高等数学11-5,6 傅里叶级数

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称为函数 f(x)(诱导出)的傅里叶级数, 记为 f(x)
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1
注 f(x)的傅里叶级数不见得收敛； 即使收敛， 级数的和也不一定是 f(x). 所以, 不能无条件的 把符号“” 换为“=”. 当 f(x)满足什么条件时， 它的傅里叶级数收敛， 并收敛于f(x)本身. 下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们.
第五、六节
傅里叶(Fourier)级数
(傅氏级数Fourier series)
一、问题的提出 二、三角函数系的正交性 三、函数展开成傅里叶级数 四、正弦级数或余弦级数 五、周期为2l的函数的傅里叶级数 六、傅里叶级数的复数形式 七、小结
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上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 幂级数. 下面研究另一种重要的函数项级数: 傅里叶 级数. 这种级数是由于研究周期现象的需要而 产生的. 它在通讯、电工、力学和许多学科中 都有很重要的应用.
在一个周期区间[ , ]上函数的自乘(平方)的积分 为 或2 , 而任两个不同函数乘积的积分为0，即

2
1 dx 2
cos nxdx
2


sin2 nxdx
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1 cos nxdx 1 sin nx dx 0
其傅氏级数在 x 处收敛于(
2
2
).
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1, 当 x 0时, 设函数f(x)以 2 为周期,且 f ( x ) 2 1 x , 当0 x 时.
其傅氏级数在 x 处收敛于(
).
[ , ]上满足狄利克雷条件， 解 由于f ( x )在区间 可以将f (x)展开为傅氏级数. 因为
u
1
2
3 2


2
O
1
2

3 2
2
t
1 1 1 1 u( t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7 t sin 9t ) 3 5 7 9
4
( t , t 0)
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设想
一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解
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2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 (收敛定理) 设函数 f ( x )是周期为 2的周期函数 , 它在 区间[ , ]上满足条件 :
(1) 除有限个第一类间断点 外, 处处连续 ; (2) 只有有限个极值点，
且在[ , ]上它的和函数为
逐段光滑
则由f ( x )产生的傅里叶级数在任 一点x都收敛,
1777年,欧拉在研究天文学的时候,用三角 函数的正交性得到了将函数表示成三角级数时
的系数, 也就是现今教科书中傅里叶级数的系数.
1822年,傅里叶在《热的解析理论》一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的， 特殊的情 形所采用的三角级数方法进行加工处理, 发展成 一般理论.
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一、问题的提出
a0 ( an cos nx bn sin nx ) S ( x ) 2 n 1
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傅氏级数的和函数与函数f(x)的关系
a0 ( an cos nx bn sin nx ) S ( x ) 2 n 1 当x是f (x)的连续点时 f ( x ),


sin mx cos nxdx 0



(其中m, n 1,2,)
0, cos mx cos nxdx , 0, sin mx sin nxdx ,

mn
mn
mn

mn
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1.傅里叶系数 (Fourier coefficient)
为简谐振动的迭加. 会给分析问题带来方便. 反映在数学上,是把一个复杂的周期函数 f(t)
nt n )的迭加, 即 表示为各类正弦函数 Ansin(
A0 An sin( nt n )
n 1
谐波分析
或再利用三角恒等式变形为
A0 ( An sin n cosnt An cos n sinnt )
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常说把 f (x)在 [ , ] 上展开成傅氏级数. 注 (1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低得多; (2) 要注明傅氏级数的和函数与函数f (x)相等 的区域.
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设函数 f (x)以 2 为周期, 且
1, 当 x 0时, f ( x) 2 1 x , 当0 x 时.
u
1
2
3 2


2
O
1
2

3 2
2
t
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4 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7 t ) 3 5 7
u
1
2
3 2


2
O
1
2

3 2
2
t
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4 1 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7 t sin 9t ) 3 5 7 9
解 f (x) 的图象
3 2
y


O
2
3
。
。
。
。
x
傅里叶系数 1 1 0 a0 f ( x )dx xdx 2
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an
f ( x ) cos nxdx x cos nxdx

1

1
0
(1) 画出 f (x)的图形, 并验证是否满足狄氏条件
(画图目的: 验证狄氏条件; 由图形写出收敛域;
易看出奇偶性可减少求系数的工作量);
(2) 求出傅氏系数;
(3) 写出傅氏级数, 并注明它在何处收敛于f (x).
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x, x 0, 例1 函数f ( x )以2为周期, 且 f ( x ) 0, 0 x , 将 f (x) 展开为傅里叶级数.
f ( 0) lim (1 x 2 ) 1 2 ,
x
f ( 0) lim ( 1) 1,
x
所以, f ( x )的傅氏级数在点 x 收敛于 f ( ) f ( ) 2 2 2
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周期函数的傅里叶级数解题程序:
~
2 1 1 cos x 2 cos3 x 2 cos5 x 4 3 5
1 1 sin x sin2 x sin3 x . 2 3

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由于f (x)满足狄利克雷充分条件, 由收敛定理得
在点x (2k 1) (k 0,1,2,)处不连续 ,


(1) 求a0 . 两边积分 利用三角函数系的正交性



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( 2) 求an .
an
f ( x ) cos nxdx
1

( n 1,2,3,)
(3) 求bn .
bn
f ( x ) sin nxdx ( n 1,2,3,)
1

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傅里叶系数 1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) 1 b f ( x ) sin nxdx , ( n 1,2,) n
由这些系数作成的三角级数
1 2 an f ( x) cos nxdx, (n 0,1, 2, ) 0 b 1 2 f ( x)sin nxdx, (n 1, 2, ) n 0
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1
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历史朔源
1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引 起的摄动时,大胆地采用了三角级数表示函数:
f ( x ) A0 2 An cos nx

1 2 其 中 An f ( x ) cos nxdx 2 0 1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使用 了三角级数.
n 1
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1

1
0

x sin nxdx
n1 cos n ( 1 ) . n n
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故 f (x)的傅里叶级数 n1 1 ( 1 ) n f ( x ) 2 [1 ( 1) ] cosnx sinnx 4 n 1 n n
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1
1
1
4 u sin t
u
1
2 3
2


2
O
1
2

3 2
2
t
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4 1 u (sin t sin 3t ) 3
u
1
2
3 2


2
O
1
2
Hale Waihona Puke Baidu
3 2
2
t
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4 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
n 1

系数 a0 , an , bn 如何确定? 为简便计,先来讨论以 2 为周期的函数 f(x), 解决上述问题起着关键作用的是: 三角函数系的正交性(orthogonality)
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二、三角函数系的正交性
三角函数系 正交性:
orthogonality
1, cos x , sinx, cos2 x, sin2 x , cos nx , sinnx ,
1 2 (1 cos n ) n
2 1 2 [1 ( 1) n ] n 2 n 0,
x, x 0, f ( x) 0, 0 x ,
,
n 1,3,5,,
n 2,4,6,;
bn
f ( x ) sin nxdx
1, 当 t 0 如矩形波 u( t ) 1, 当0 t u
1
较复杂的 周期现象

O
1

t
分解 不同频率正弦波 逐个叠加

4 sint ,
1
sin3t , sin5t , sin7t , sin 9t , 4 9 4 5 4 3 4 7
a0 若有 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1
a0 d x d x f ( x ) ( a cos kx b sin kx ) d x k k 2 k 1
a0 dx ak cos kxdx bk sin kxdx 2 k 1 0 0 1 a0 f ( x )dx 2 a0 2
f ( x ) f ( x ) S( x) , 当x是f (x)的间断点时 f ( 2) f ( ) , 当 x 时
2
由定理可知: 在 f(x)的连续点处, 都收敛到 f(x)自身 即使有间断点 ,函数也有傅氏级数 , 只不过在 在端点 x 处 , 收敛到左端点的右极限 间断点上级数不收敛到函数值 , 而是收敛到 和右端点的左极限的算 术平均值 间断点处左右极限的算术平均值
n 1
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A0 ( An sin sin n cosnt A cos n sinnt ) An n cos n
a0 令 A0 , a n An sin n , bn An cos n , t x . 2 a0 三角级数 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1 函数 f (t) 满足什么条件, 才能展为三角级数？
在自然界和人类的生产实践中,周而复 始的现象、周期运动是常见的: 如行星的飞转,飞轮的旋转, 蒸气机活塞的 往复运动,物体的振动, 声、光、电的波动等.
数学上,用周期函数来描述它们. 最简单最基本
的周期函数是 正弦型函数 谐函数 简谐波 简谐振动
A sin( t )
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除了正弦函数外, 常遇到的是非正弦周期函数,