早期量子论和量子力学基础作业习题及解答

13-12. 如果一个光子的能量等于一个电子的静止能量，问该光子的频率、波长和动量各是多少? 在电磁波

谱中属于何种射线?

解：设电子的静止质量为m e 0，相应的静止能量为E e 0，一个光子的能量为E 。

则2

00,

e e E m c E h ν==。由题意有：0e E E =，即有：20e h m c ν=

所以该光子的频率为：2318220

034

9.1110(310)Hz=1.2410Hz 6.6310

e m c h ν--⨯⨯⨯==⨯⨯ 光子波长为：1232.4310m=2.4310nm c

λν

--==⨯⨯

光子动量为：220 2.7310kg m/s e E h

p m c c λ

-=

===⨯⋅ 在电磁波中属于γ射线

13-23. 设电子与光子的波长均为λ，试求两者的动量之比以及动能之比。 解：设电子与光子的动量分别为p e 和p o ，动能分别为E e 和E o 。

根据德布罗意关系：λ=h /p ，且λe =λo =λ，则电子与光子的动量之比为：o

o 1e e

p p λλ== 光子动能可表示为：

834

16o 9

310 6.6310J 3.97810J 2.486KeV 0.5010

h

E h c cp νλ---⨯⨯⨯====≈⨯≈⨯ 电子的静能为：2318214

09.1110(310)J 8.2010J 0.512MeV m c --=⨯⨯⨯≈⨯≈

电子动能：2022022)(c m c m c p E e -+=，

由以上计算知：2

0c m c p pc e <<=

所以电子动能：

222222000024

00

1(1)22e p c p E m c

m c m c m c m c m =≈+-= 则电子与光子的动能之比为：230o o 00

/2 2.431022e e e E p m p h

E cp cm cm λ-===≈⨯

13-24. 若一个电子的动能等于它的静能，试求该电子的速率和德布罗意波长。 解：设电子的运动质量为m ，静止质量为m 0，运动速度为v 。

在相对论下，电子的运动质量为：2

20/1/c v m m -=

当电子的动能等于它的静能时，即2

0202c m c m mc E k =-=，则有：02m m =

因而，有：2

200/1/2c v m m -=， 可得该电子的速率为：s /m 106.2866.02/38⨯≈≈=

c c v

根据德布罗意关系，该电子的德布罗意波长为：nm 104.1330-⨯≈===

c

m h mv

h p h λ

13-25. 设一电子被电势差U 加速后打在靶上，若电子的动能全部转为一个光子的能量，求当这光子相应的

光波波长为500nm (可见光)、0.1nm (X 射线)和0.0001nm (γ射线)时，加速电子的电势差各是多少？ 解：加速电子的动能为：eU E ke =，光子的能量为：λν/o hc h E ==

电子的动能全部转为一个光子的能量，即有：λ/hc eU =

所以加速电子的电势差为：λλλ6

19

8341024.1106.11031063.6---⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯==e hc U 光子的波长为λ1=500nm （可见光）时：)V (48.2105001024.196

11=⨯⨯≈=--e hc U λ

光子的波长为λ2=0.1nm （X 射线）时：)V (1024.1101.01024.149

6

22⨯=⨯⨯≈=--e hc U λ 光子的波长为λ3=0.0001nm （γ射线）时：)V (1024.110

0001.01024.179

6

33⨯=⨯⨯≈=--e hc U λ 13-35.

一维无限深势阱中粒子的定态波函数为n n x a

πψ=

。 试求：(1) 粒子处于基态时，在x =0到x =a /3之间找到粒子的概率； (2) 粒子处于n ＝2的状态时，在x =0到x =a /3之间找到粒子的概率。 解：粒子在一维无限深势阱中出现的概率密度为：),3,2,1(sin 222

==

n a x

n a n

πψ

(1) 粒子处于基态n ＝l 时，粒子出现的概率密度为：a

x

a πψ22

1

sin 2=

在x =0到x =a /3之间找到粒子的概率为：

195.043

3132sin 2131)2cos 1(1sin 23/03

/0

23

/0

2

11≈-=-=

-===

⎰⎰

⎰

=π

ππππψa a a n dx

a

x

a dx a x a dx P

(2) 粒子处于n ＝2的状态时，粒子出现的概率密度为：a

x

a πψ2sin 222

2

=

在x =0到x =a /3之间找到粒子的概率为：

402.083

3134sin 4131)4cos 1(12sin 23/03

/0

23

/0

2

22≈+=-=-===

⎰⎰

⎰

=π

ππππψa a a n dx

a

x

a dx a x a dx P

13-36. 一维运动的粒子处于如下波函数所描述的状态：(0)()0

(0)

x

Axe x x x λψ-⎧≥=⎨

<⎩ 式中λ>0。

(1) 求波函数ψ (x )的归一化常数A ；(2) 求粒子的概率分布函数；(3) 在何处发现粒子的概率最大? 解：(1) 在整个一维空间，粒子出现的概率为一，据此归一化条件，可求出波函数的归一化常数。