to the (contract) with a quasi-diagonal matrix. Then we investigate the appropriate orthogonal matrix such that real skew-symmetric matrix are similar (congruent) to quasi-diagonal matrix. Finally, we describe the construction method of real skew-symmetric matrix. By a series of study, we can understand skew-real symmetric matrix clearly, and enjoy the "beautiful" experience of skew-symmetric matrix fully. Key words: skew-symmetric matrix, similarity, congruent transformation
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一.绪 论................................................................................................................. ‐ 4 ‐ （一）背景资料................................................................................................ ‐ 4 ‐ （二）预备知识................................................................................................ ‐ 6 ‐ 2.1 矩阵转置： ................................................................................................. ‐ 6 ‐ 2.2 矩阵的相似与合同 ..................................................................................... ‐ 7 ‐ 2.3 对角矩阵和对称矩阵 ................................................................................. ‐ 8 ‐ 2.4 正（负）定矩阵和半正（负）定矩阵 ..................................................... ‐ 9 ‐ 2.5 欧式空间 .............................................................................................这个结论可以把求正交矩阵 T 分成以下步骤：
(1)求出矩阵 的所有特征值。
(2)对于每个特征值，求出相对应的特征向量，将所有的特征向量进行
Schimidt 正交化，单位化。
(3)因为每个特征值分别不同，所以所对应的特征向量 ， ，……， 都
是两两正交的，由引理 3 和推论得知这些特征向量的实部和虚部也是正交
阵，即：
定理：设 A 是 n 阶反对称矩阵，存在正交矩阵 T，使得 A 正交相似于一个准
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北京工业大学毕业设计（论文）
对角矩阵；每个小的对角矩阵是一个与 A 的特征值相对应的二阶实数矩阵。即 存在正交矩阵 T，使得
0 0 0 0
以及求正交矩阵 T 的算法：
0 0 0
第一种算法（特殊算法）：根据这个结论可以把求正交矩阵 T 分成以下步骤：
的。因此分别取实部和虚部，他们就构成了 的一组标准正交基，这样
就可以求出正交矩阵 T 了。
以及反对称矩阵的构造方法：
(1) 将特征值写成形如引理 5 中矩阵 B 的形式
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北京工业大学毕业设计（论文）
(2) 任取一个同阶实矩阵，将其 Schimidt 正交化，得到正交矩阵 T。
(3) 计算
，其中 A 就是构造出来的实反对称矩阵。
线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线
性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。而在线性代数中最重要的内容就是行
列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这
两个课题的文章。1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来
比如方阵的元素为多项式时）。而矩阵表达的是一个数表的关系。
矩阵有很多特殊的形式，比方说对角矩阵、对称矩阵、0 矩阵、反对称矩阵、
正 交 矩 阵 等 ， 而 矩 阵 的 之 间 的 关 系 也 是 多 种 多 样 。 1855 年 ， 埃 米 特
(C.Hermite,1822-1901 年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的
的乘积中，结果就是现在称之为秩为 1 的矩阵，或简单矩阵。
因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又
发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可
以不等。
行列式和矩阵有根本上的差别。行列式是一个表达式，是对一个方阵中的元
素经过有规律的运算后得到的一个数（广义的说也可以是形式上的运算和结果，
(1) 计算 。
(2) 求出矩阵 的所有特征值。
(3) 对于每个特征值，求出相对应的特征向量，将所有的特征向量进行
Schimidt 正交化，单位化。
(4) 因为每个特征值分别不同，所以所对应的特征向量 ， ，……， 都
是两两正交的。因此他们就构成了 的一组标准正交基，这样就可以求
出正交矩阵 T 了。
（二）预备知识
2.1 矩阵转置：
设A为
阶矩阵（即 m 行 n 列），第 i 行 j 列的元素是 ，即：
定义 A 的转置为这样一个
阶矩阵 B，满足
三.结论.................................................................................................................... ‐ 29 ‐ 四.致谢............................................................................................................. ‐ 32 ‐
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北京工业大学毕业设计（论文）
Abstract
In the world of mathematics, there are many concepts and results. They are always expressed by mathematical symbols, it is too abstract and difficult to understand. In the matrix theory, many results are similar to this. However there also have many beautiful matrix are showed to us.
源于拉丁语，代表一排数。数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两
个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既
不等于
）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（Die lineale
Ausdehnungslehre） 一书中提出的。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵
二.实反对称矩阵及其性质.................................................................................... ‐ 11 ‐ （一）实反对称矩阵的概念.......................................................................... ‐ 11 ‐ （二）实反对称矩阵的性质.......................................................................... ‐ 11 ‐ （三）实反对称矩阵相似于准对角矩阵...................................................... ‐ 13 ‐ （四） 的特征值问题及其性质 ................................................................. ‐ 18 ‐ （五）第二型反对称矩阵.............................................................................. ‐ 20 ‐ （六）实反对称矩阵对角化相对应的正交矩阵的解法.............................. ‐ 21 ‐ （七）实反对称矩阵的构造.......................................................................... ‐ 26 ‐
特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施
(A.Clebsch,1831-1872 年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特
征根性质。而反对称矩阵恰恰于对称矩阵有着许多的相似之处，比方说实
对称矩阵的特征值都为实数，而反对称矩阵的特征值为 0 或者纯虚数。
本文主要是通过对反对称矩阵的研究，看其能否相似于一个很好的准对角矩
北京工业大学毕业设计（论文）
摘要
数学世界中有很多概念和结论，以纯数学符号呈示和纯数学语言解说，便显 得过于抽象、过于复杂与难以理解。矩阵论中的许多概念便属于这种情形，但是 在矩阵世界中，也有些矩阵也完全可是说成是“美”的呈现。本文就主要讨论了 这种充满魅力的特殊矩阵：实反对称矩阵。本文首先介绍了实反对称矩阵的一些 基本性质，通过对基本性质的研究推导出了与实对称矩阵近乎平行的一套理论， 即实反对称矩阵相似（合同）与一个准对角矩阵等。再由实反对称矩阵相似（合 同）准对角矩阵引出求相应的正交矩阵的方法。最后，给出了构造实反对称矩阵 的方法。通过以上一系列的研究，我们可以更加直观的了解实反对称矩阵，充分 感受反对称矩阵给我们带来的“美”的享受。 关键字：反对称矩阵，相似，合同变换。