多元函数微分法

第十章 多元函数微分学

一、学习要点 1.关于二元函数

会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法

与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分

(1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数

的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。

偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一

个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=∂∂(y ，z 为常数)，3

2221z

y x y

y u ++=∂∂(x ，z 为常数)

复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，

v=v(x ，y)，有

y

v v z y u u z y z x v

v z x u u z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=+

= 具体情况有两种：

（一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数

)ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数

y

z x z ∂∂∂∂,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy

)，求偏导数有

xy xy e y x ye x x z 222222+++=∂∂ xy

xy

e y x xe y y z 222222+++=

∂∂ （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，

x 2+y 3)，的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，

用链式法则

x v f y u f x v v z x u u z x z 2∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=+=，23y v

f x u f y z ∂∂∂∂∂∂+= 上例也可以用链式法则，有 xy

xy xe v

u v y v u y z ye v u v x v u x z 2

222221,221+++=+++=∂∂∂∂

求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的

求导.

如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=∂∂(y ，z 为常数)，3

2221z y x y

y u ++=

∂∂(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。

3.关于偏导数的几何应用

掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法.

(1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=

，则在t 0处曲线的

切线方程为

)

()

()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-=

'-='-

法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0

(2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的

法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或

，则在点(x 0，y 0，z 0)处的

切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为

z

y x F z z F y y F x x '-=

'-='-0

00

注意：点(x 0，y 0，z 0)一定在曲线或曲面上，,,,z y x F F F '''必须是方向向量在该

点处的值。 4.关于极值

了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数

法求较简单条件极值应用问题的方法。

可微函数z=f (x ，y)在极值点(x 0，y 0)处满足0),(),(0000='='y x f y x f y x (极

值存在的必要条件).

用拉格朗日乘数法求条件极值是重点。求函数z=f (x ，y)在条件g(x ，y)=0

下的条件极值的具体步骤是：

（1）引入拉格朗日函数

F (x ，y ，λ)=f (x ，y )+λg (x ，y )

（2）求联立方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====)0),((00

0y x g F

y F

x F 即∂λ∂∂∂∂∂ 的解；

（3）若上述方程组的解唯一，则其就是所求函数的最值点。若该方程组的解不唯一，可通过代入验证，以确定极大（最大）或极小（最小）值。

二、练习题

1.函数2

211y x z --=

+x

y

arcsin

的定义域是__________ 2. 设函数z=2

y

x

-

，则在点(2，1)处的偏导数=∂∂=∂∂y

z

x z ,

3..设函数z=e

2x+3y

，=

∂∂∂y

x z 2 。

4.如果函数z=f (x ，y)的全微分y y x x y z d cos d sin d +=，那么

______________,==y

z x z ∂∂∂∂