2.2无阻尼的自由振动和振型 振动力学课件

m m aJ m m a a 2 x k 2 k 1 2 k k 2 11 k k 1 21 2 2 k k 2 12 2 1 x 0 0
可见，方程既有惯性耦合（惯性力之间相互联系）又有弹性耦合。
讨论:(1)若取O与C重合，即 OCa0
称为与 对应 的i 第i阶主振型或第i阶模态。
对应的振动解为 x ( i) i ( i)siit n i)( i1,2,...,n
i ,为 i 任意常数，由初始运动状态决定，从而系统总响应
n
为各阶模态响应的线性组合，
x(t)
(i) i
sin(iti)
i1
将各阶主振型 ( i ) i1,排2,..列.,n为 一矩阵
1 2k1k2x21 2(k11 2k22 2)21 2(2k11)x1 2(2k2 2)x 1 2k1k2x21 2(k11k2 2)21 2(k2 2k11)2x
Mmma
ma Jma2
动力学微分方程为
Kk2 k12 kk2 11
k22k11 k11 2k22 2
m m aJ m m a a 2 x k 2 k 1 2 k k 2 11 k k 1 21 2 2 k k 2 12 2 1 x 0 0
M
m
0
0
J
消除惯性耦合
(2)若取 k11k22，则
x , 解耦
Kk10k2
0 k112k222
消除弹性耦合
（2）取质心坐标，则有 m0x3k 3kx
0m2 + 3k 9k2 0
3km2
3k
3k 9k2m22 0
令 m2 k
3 3 3 92 20
2121 80
1 1.757
1
m k 1
汽车简化模型
解：
T 1 2 m v c 2 1 2 J 2 1 2 m ( x a ) 2 1 2 J 2 1 2 m x 2 1 2 J m a 22 m a x
V1 2k1x1 21 2k2x221 2k1k2x21 2(k11 2k2 2 2)21 2(2k11)x1 2(2k2 2)x
M、 KRnn
正则模态的正交性条件：
主模态的正交性条件：
φN(i)T MφN( j) ij
φN(i)T KφN( j)
i
2
ji
ij
1 0
i j i j
φ(i)T Mφ( j) ijmpi φ(i)T Kφ( j) ijkpi
主模态： i1~n
φ (i)
第 i 阶主模态
φ φ mpi
M (i)T
(i)
7 .21 4 (2)3 0
(2) 1
0.414
(1) 2.1414
2.414
1
(2) 0.4114
0.414x
1
2.4114
0.414x
1
请问：它的一阶、二阶模态怎样？
或
0.414 1
2.4114x
（ 教材书）
汽车简化模型的模态
小结：固有频率
正定系统： M x K x 0 x Rn M 正定，K 正定
Kφ(i) i2Mφ(i) Kφ( j) 2j Mφ( j)
转置右乘φ ( j ) 左乘φ ( i ) T
φ φ φ φ K M (i)T (j)
2 (i)T
(j)
i
φ φ φ φ K M (i)T (j)
2 (i)T
(j)
j
两式相减：
φ φ (
i2
2 j)
M (i)T
(j)
0
φ φ M (i)T
主振动： xφsin(t) 代入振动方程：(K2M)φ0
φ 有非零解的充分必要条件： K2M0 特征方程
频率方程或特征多项式
2 n a 12 ( n 1 ) a n 12 a n 0
最小的固有频率： 为1 基频。
小结：模态
特征值问题： (K2M)φ0
特征值（固有频率） φ 特征向量（模态）
φ (n) N
]
φN(1)TMφN(1)
φ φ
M (n)T
N
(1) N
φ φ M (1)T N
(n) N
m
p1
0
φ φ M (n)T N
N(n)
0
m pn
对角阵
多自由度系统： M X K X 0 XRn M、 KRnn
正则模态
正交性条件：
φN(i)T φN(i)T
MφN( j) KφN( j)
第 i 阶模态主质量
φ φ kpi (i)TK (i)
第 i 阶模态主刚度
正则模态： i1~n
φ (i) N
φ φ M (i)T
(i)
N
N
1
第 i 阶正则模态
主质量为1
φ φ K (i)T
(i)
2
N
N
i
固有频率的平方
φ φ Φ N [N (1 )
N (n )] R nn 模态矩阵
ΦNTM ΦNdiag(mp1, ,mpn)M p 主质量矩阵 ΦNTKΦNdiag(kp1, ,kpn)Kp 主刚度矩阵
这相当于令左端的系数行列式不等于零，
A(i) n
，1并划去相
应行后解出非齐次方程。
A i( i)1 ( i)
( i) 2
..n ( .i ) 1 1 Ti 1,2,...,n
列阵 (表i ) 示系统作第i阶主振动时，各坐标振幅的相对比值。
这相对比值完全由系统的物理性质确定，与初始状态无关，
频率方程
分三种情况讨论频率方程：
A. 频率方程不重根情形 B. 频率方程的零根情形 C. 频率方程重根情形
A. 频率方程不重根情形：
一、固有频率
当 K为 正定阵，即系统为平衡状态稳定时，各坐标只能
在平衡位置附近作微幅简谐运动。
频率方程在 的2n个正实根，即系统的本征值。每个本征值
所对应的
i 称i为1系,2,统...n的 n个固有频率。
A
( n
i
的) 项移至右端，此非齐次方程的解为
k 1 1i2 m 1 1A 1 (i) ...k 1 (n 1 )i2 m 1 (n 1 ) A n (i ) 1 k 1 ni2 m 1 nA n (i)
...
...
k (n 1 )1i2 m (n 1 )1A 1 (i) ...k (n 1 )(n 1 )i2 m (n 1 )(n 1 ) A n (i ) 1 k (n 1 )ni2 m (n 1 )nA n (i)
M确,定K，是系统的固有特性。
例题2-1：
汽车振动简化模型如图，已知汽车质量为m，对质心转
动惯量为J，刚度系数分别为
点的距离
OC a
，k 1 , 长k 2 度尺寸
，重l 1 ,心l 2 到O
试求： （1）动力学方程及其讨论； （2）J m 2 ,k 1 k ,k 2 2 k ,l 1 l ,l 2 2 l时的固有频率和模态。
二、模态（振型）
模态：每个固有频率对应于系统的一种特定的振动形态。 主振动：系统以任一个固有频率所作的振动。
系统的本征向量 Ai有 非零解（即与相应 对 应i ），显然
有n个，Ai即
K i2 M A i 0i1,2,...,n
由线性代数可知 ， 不i2 是本征方程的重根时，只有一个
不独立方程。不失一般性，将最后一个方程除去，含
对角阵
φφ φφ 推导： Φ T M Φ d( im p a 1 , ,g m p)n M p
Φ N T M Φ N [ N ( 1 )
N ( n ) ] T M [ N ( 1 ) N ( n ) ]
φN(1)T
M[φN(1)
φN(n)T
φN(n)]
φN(1)T
M
[φN(1)
φN(n)TM
12((11))
(2) 1
(2) 2
... ...
... ...
1(
( 2
n n
) )
即 ... ... ... ... ...
(1) n 1
(2) n 1
...
...
( n
n) 1
1 1 ... ... 1
称为系统的模态矩阵或模态
M,K
12((11))
(2) 1
(ຫໍສະໝຸດ Baidu) 2
在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值 的过程称为归一化 。
φ (i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，
称为第i 阶主振型，或第 i阶模态。
主振动仅取决于系统的 M 阵、K 阵等物理参数。
(Ki2M )φ(i) 0
三、模态的正交性
i φ(i) j φ( j) 由 K 2 M 均 满 足0 ：
当 i 时j
φ(i)T Mφ( j) 0
φ(i
)T
Kφ(
j
)
0
模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性
当 i 时j
主质量
φ φ M (i)T
(i)
mpi
主刚度
φ φ K (i)T
(i)
kpi
利用 Kronecker 符号：
φ(i)T Mφ( j) ijmpi φ(i)T Kφ( j) ijkpi
1.326k m
2 10.24
2
m k2
3.200k m
3 3 3 92 20
1 1.757 31 3 .7572(9 3 1.75 ) 7 1 1 (1) 0
1.241 (1)3 30
(1) 1
2.414
2 10.24
31 3.2 042(9 3 1.2 0)4 1 1 (2) 0
... ...
... ...
1(
( 2
n n
) )
... ... ... ... ...
(1) n 1
(2) n 1
...
...
(n) n 1
1 1 ... ... 1
系统的模态矩阵或模态是各本（特）征值（固有频率） 所对应的本征向量（固有振型）组成的。
结论：系统的固有频率和模态完全由系统的物理参数
(j)
0
模态关于质量的正交性
φ φ K (i)T
(j)
0
模态关于刚度的正交性
若 i 时j ， i j 恒成立
四、主质量和主刚度
当 i 时j
φ φ (i)TM (i) mpi
φ φ K k (i)T
(i)
i1~n
pi
第i 阶模态主质量
第i 阶模态主刚度
(K2M)φ0 φ (i) 第 i 阶主模态
第二节 无阻尼的自由振动和振型
求解多自由度系统运动微分方程组常用两种方法：
直接积分法： 通过直接积分微分方程求出方程的解；
振型叠加（模态分析法）： 通过坐标变换，使耦合的运动微分方程转化为一组新坐 标下的相互独立运动微分方程，对已经解耦的每一个方程 就像单自由度系统一样地可独立求解，然后再进行坐标 的反变换，求得原坐标的振动响应解。
将其按大小排列： 12.. . n 1n
最低的固有频率 为1 系统的基频。
多自由度系统的固有频率与单自由度系统相同，与初始
条件无关，仅取决于系统自身的物理参数 K、 M。
对于多自由度系统的自由振动等于n个不同频率的n个 简谐振动的叠加，通常不再是简谐振动，也不是周期性振
动（除 1、可 通2 约的情况）
i j
i
2
ji
i1~n
将 φN (i)(i1组~成n)矩阵
φ φ Φ N [N (1 ) N (n )]Rnn 正则模态矩阵
ΦNT MΦN I 单位矩阵 ΦNT KΦN Λ 谱矩阵
k112m11 k122m12 ... k1n 2m1n
即 k212m21 k222m22 ... k2n 2m2n 0
...
... ... ...
kn12mn1 kn2 2mn2 ... knn2mnn
展开后得到 2的n次代数方程，即为系统的本征方程：
2 n a 12 ( n 1 ) . .a .n 12 a n 0
正则模态和主模态之间的关系：
1 ci m pi
φ(i) N
1 φ(i)
mpi
i1~n
相对于φ N(的i ) 主刚度：
φ φ φ φ N (i)TKN (i)m 1pi
K (i)T (i)
kpi m pi
2 i
正则模态矩阵 N N ( 1 ) N ( 2 ) ..N ( . n )
多自由度系统： M x K x0 x Rn
ij 10
i j i j
第i 阶固有频率：
i
kpi mpi
φφφφ K M (i)T (j)
2 (i)T
(j)
i
(i 1n)
五、正则模态（简正模态）φ
(i) N
定义：全部主质量皆为1的主模态
φ φ mpi
M (i)T
N
(i) N
1
φφφφ 令：φ(i) N
cφ i (i)
N (i)TM N (i)c i2 (i)TM (i)c i2 m p i1
k 1 1i2 m 1 1A 1 (i) ...k 1 (n 1 )i2 m 1 (n 1 ) A n (i ) 1 k 1 ni2 m 1 nA n (i)
...
...
k (n 1 )1i2 m (n 1 )1A 1 (i) ...k (n 1 )(n 1 )i2 m (n 1 )(n 1 ) A n (i ) 1 k (n 1 )ni2 m (n 1 )nA n (i)