鲁教版七年级数学上册第四章实数单元综合培优训练题2(附答案)

鲁教版七年级数学上册第四章实数单元综合培优训练题2（附答案）
一、单选题
1．规定：log a b(a＞0，a≠1,b＞0）表示a，b之间的一种运算,现有如下的运算法则：
log a a n＝n, log N M＝log
log
n
n
M
N
（
a＞0,a≠1,N＞0,N≠1，M＞0).例如：
log223＝3，log25＝10
10
log5
log2
,则log1001000＝（）A．
3
2
B．
2
3
C．2 D．3 2．在求23456789
1666666666
+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
23456789
1666666666
S=+++++++++……①
然后在①式的两边都乘以6，得：2345678910
66666666666
S=+++++++++……②②-①得10
661
S S
-=-，即10
561
S=-，所以
10
61
5
S
-
=.
得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出2342018
1...
a a a a a
++++++的值?你的答案是
A．
20181
1
a
a
-
-
B．
20191
1
a
a
-
-
C．
20181
a
a
-
D．20191
a-
3．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了()n
a b
+(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.
()1
a b
+=
1
()
a b a b
+=+
222
()2
a b a ab b
+=++
33222
()33
a b a a b ab b
+=+++
43223
44
()464
a b a a b a b ab b
+=++++
5
()
a b
+54322345
510105
a a
b a b a b ab b
=+++++⋅⋅⋅
则9
()
a b
+展开式中所有项的系数和是( )
A ．128
B ．256
C ．512
D ．1024
4．一个自然数的一个平方根是a ，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ） A ．1a ±+ B ．1a + C ．21a + D ．21a ±+ 5．按如图所示的运算程序，能使输出y 值为1的是（ ）
A ．11m n ==，
B ．10m n ==，
C ．12m n ==，
D ．21m n ==，
6．下列命题中正确的是（ ）
（1）0.027的立方根是0.3；（2）3a 不可能是负数；（3）如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0;(4)一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1. A ．（1）（3）
B ．（2）（4）
C ．（1）（4）
D ．（3）(4)
7．估算515+的运算结果应在（ ） A ．3到4之间
B ．4到5之间
C ．5到6之间
D ．6到7之间
8．定义运算，比如2⊗3=115
236
+=，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2⨂（﹣3）=
1
6
；②此运算中的字母均不能取零；③a ⊗b=b ⊗a ；④a ⊗（b+c ）=a ⊗c+b ⊗c ，其中正确是（ ） A ．①②④ B ．①②③
C ．②③④
D ．①③④
二、填空题
9．如图所示为一个按某种规律排列的数阵
根据数阵的规律，第7行倒数第二个数是_____. 10．我们把使方程
20192019
x y x y ++=⨯成立的一对整数(),2019,2019x y x y ≤≤的值叫做“2019吉祥数对”，记作(),x y ，如()0,0就是一对2019吉祥数，则所有2019吉祥数对中，x y +的最大值为__________.
11．若min {a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，当y ＝min {x 2，x +2，8﹣x }(x ≥0)
时，则y 的最大值是_____．
12．对于任意有理数a ，b ，规定一种新的运算a ⊙b ＝a （a +b ）﹣1，例如，2⊙5＝2×（2+5）﹣1＝13．则（﹣2）⊙6的值为_____
13．对于正整数a ，我们规定：若a 为奇数，则()f a 3a 1=+；若a 为偶数，则()a
f a .2
=例如()f 15315146=⨯+=，()8
f 842
=
=，若1a 16=，()21a f a =，()32a f a =，()43a f a =，⋯，依此规律进行下去，得到一列数1a ，2a ，3a ，4a ，⋯，n a ，(n
⋯为正整数)，则1232018a a a a +++⋯+=______．
14．对于这样的等式：若（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，则﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5的值为_____．
15．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A 、B ，则点A 表示的数为______.
16．将数1个1，2个
12，3个13，…，n 个1
n (n 为正整数)顺次排成一列：1、12、12
、
13、13、13
、…、1n 、1
n …，记123111,,,22a a a ===…，11S a =，212S a a =+，
3123S a a a =++，…，12...n n S a a a =+++，则S 2019=______．
17．一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是_____第2019个“智慧数”是_____． 18．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1)x A B A B A B ⊕=++++，如果5
213
⊕=，那么45⊕=__________．
1910__________π1
10
__________110．
20．归纳并猜想:
211+____; 222+的整数部分为____; 233+____;
(4)猜想:当n 为正整数时____,并把小数部分表示出来为____. 21．若四个有理数a b c d ，，，同时满足：a b >，a b c d +=+，a b c d -<-，则这四个数从小到大的顺序是_______． 三、解答题
22b 3-27|=0，求(a -b )b +1的算术平方根. 23．（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷
2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一
般地，把n 个a （a ≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”． （初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣12
）⑤
＝ ； （深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． （﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（﹣
12
）⑩
＝ ． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成乘方的形式等于 ； 24．（1）观察下列式子： ①100222112-=-==； ②211224222-=-==； ③322228442-=-==； ……
根据上述等式的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （2）求01220192222+++
+的个位数字.
25．定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为()f a
例如：19=a ，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是91，新两位数与原两位数
的和为9119110+=，和与11的商为1101110÷=，所以()1910f = 根据以上定义，完成下列问题：
（1）填空：①下列两位数：10，21，33中，“奇异数”有
. ②计算：()15f = .()10f m n += .
（2）如果一个“奇异数”b 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8f b =请求出这个“奇异数”b
（3）如果一个“奇异数”a 的十位数字是x ，个位数字是y ，且满足()510a f a -=，请直接写出满足条件的a 的值．
26．△AOB 中，∠AOB=90°，以顶点O 为原点，分别以OA 、OB 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（如图），点A （a ，0），B （0，b ）满足a b 2-+|a-2|=0
（1）点A 的坐标为 ；点B 的坐标为 ．
（2）如图①，已知坐标轴上有两动点D 、E 同时出发，点D 从A 点出发沿x 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点E 从O 点出发以每秒2个单位长度的速度沿y 轴正方向移动，点E 到达B 点时运动结束，AB 的中点C 的坐标是（1，2），设运动时间为t （t ＞0）秒，问：是否存在这样的t ，使S △OCD=S △OCE ？若存在，请求出t 的值：若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点F 是线段AB 上一点，满足∠FOA=∠FAO ，点G 是第二象限中一点，连OG 使得∠BOG=∠BOF ，点P 是线段OB 上一动点，连AP 交OF 于点Q ，当点P 在线段OB 上运动的过程中，OQA BAP
k OPA
∠+∠=
∠的值是否会发生变化？若不变，请求
出k 的值；若变化，请说明理由． 27．下面是按规律排列的一列数： 第1个数：11(1)2
--+
. 第2个数：()()23
1112(1)11234⎡⎤⎡⎤
----++
+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
.
第3个数：()()()()2345
111113(1)111123456⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
------++
+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
. …
(1)分别计算这三个数的结果(直接写答案).
(2)写出第2019个数的形式(中间部分用省略号，两端部分必须写详细)，然后推测出结果.
28．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ※b ＝221ab ab ++，如1※3＝1×23＋2×1×3＋1＝16． （1）求3※(－2)的值；
（2）若()2
410x y -++=，求12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
※(x ※y )的值； （3）若12n +⎛⎫
⎪⎝⎭
※3=16，则n 的值为 。

29
. 30．观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 （1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是
（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; . 请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。

31．对任意一个四位数n ，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n 为“极数”，记为n=()()xy 9x 9y -- 其中(1x 9,0y 9≤≤≤≤，且x 、y 为整数)
()1请任意写出两个“极数”；
()2猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
()3如果一个正整数a 是另一个正整数b 的平方，则称正整数a 是完全平方数，若四位
数m 为“极数”，记()m
D m .33
=
写出三个满足()D m 是完全平方数的m(只需直接写出
结果)．
32．已知(a-2b+1)2+3b -+2c -=0,求22a b c ++的值 33．观察下面的变形规律：
；
；
；…．
解答下面的问题： （1）仿照上面的格式请写出= ；
（2）若n 为正整数，请你猜想= ；
（3）基础应用：计算：．
（4）拓展应用1：解方程： =2016 （5）拓展应用2：计算：
．
34．已知a 是最大的负整数，b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，c 是单项式﹣2xy 2的系数，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数．
（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．
（2）若M 点在此数轴上运动，请求出M 点到AB 两点距离之和的最小值； （3）若动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒
1
2
个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q 能追上点P ？ （4）在数轴上找一点N ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N 对应的数．（不必说明理由） 35．阅读下列解题过程：
22
1(54)54
5454(54)(54)(5)(4)
⨯--===++-- 2
2
1(65)656565
(65)(65)
(6)(5)
⨯--=
=++--
请回答下列问题：
（11n n
=++____________；
（2）利用上面的解法，请化简：
11111 (12)
23
34
9899
99100
+
+
++
+
+++++
（3）比较大小：和。

36．已知a,b 为实数，且1(1)10a b b +---=，求a 2005-b 2006的值. 37．已知实数a ，b 满足：22
12a b a -=+
--，且0b b +>，求201920192019
2019
(1)(1)(2)(2)
(2017)(2017)
ab a b a b a b ++++
++++++的值．
38．化简求值：
()1已知a 是
13的整数部分，3b =，求54ab +的平方根．
()2已知：
实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：22(1)2(1)a b a b ++---．
39．已知m 13n 13m n
m n
-+的值．
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
根据规定法，1010010log 1000
log 1000log 100
=.
【详解】
根据法则，1010010log 10003
log 1000log 1002
==
故选A 【点睛】
本题考核知识点：新运算法则.解题关键点：理解并模仿法则. 2．B 【解析】 【分析】
首先根据题意，设M=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014，求出aM 的值是多少，然后求出aM-M 的值，即可求出M 的值，据此求出1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2019的值是多少即可． 【详解】
∵M=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2018①， ∴aM=a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014+a 2019②， ②-①，可得aM-M=a 2019-1， 即（a-1）M=a 2019-1，
∴M=
20191
1
a a --. 故选：B. 【点睛】
考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 3．C 【解析】 【分析】
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b ）n-1相邻两项的系数和，各项系数和是2n ; 【详解】
观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：各项系数和是2n ; 所以，9()a b +展开式中所有项的系数和是29=512. 故选：C 【点睛】
本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 4．D 【解析】 【分析】
根据平方根定义得原数为a 2，故相邻的下一个自然数是a 2+1，再求得平方根即可. 【详解】
根据题意，平方根为a 是数a 2，则与它相邻的下一个自然数是a 2+1，所以它的平方根是
D.
【点睛】
此题考察平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键. 5．D 【解析】 【分析】
逐项代入，寻找正确答案即可. 【详解】
解：A 选项满足m≤n ，则y=2m+1=3； B 选项不满足m≤n ，则y=2n-1=-1； C 选项满足m≤n ，则y=2m-1=3； D 选项不满足m≤n ，则y=2n-1=1； 故答案为D ； 【点睛】
本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确的所代入代数式及代入得值. 6．A 【解析】
根据立方根的概念和性质，可知0.027的立方根为0.3，故（1）正确；根据一个负数的立方
2）不正确；如果a 是b 的立方根，那么ab≥0（a 、b 同号），故（3）正确；一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故（4）错误． 故选：A.
点睛：本题主要考查了平方根和立方根的概念，要掌握其中的几个特殊数字的特殊性质．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a （x 3=a ），那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．（a 不等于0）如果x 2
=a （a≥0），则x 是a 的平方根．若a ＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a 的算术平方根：若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0：负数没有平方根． 7．D 【解析】
分析：由于本题含有两个无理数，直接估算误差较大，故采用平方法进行估算．设
x ，则x 2=20+372040<+<x <<
，由
67<<，67<<，即可得出答案．
详解：设x ，则x 2=20+∵1.72<<，∴1720<<，
∴372040<+<，x <<
．∵67<<，67<<，∴6
＜x ＜76到7之间． 故选D ．
点睛：本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出1.72<是解答本题的关键．
8．B 【解析】 【分析】
根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．【详解】
①2⨂（﹣3）=1
23
1
-=
1
6
，①正确；
②∵
11
b
a b
a
⊗=+，
∴a≠0且b≠0，∴②正确；
③∵
11
b
a b
a
⊗=+，
11
b a
b a
⊗=+，
∴a⊗b=b⊗a，∴③正确；
④∵a⊗（b+c）=11
a b c
+
+
，a⊗c+b⊗c=
1111121
a c
b
c a c b
+++=++，
∴a⊗（b+c）≠a⊗c+b⊗c，∴④错误.
综上，正确的结论为①②③，故选B.
【点睛】
本题考查了新定义运算，熟练利用新定义运算的运算法则计算各项是解决问题的关键.
9
【解析】
【分析】
观察数阵中每个平方根下数字的规律特征，依据规律推断所求数字.
【详解】
观察可知，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的
平方根，而每一行的个数依次为2、4、6、8、10…则归纳可知，第7
则第7
【点睛】
本题考查观察与归纳，要善于发现数列的规律性特征.
10．106
【解析】
【分析】
根据
20192019
x y x y
++=⨯可得1918y x =-，1819x y =-，则,x y 异号，并且当x y +最大时，
0y <，y 是18的倍数，0x >，x 是19的倍数，则可分别求出,x y 的值，然后得出结果.
【详解】
解：∵
20192019
x y x y
++=⨯， 通分化简得：18y x y +=-，1918y x =-，1819
x
y =-
∵(),2019,2019x y x y ≤≤属于整数，则：当x y +最大时，
0y <，y 是18的倍数，
0x >，x 是19的倍数，
根据201919106
5÷=，
∴106192014x =⨯=，
181810619
19081916
x y ⨯⨯=-
=-=-， ∴()20141908106x y +=+-=， 故答案为：106. 【点睛】
此题考查了等式的性质，弄清题中的新定义，能够利用等式的性质解方程是解本题的关键． 11．5 【解析】 【分析】
首先画出函数图像，然后找到最大值出现的位置，在求解即可. 【详解】 解：
可以当y ＝{x 2，x +2，8﹣x }(x ≥0)最小值在A 点的纵坐标，即0；
最大值在D 点的纵坐标，即y=x +2，y=8﹣x 联立解得：y=5 故答案为5． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合运用，题目可以考查最大值.解题的关键在于画出函数图像，找出最大值出现的位置。

12．-9 【解析】 【分析】
直接利用已知运算法则计算得出答案． 【详解】 （﹣2）⊙6
＝﹣2×（﹣2+6）﹣1 ＝﹣2×4﹣1 ＝﹣8﹣1 ＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【点睛】
此题考察新定义形式的有理数计算，正确理解题意是解题的关键，依据题意正确列代数式计算即可. 13．4728 【解析】 【分析】
先求出1a ，2a ，3a ，⋯，寻找规律后即可解决问题． 【详解】
由题意1a 16=，2a 8=，3a 4=，4a 2=，5a 1=，6a 4=，7a 2=，8a 1=⋯，
， 从3a 开始，出现循环：4，2，1，
()201823672-÷=，
2018a 1∴=，
1232018a a a a 16867274728∴+++⋯+=++⨯=，
故答案为4728． 【点睛】
本题考查了规律型——数字的变化类问题，解题的关键是从一般到特殊，寻找规律，利用规律解决问题. 14．-1． 【解析】 【分析】
根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可． 【详解】
解：（x +1）5＝x 5+5x 4+10x 3+10x 2+5x +1， ∵（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5， ∴a 0＝1，a 1＝5，a 2＝10，a 3＝10，a 4＝5，a 5＝1，
把a 0＝1，a 1＝5，a 2＝10，a 3＝10，a 4＝5，a 5＝1代入﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5中， 可得：﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5＝﹣32+80﹣80+40﹣10+1＝﹣1， 故答案为：﹣1 【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的值.
15．1【解析】 【分析】
利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点A 的距离（即点A 的绝对值），然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点A 表示的数. 【详解】
∵正方形的面积为3，
，
∴A 点距离01
∴点A 表示的数为1-
【点睛】
本题考查实数与数轴，解决本题时需注意圆的半径即是点A到1的距离，而求A点表示的数时，需求出A点到原点的距离即A点的绝对值，再根据绝对值的性质和数轴上点的特征求解.
16．4035
64
(或
3
63
64
)
【解析】【分析】
根据题意可得：2019个数里面包含：1个1，2个1
2
，3个
1
3
， (63)
1
63
，3个
1
64
，进
而可得出S2019＝
1111
112363363
236364
3
64
⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=，此题得解．
【详解】
∵1+2+3+…+n＝
(1)
2
n n+
，
6364
2
⨯
+3＝2019，
∴2019个数里面包含：1个1，2个1
2
，3个
1
3
， (63)
1
63
，3个
1
64
，
∴S2019＝
1111 112363363
236364
3
64⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=．
故答案是：4035
64
(或
3
63
64
)．
【点睛】
考查了规律型中数字的变化类，根据数列中数的排列规律找出“前2018个数里面包含：1个
1，2个1
2
，3个
1
3
， (63)
1
63
，3个
1
64
”是解题的关键．
17．32691
【解析】
【分析】
如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m、n，设m ＞n，即智慧数＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），因为mn是非0的自然数，因而m+n和m﹣n 就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差．
【详解】
设这两个数分别m、n，设m＞n，
即智慧数＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），
又∵mn 是非0的自然数， ∴m +n 和m ﹣n 就是两个自然数，
要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差．
（k +1）2﹣k 2＝2k +1，（k +1）2﹣（k ﹣1）2＝4k ，每个大于1的奇数与每个大于4且是4的倍数的数都是智慧数，而被4除余数为2的偶数都不是智慧数，最小智慧数为3，从5开始，智慧数是5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20…即2个奇数，1个4的倍数，3个一组依次排列下去．
显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k +1＝（k +1）2﹣k 2，都是“智慧数”． 因为：4k ＝（k +1）2﹣（k ﹣1）2，所以大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于x 2﹣y 2＝（x +y ）×（x ﹣y ）（其中x 、y ∈N ），当x ，y 奇偶性相同时，（x +y ）×（x ﹣y ）被4整除．当x ，y 奇偶性相异时，（x +y ）*（x ﹣y ）为奇数，所以形如4k +2的数不是“智慧数”在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”．此后每连续四个数中有三个“智慧数”． 由于2019-1＝3×672+2，
所以4×672＝2688是第2017个“智慧数”,故答案为：2691． 【点睛】
本题主要考查实数之中数与数的规律，详细读题，理清“智慧数”的含义是关键 18．
17
45
【解析】 【分析】
按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可. 【详解】 解：由1521=21(21)(11)3
x ⊕=++++ 解得：x=8
18181745==45(41)(51)93045⊕=
+++++ 故答案为
1745
.
【点睛】
本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值.
19．＞ ＞ 【解析】
根据二次根式的估算值和实数的大小关系，可知： ∵π 3.1415926 3.15≈<， ∴2π9.9225<．
∵2210π=>，
π>．
∵2
110=，2
11
10100⎛⎫= ⎪⎝⎭，
∴1110100
>． 故答案为：＞；＞.
20．l 2 3 n n
【解析】
试题解析：(1)，121；
(2)，2＜3的整数部分为2；
(3)，3＜43；
(4)猜想：当n n n . 21．d b a c <<< 【解析】
【分析】根据a>b ，a-b<c-d ，可得c>d ，再结合a+b=c+d ，可知c>a ，从而可得b>d ，由此即可确定最终结果.
【详解】∵a>b ，a-b<c-d ，
∴c-d>0，即c>d ， 又∵a+b=c+d ，
∴a<c，b>d，
∴d b a c
<<<，
故答案为：d b a c
<<<.
【点睛】本题考查了实数的大小比较，结合不等式、等式的性质确定出a<c，b>d
是解题的关键.
22．25或121.
【解析】
【分析】
根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a、b的值，然后代入代数式求解即可.
【详解】
b3-27|=0
∴a2-64=0，b3-27=0
解得：a=±8，b=3
∴(a-b)b+1=(8-3)3+1=54或(a-b)b+1=(-8-3)3+1=（-11）4=114
∴(a-b)b+1的算术平方根为52或112,即25或121.
【点睛】
本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，初中阶段涉及的非负性有偶次方、绝对值和算术平方根，需引起关注.
23．初步探究：（1）1
2
，-8；深入思考：（1）(−
1
3
)2，(
1
5
)4，82；（2）
2
1n
a
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
初步探究：（1）分别按公式进行计算即可；
深入思考：（1）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（2）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为1
a
，则
1
1n
a a
a
-
⎛⎫
=⨯ ⎪
⎝⎭
ⓝ
；
【详解】
解：初步探究：（1）2③=2÷2÷2=
1
2
， 111111-=-----222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷÷÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤
111=1---222⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()11-2--22⎛⎫⎛⎫
÷÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=-8；
深入思考：（1）（-3）④
=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）=1×(−
13)2=(−13
)2
； 5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=(
15
)4
； 同理可得：（﹣
12
）⑩＝8
2； （2）2
1n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
ⓝ
【点睛】
本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
24．（1）11222n n n ---=，理由见解析；（2）01220192222++++的个位数字为5.
【解析】 【分析】
（1）找规律，发现等式满足11222n n n ---=，证明，即可．（2）利用公式11222n n n ---=，分别表示每个项，利用相消法，计算结果，即可. 【详解】
（1）11222n n n ---= 理由是：122n n --
11122n n +--=-
11222n n --=⨯-
()1212n -=-⨯
12n -=
（2）原式=()()()()1021322020201922222222-+-+-++-
2020022=-
()505421=-
505161=-
因为6的任何整数次幂的个位数字为6.
所以505161-的个位数字为5，即01220192222++++的个位数字为5.
【点睛】
本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键.
25．（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =
【解析】
【分析】
（1）①由“奇异数”的定义可得；②根据定义计算可得；
（2）由f （10m+n ）=m+n ，可求k 的值，即可求b ；
（3）根据题意可列出等式，可求出x 、y 的值，即可求a 的值.
【详解】
解：（1）①∵对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．
∴“奇异数”为21；
②f （15）=（15+51）÷
11=6，f （10m+n ）=（10m+n+10n+m ）÷11=m+n ； （2）∵f （10m+n ）=m+n ，且f （b ）=8
∴k+2k-1=8
∴k=3
∴b=10×
3+2×3-1=35； （3）根据题意有()f a x y =+
∵()510a f a -=
∴()10510x y x y +-+=
∴5410x y -=
∵x 、y 为正数，且x≠y
∴x=6，y=5
∴a=6×
10+5=65 故答案为：（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，能理解“奇异数”定义是本题的关键．
26．（1）（2，0）；（0，4）；（2）当t=1时，S △OCD =S △OCE ；（3）2OQA BAP k OPA ∠+∠=
=∠． 【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质分别求出a 、b ，得到答案；
（2）根据题意用t 表示出OE 、OD ，根据三角形的面积公式列式计算即可；
（3）根据三角形的外角的性质得到∠OPA=∠ABP+∠BAP ，证明OG ∥AB ，根据平行线的性质、三角形的外角性质计算即可．
【详解】
（1∴b-2a=0，a-2=0，
解得，a=2，b=4，
则点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4），
故答案为：（2，0）；（0，4）；
（2）由题意得，AD=t ，OE=2t ，
则OD=2-t ，
当S △OCD =S △OCE 时，
12×2×（2-t ）=12
×2t×1， 解得，t=1，
∴当t=1时，S △OCD =S △OCE ；
（3）∠OPA 是△APB 的外角，
∴∠OPA=∠ABP+∠BAP ，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠FOA=90°，
∵∠BOG=∠BOF ，∠FOA=∠FAO ，
∴∠GOA+∠BAO=180°，
∴OG ∥AB ，
∴∠BOG=∠OBA ，
∵∠BOG=∠BOF ，
∴∠FOB=∠OBA ，
∴∠OQA+∠BAP=∠OPA+∠BOF+∠BAP=∠OPA+∠OBA+∠BAP=2∠OPA ， ∴2OQA BAP k OPA
∠+∠==∠． 【点睛】
本题考查的是三角形的外角性质、平行线的判定和性质、非负数的性质、三角形的面积计算，掌握非负数的性质、三角形的外角的性质是解题的关键．
27．(1)12，32，52；(2)2019－(1＋12-)(1＋2(1)3-)(1＋3(1)4-)…(1＋()4036-14037
)(1＋4037(1)4038-)＝40372
. 【解析】
【分析】
根据有理数的运算法则，即可求解；
按照规律，写出第2019个数：2019－(1＋12-)(1＋2(1)3-)(1＋3(1)4-)…(1＋()4036
-14037)(1＋()4037
-14038 )，化简后，算出结果，即可.
【详解】
解：(1)12，32，52
(2)第2019个数：2019－(1＋12-)(1＋2(1)3-)(1＋3(1)4-)…(1＋()4036-14037)(1＋()4037-14038
)＝2019
－1436523456⨯⨯⨯⨯×…×4038403740374038⨯＝2019－12
＝40372 【点睛】
本题主要考查有理数的乘方和四则混合运算，关键是观察分析出前几个数之间的变化规律，写出第2019个数的形式，并进行计算.
28．（1）1；（2）12
-
；（3）1. 【解析】
【分析】
（1）利用题中所给新运算的运算规则计算即可；
（2）先利用绝对值和偶次方的非负性求出x 、y 的值，再利用新运算的运算规则计算即可； （3）利用新运算的运算规则列出方程，解方程即可得出n 的值.
【详解】
（1）2()3(2)23(2)11221132(1)=-+⨯⨯-+=+-+=※－
（2）∵()2410x y -++= 且2|4|0,(1)0x y -≥+≥ ∴4,1x y ==- ∴211()()(1)1
[4()(1)24(22
21)1]x y =--⨯-+⨯⨯-+-※※※[4※]=(-)※ 211(3)()(3)11()()222(3)122
-=-⨯-+⨯-+--⨯=-=※ （3）∵12n +⎛⎫ ⎪⎝⎭
※3=16 ∴211()32()311622
n n ++⨯+⨯⨯+= 解得：1n =
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，利用新定义运算的形式出现，难度较大，熟练掌握有理数混合运算法则以及绝对值的非负性是解题根据.
29．详见解析
【解析】【分析】
n
m
=（m、n为互质的整数），得到
n
m
=
22
n m
m n
=-为无理数矛盾，即可得到结论．
【详解】
n
m
=（m、n为互质的整数），
n
m
=
两边平方得
n m
m n
=-
22
n m
m n
=-．（,
22
n m
m n
均为有理数）．
因为有理数对四则运算是封闭的，
为无理数矛盾，
【点睛】
本题考查了用反证法证明数学命题，掌握有理数可表示为
n
m
（m、n为互质的整数）是解题的关键．
30．（1）7；2；27；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由203＜19000＜303猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可；
(2)根据(1)中的方法先进行猜想，然后进行验证即可.
【详解】
(1)先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根的十位数为2，验证得19683的立方根是27，
故答案为：7，2，27；
(2)猜想：117649的立方根为49；373248的立方根为72；(本题答案不唯一)；
验证：先估计117649的立方根的个位数，猜想它的个位数是9，又由403＜117000＜503，猜
想117649的立方根的十位数为4，验证得117649的立方根是49；
先估计373248的立方根的个位数，猜想它的个位数是2，又由703＜373000＜803，猜想373248的立方根的十位数为7，验证得373248的立方根是72.
【点睛】
本题考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，本题有一定的难度.
31．（1）1287，2376；2（）
任意一个“极数”都是99的倍数，理由见解析；（3） m 可以为1188，2673，4752，7425任取三个即可)．
【解析】
【分析】
（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；
()2由“极数”的定义可得出()99101n x y =++，进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；
()3由()2可得出()()3101D m x y =++，由()D m 为完全平方数，可得出
10112x y ++=，10127x y ++=，10148x y ++=，10175x y ++=，解之可得出x ，y 的值，进而可得出m 的值，任取其中的三个即可得出结论．
【详解】
()11287，2376．
()2任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
n =(9)(9)
xy x y --()()()10001001099990999999101x y x y x y x y =++-+-=++=++，
∴任意一个“极数”都是99的倍数．
()3四位数m 为“极数”，()33
m D m =， ()()
()99101310133x y D m x y ++∴==++．
()D m 是完全平方数，
1013412x y ∴++=⨯=，1013927x y ++=⨯=，10131648x y ++=⨯=，
10132575x y ++=⨯=，
{11x y =∴=，{26x y ==，{47x y ==，{7
4x y ==， m ∴可以为1188，2673，4752，7425(任取三个即可)．
【点睛】
本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：()1根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；()2根据“极数”的定义，找出()99101n x y =++；()3根据()D m 是完全平方数，找出101x y ++的值．
32．6
【解析】
分析：根据平方数和绝对值、二次根式的非负性，列方程求解即可.
详解：因为++3b -+2c -=0,
所以a-2b+1=0 b-3=0 c-2=0
所以a=5 b=3 c=2
所以22a b c ++=6
点睛：此题主要考查了非负数的应用，关键是根据平方数和绝对值、二次根式的非负性构造二元一次方程组.
33．(1)
；(2) ；（3）；（4）x=2017；（5）
【解析】
【分析】
（1）类比题目中方法解答即可；（2）根据题目中所给的算式总结出规律，解答即可；（3）利用总结的规律把每个式子拆分后合并即可解答；（4）方程左边提取x 后利用（3）的方法计算后，再解方程即可；（5）类比（3）的方法，拆项计算即可．
【详解】
（1）
故答案为：；
（2）=
故答案为：；
（3）计算：
=
=1﹣
=；
（4）=2016
=2016，
x=2017；
（5）．
=+（）+（）+…+（）．
=（1﹣）．
=．
【点睛】
本题是数字规律探究题，解决问题基本思路是正确找出规律，根据所得的规律解决问题．34．（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q可以追上点
P；（4）M对应的数为2或﹣22
3
．
【解析】
【分析】
（1）根据题意易得a，b，c的值，然后在数轴上表示出来即可；
（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为AB的长；（3）用AB的长度除以点Q与点P的速度差即可得解；
（4）分析M点在不同的位置时，所得到的M的值即可.
【详解】
（1）∵a 是最大的负整数，
∴a=﹣1，
∵b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，
∴b=3+2=5，
∵c 是单项式﹣2xy 2的系数，
∴c=﹣2，
如图所示：
（2）当M 点在线段AB 上时，M 点到AB 两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；
（3）∵动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒
12个单位长度， 点Q 的速度是每秒2个单位长度，
∴AB=6，两点速度差为：2﹣
12， ∴6÷（2﹣12
）=4， 答：运动4秒后，点Q 可以追上点P ；
（4）存在点M ，使P 到A 、B 、C 的距离和等于10，
当M 在AB 之间，则M 对应的数是2，
当M 在C 点左侧，则M 对应的数是：﹣2
23. 综上所述，M 对应的数为2或﹣2
23． 【点睛】
本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.
351
11n n n n =+-++【解析】
整体分析：
（1）根据题中的示例求解；（211n n n n
=+-++
=
再加减；（3
反而小.
=
解：（1
（2......
1......
1
=10-1
=9；
；
（3
，
，
36．-2
【解析】
试题分析：根据被开方数大于等于0，求出b的取值范围，再根据非负数的性质列式求出a、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
试题解析：解：由题意得：1﹣b≥0，∴b≤1，∴(10
-=，由非负
b
数的性质得：1+a=0，1﹣b=0，解得
a=﹣1，b=1，∴a2005﹣b2006=（﹣1）2005﹣12006=﹣1﹣1=﹣2．
37．2018．
【解析】
试题分析：利用二次根式的定义，求出a,b的值，再利用裂项法求和计算.
试题解析：
21b =-， ∵20a -≥，20a -≥，
∴2a =，21b =，0b b +>，b b >-，
∴0b >，
∴1b =，2a =， 则()()()()()()2019201920192019112220172017ab a b a b a b ++++++++++ 111120192233420182019⎛⎫=⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭
11111112019122334
20182019⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭ 1201912019⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 2018=．
点睛：列项法的使用
111223+⨯⨯+()11n n ⋯+⨯+=11111223-+-+11n n 1⋯+-+=1-11n +=1
n n +. 注意：()1111n n 1n n =-⨯++，1-1111111
n n n n n n +=-=++++. 推广：()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪⨯++⎝⎭,()()1111 212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-⨯+-+⎝⎭
. 38．（1）±3；（2）2a +b ﹣1.
【解析】
分析：（1）由于34a =3，根据算术平
方根的定义可求b
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可．
详解：（1）∵34，∴a =3．
=3，∴b=93；
（2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则
+|a﹣b|
=a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）
=a+1+2b﹣2+a﹣b
=2a+b﹣1．
点睛：本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
39．
13 13
【解析】
试题分析：根据二次根式的估算，可知求出用二次根式表示的m、n，然后代入求值即可.
试题解析：∵34，
∴m=3，3，
∴m n m n -+
=
13
13
．。