高数 定积分的概念

a
(2)
若
b
g(x)d x
0,
则由
f
(x) C([a,b]), 及
a
b
f (x)g(x)d x
m a b
M,
a g(x)d x
[a,b] , 使得
mmM
b
b
a f (x)g(x)d x f ( )a g(x)d x .
综上所述, 性质6 获证 .
积分中值定理
若 f (x), g(x) R([a,b]), m f (x) M , 且 g(x)
定理 3 若 f (x) R([a,b]), 则 | f (x) | R([a,b]) .
定理 4 若 f (x) R([a,b]), 则 [c,d ] [a,b] ,
f (x) R([c,d]) .
定理 5
若 f (x), g(x) R([a,b]), 则 kf (x), f (x) g(x), f (x) g(x) R([a,b]) . (k为常数）
第五章 一元函数的积分
第一节 定积分的概念和性质
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一. 引例 二. 定积分的定义 三. 定积分的性质
引例1. 曲边梯形的面积
1. 曲边梯形
曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互 平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十二讲 定积分的概念
教案制作：易学军
主讲教师：易学军
第五章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换
元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限。
例1.
1 0
1 x 2 dx
4
例2.
sinxdx 0
y
0
y=sinx
x
显然
b
f (x)dx
b
f (t)dt
b f (u)du
a
a
a
定理 1 若 f (x) C([a,b]), 则 f (x) R([a,b]) .
定理 2 f (x) 在[a,b] 上有界, 且仅有有限个 (第一类) 间断点, 则 f (x) R([a,b]) .
a
b
b
a f (x)d x a f (x)d x f (x)d x f (x)d x 0 .
该矛盾说明：f (x) 0, x [a,b].
性质 3 (对区间的可加性)
b
c
b
a f (x)d x a f (x)d x c f (x)d x
其中, a c b .
证 f (x) R([a,b]) f (x) R([a,c]) , f (x) R([c,b]) .
b
A3 d f (x)d x.
由极限保号性：
c
d
a f (x)d x 0, c f (x)d x 0,
b
d f (x)d x 0.
定积分的几何意义
y y f (x)
A1 a c A2 O d
A3 bx
b
f (x)d x
等于曲线 y
f (x) 与直线 x a,
xb
a
及 x 轴所围成的几何图形的面积的代数和.
i 1
i 1
S 与分法 T 及点i 的选择有关.
y y f (x)
O a x1
xi1 xi
b
x
第四步：取极限 令 || x || m1iaxn {xi}, 则
n
曲边梯形面积 :
S
lim
0
i1
f
(i )xi
.
极限存在与否，与分法T 及点i 的选择无关.
引例2. 变速直线运动的路程
已知质点的运动速度v=v(t). 求在时间段[a, b] 内运动的路程s.
i
0
a
ti–1 ti b t
(3)求和:
n
n
s si v(i )ti
i 1
i 1
(4) 取极限：
令 1≤mi≤anx{ti } 0 （这时n )
n
s
lim
0
i 1
v( i
)ti
解决这两个问题的的思想方法是：
分割 — 近似 — 求和 — 取极限.
通常人们把这类方法所处理的问题的结果，即 这种和式的极限值，称为函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分.
式中, 、 为常数.
证 由定积分定义及极限运算性质：
b
n
[
a
f
(x)
g(x)]d x lim 0
[
i1
f (i )
g(i )]xi
n
n
可以推广 至有限个
lim 0
i1
f (i )xi
lim 0
i1
g(i )xi
可积函数 的情形.
b
b
a f (x)d x a g(x)d x .
Af Ag 0
y g(x)
Oa
bx
性质 2 的推论 2
b
b
| a f (x)d x | a | f (x) | d x
y
y | f (x) | y f (x)
Oa
bx
代数和
例3
设 f (x) C([a,b]) ,
且 f (x) 0. 若
b
f (x)d x 0 ,
a
证明：f (x) 0, x [a,b].
n
若
lim
0 i1
f (i )xi
存在,
且该极限值与对区间 [a,b] 的
分法 T 及点i 的选择无关, 则称函数 f (x) 在[a,b] 上可积,
记为 f (x) R( [a, b] ), 极限值称为 f (x) 在 [a, b] 上的定
积分值 :
b
n
a
f (x) d x lim 0 i1
在[a,b] 上保持符号不变, 则 [a,b] , 使得
b
b
a f (x)g(x)d x f ( )a g(x)d x .
若 g(x) 1, 则
b
b
a f (x)d x f ( )a d x
f ( )(b a) .
y y f (x)
O a b x
证 由于 g(x) 在[a,b] 上不变号, 所以, 不妨设 g(x) 0.
用xi xi xi1 表示第 i 个小区间的长度.
第二步：近似
i [xi1, xi ], 则
小曲边梯形面积: Si f (i )xi . Si 与i 的选择有关.
xi1
• i xi
对每个小曲边梯形均作上述的代替
y y f (x)
O a x1
xi1 xi
b
x
第三步：求和
n
n
曲边梯形面积 : S Si f (i )xi .
性质 2 (保号性)
若
f (x) 0, x [a,b], 则
b
f (x)d x 0.
a
(小于零的情形类似. )
证 由极限的保号性立即可知.
y y f (x) 0
A0
Oa
b
性质 2 的推论1
若 f (x) g(x)
x [a,b], 则
b
b
f (x)d x g(x)d x .
a
a
y y f (x)
证 由于 f (x) R([a,b]), m f (x) M x [a,b].
所以
b
b
b
m(b a) a md x a f (x)d x a M d x M (b a) .
b
a d x b a
y
y
y
M
m
x
0a
b x 0a
b x 0a
b
性质 5 (积分第一中值定理)
若 f (x) C([a,b]), g(x) R([a,b]), 且 g(x)
2. 求曲边梯形的面积
首先，我们利用以下的的做法： 分割—近似—求和
得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程， 求出曲边梯形的精确值.
y y f (x)
设 f (x) 0, f (x) C([a,b]) .
O a x1
xi1 xi
b
x
第一步：分割 任意引入分点 称为区间的一个分法 T
a x0 x1 xi1 xi xn1 xn b , 将[a, b]分 成 n 个小区间[xi1, xi ] (i 1,2,,n).
t
0
a
ti–1 ti b
匀速运动： 距离＝速度×时间
(1)分割：
任取分点: a = t0< t1<…< ti–1< t i< … < tn=b
分割[a, b]得: [ti–1, ti] (i=1, 2, …n) 且记：ti = ti – ti–1
(2) 近似：
任取 i [ti–1, ti] , 作 si v(i )ti
(4) 若将非均匀变化的事物看成是均匀变化时, 可以表示为两个变量的乘积形式, 则该非均 匀变化问题可以用定积分方法处理： 分割— 近似 — 求和— 取极限
定积分的几何意义
y y f (x)
A1 面积： a c A2 O d
A3 bx
c
A1
f (x)d x,
a
d
A2
f (x)d x ,
c
b
c
b
a f (x)d x a f (x)d x c f (x)d x .
b
b
c
a f (x)d x c f (x)d x a f (x)d x .
y
y f (x)
Oa
c
bx
性质 4 (估值定理)
设 M ,m 分别为 f (x) 在[a,b] 上的最大,最小值, 则
b
m(b a) a f (x)d x M (b a) .
在[a,b] 上保持符号不变, 则存在 m m M , 使得
bFra Baidu bibliotek
b
a f (x)g(x)d x m a g(x)d x .
例4 解
已知 n p 1 d x ln n p , ( p 0, n N ),
nx
n
求 lim n p sin x d x .
n n
x
由积分中值定理
n
n
p
sin x
三. 定积分的性质
b
n
a
f (x)dx lim 0
i 1
f (i )xi
a
b
规定 b f (x)dx a f (x)dx
又有
a
f (x)dx 0
a
下面的讨论假设所列积分均存在.
性质 1 (线性性质)
b
b
b
a[ f (x) g(x)]d x a f (x)d x a g(x)d x ,
f (i )xi
(
max
1in
{xi
})
.
定积分符号：
b
n
a
f (x)d x lim 0
i1
f (i )xi .
b —定积分号；a —积分下限；b —积分上限； a
f (x)d x — 被积表达式； f (x) — 被积函数；
d x中的 x —积分变量； [a,b]—积分区间. ( 积分变量的取值范围)
二. 定积分的定义
设函数 f (x) 在[a,b] 上有定义, 且有界.
任意引入分点 a x0 x1 xi1 xi xn1 xn b ,
将区间 [a, b] 分 成 n 个小区间 [xi1, xi ] (i 1,2,,n).
用xi xi xi1 表示第 i 个小区间的长度. i [xi1, xi ],
又 f (x) C([a,b]), g(x) R([a,b]), 故有
f (x)g(x) R([a,b]),
b
b
b
ma g(x)d x a f (x)g(x)d x M a g(x)d x,
其中, M ,m 为 f (x) 在[a,b] 上的最大,最小值.
(1)
若
b
g(x)d x
0,
则性质 6 显然成立.
选择适当的分法T , 使点c 成为分点, 则
f (i )xi f (i )xi f (i )xi
[ a ,b ]
[ a ,c ]
[c,b]
取 0 的极限, 由可积性即得
b
c
b
a f (x)d x a f (x)d x c f (x)d x
例3 若 f (x) 在下列所出现的区间上可积, 则
证 设 f (x) / 0, x [a,b] , 则至少x0 [a,b] 使 f (x0 ) 0, 由 f (x) C([a,b]) , U( x0 ) , 使
f (x) 0 x U( x0 ) .
取 [, ] U(x0) ,
则
f (x)d x 0.
又
f (x)d x 0,
b f (x)d x 0, 故
关于定积分定义的几点说明
(1) 定积分 b f (x)d x 是一个极限值(具体的数), a 它与分法 T 及点i 的选择无关, 只与f (x) 及 区间[a, b] 有关.
(2) 定积分与积分变量的记号无关：
b
f (x)d x
b
f (y)d y
b f (t)dt .
a
a
a
(3) 0时, 分点个数n , 但是, 当分点 个数 n 时, 却不一定有 0.