线性代数判断题+答案(上)
地大《线性代数》在线作业一[60489]
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一、判断题 1.(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基。 答案：正确
2.相似的两个矩阵的秩一定相等。 答案：正确
3.任意n阶实称矩阵都存在n个线性无关的特征向量 答案：正确
4.非齐次线性方程组任意两个解之差为对应系数的齐次线性方程组的解。 答案：正确
11.满足A的平方=A的n阶方阵的特征值的和等于1. 答案：正确
12.既能与上三角矩阵可交换又能与下矩阵交换则这个矩阵一定是对角矩阵 答案：正确
13.两个对称矩阵不一定合同。 答案：正确
14.对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B) 答案：错误
15.两个行列式相等的正交矩阵的乘积也是正交矩阵 答案：错误
5.合同的两个矩阵的秩一定相等 答案：正确
6.齐次线性方程组任意两个解之线性组合仍然是原方程组的解 答案：正确
7.满秩方阵的列向量组线性无关。 答案：正确
8.反对称矩阵的主对角线上的元素和为0 答案：正确
9.如果一个矩阵的行向量组为正交的单位向量组且为方阵，那么这个矩阵的行列式为1。 答案：正确
10.等价的两个线性无关向量组所含有向量的个数一定相等。 答案：正确
16.AX＝b有无穷多解，那么Ax=0有非零解。
答案：错误
17.二次型为正定的充要条件是对应的矩阵为正定矩阵 答案：正确
18.如果线性方程组的系数矩阵满秩则该方程组一定有解且解是唯一的。 答案：正确
19.方阵A和A的转置有相同的特征值. 答案：正确
20.两个矩阵A与B，若AB=0则一如果行列式值为0则必然有该行列式对应的矩阵是不可逆的。 答案：正确
22.矩阵A的行列式不等于零，那么A的行向量组线性相关。 答案：错误
线性代数课后习题答案1
1三明学院第一学期《线性代数》期末考试卷 闭卷参考答案及评分标准使用班级： 考试时间：120分钟一.判断题（每小题2分，共10分）1 22()()+-=-A B A B A B ( × )2 T T T T ()=ABC C B A （ √ ）3 设A 为方阵，则T -A A 是反对称矩阵 （ √ ）4 设A,B 为实对称矩阵，若A,B 相似，则A,B 合同 （ √ ）5 设A 为方阵，=0Ax 只有零解，则=Ax b 有唯一解（ √ ）二.选择题（每小题3分，共18分）1. 一个n 阶行列式D 中的某两行元素之和为零，则D =（ A ）. A. 0 ； B. 1； C. 2； D. 无法确定.2. 设3阶矩阵1122,2,3⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A=B=αβγγγγ，其中12,,,αβγγ均为3维的行向量，且18,2==A B ，则-=A B （ C. ）A. 0；B. 1；C. 2；D. 33. 设A 为4阶纯量矩阵，且16=A ,则A ，1-A 分别等于 （ C. ）.A. 14,4E E ； B. 13,3E E ；,E E 4. T 1221(,)53f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭x x 的二次型矩阵为（D ）.A. 2153⎛⎫⎪⎝⎭； B. 2113⎛⎫ ⎪⎝⎭； C. 2223⎛⎫ ⎪⎝⎭； D. 2333⎛⎫⎪⎝⎭. 5. 已知正定二次型123(,,)f x x x 经过正交变换化为标准形221231122(,,)f y y y y y λλ=-233y λ-，123,,λλλ的取值范围分别为（C. ）. A.1230,0,0λλλ≥≤<； B. 1230,0,0λλλ>≤≤； C. 1230,0,0λλλ><<； D. 1230,0,0λλλ≥<<. 6. 设*ξ是非齐次线性方程组=Αx b 的一个特解，12-,,,n r ξξξ是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，那么12-,,,,n r *ξξξξ（ A ）A. 线性无关；B.线性相关；C. 其中的*ξ可用12-,,,n r ξξξ线性表示；D. 无法断定.三. 填空题 (每小题3分，共15分)1. 四阶行列式中含有因子1123a a 的项为2.设1121⎛⎪⎭A =，且6=A E ，则11=A 1121⎛ ⎪⎝⎭3.设T T T 12(3,4),(1,2),(1,3)--===βαα,则β表示成12,αα的线性组合为122=-βαα4. 设向量组T T T 123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t --===ααα线性相关，则t = 1/2 ； 5. 设14=0,=223-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b ,c 与a 正交，且λ=+b a c ，则λ=2-， T (2,2,1)=--c四 设4阶行列式的第1行元素依次为2,,,3m k ，第1行元素的余子式依次为-1， 1，-1，1，第3行元素的代数余子式依次为3，1，4，2，且行列式的值为1，求,m k 的值.（9分）解：由行列式的展开定理，得11111212131314141131123213331434A A A A 1A A A A 0a a a a a a a a +++=⎧⎨+++=⎩，（性质7，性质8）…….（4分） 即514120m k m k ---=⎧⎨++=⎩，解得 42.m k =-⎧⎨=-⎩…….（9分）五 解矩阵方程2101101020020101101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X E X （12分）解：将原方程化为2001101001202010020010040100101100202⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭X E,X E 即001102010030100201⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X …….（5分） 13001102100201010030010030100201001102↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ，从而201030102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X （12分）六 利用初等行变换求矩阵123451122102151(,,,,)2031311041⎛⎫⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭A a a a a a 的秩与列向量组的一个最大线性无关组，并把其余列向量用最大线性无关组表示. （12分） 解：3132314(21(12112211122111221021510215102151203130215100000110410*******11+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪−−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r r r r ））224123431(12(11104111041100100206201031010310011100111001110000000000000++-↔---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪−−−→→−−−−→⎪ ⎪⎪---- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r ）） …….（7分） 故()3R =A ，一个最大无关组是123,,a a a ，41235233,=+-=-a a a a a a +a （12分）.七.判断非齐次线性方程组123412341234212223x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩是否有解，若有解，求出其通解（12分）解: (,)=A b2113312211111121311213121121211201121112132111101515-↔--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-−−−→-−−−→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r r r 13133322313()61030210302011210112100636100112++-++⎛⎫⎪----⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→---−−−→---−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪⎝⎭r r r rr r r r r310012301002100112⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7分）, 可见()(,)R R =A A b ，故原方程有解，（9分）方程解为142434312302112⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎪⎩x x x x x x ，其通解为3130,1120k k R -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12分） 八 试求对称矩阵422242224⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭特征值与特征向量。
地大《线性代数》在线作业二1答案
地大《线性代数》在线作业二-0010试卷总分:100 得分:0一、判断题(共25 道试题,共100 分)1.二次型为正定的充要条件是对应的矩阵为正定矩阵A.错误B.正确正确答案:B2.矩阵A的行列式不等于零，那么A的行向量组线性相关。
A.错误B.正确正确答案:A3.既能与上三角矩阵可交换又能与下矩阵交换则这个矩阵一定是对角矩阵A.错误B.正确正确答案:B4.任意n阶实称矩阵都存在n个线性无关的特征向量A.错误B.正确正确答案:B5.满秩方阵的列向量组线性无关。
A.错误B.正确正确答案:B6.n阶方阵可逆的充要条件是它的行列式不等于0.A.错误B.正确正确答案:B7.相似的两个矩阵的秩一定相等。
A.错误B.正确正确答案:B8.如果线性方程组的系数矩阵满秩则该方程组一定有解且解是唯一的。
A.错误B.正确正确答案:B9.两个对称矩阵不一定合同。
A.错误B.正确正确答案:B10.若AX=0只有零解，那么AX=b有唯一解。
A.错误B.正确正确答案:A11.反对称矩阵的主对角线上的元素和为0A.错误B.正确正确答案:B12.等价的两个线性无关向量组所含有向量的个数一定相等。
A.错误B.正确正确答案:B13.对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)A.错误B.正确正确答案:A14.两个行列式相等的正交矩阵的乘积也是正交矩阵A.错误B.正确正确答案:A15.如果方阵A是不可逆的，则一定有任意一个行向量是其余行向量的线性组合。
线性代数练习题三
5、设向量组： a1, a2, a3 线性无关，根据施密特正交化方法，可以把他们化为两两正交的向量组： b1 ， b2 ， b3
（1）写出 b3 的表达式；（2）如果 a1 (1, 0, 0)T, a2 (1, 1, 0)T, a3 (1, 1, 1)T ，求 b3 .
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线性代数 练习题（3）参考答案
1
第1页共1页
当 λ1 = 3 时，解 ( A − E)x = 0 得基础解系 p2 = (−1 1)T
∴可逆= 矩阵 P
[= p1 p2 ]
1 1
−1
1
使得
P −1
AP
=
Λ
=
1 0
0 3
−2 1 1 0
4. 解：（1）非线性方程组的增广矩= 阵 B
1
−2 1
3
1 1 −2 −3
−2 1 1 0 1 −2 1 3 1 −2 1 3 1 0 −1 −1
一、 判断题 1. ×；2.√；3.×；4.√；5.√.
二、 填空题
1.
0 ；2.
AT ， ±1；3.
3 ， 3 ；4.
0 1
1 0
，
1 0
0
k
, (k
≠
0)
，
1 k
0 1
；5.
1；6.
−x12 − 2x1x2 − x22
.
三、 计算题
x001
x100
0 1. 解：原式 =
x
1
0 =(−1)3+3 1
6.
对称矩阵
1 1
1 1
对应的二次型
f
⑩
.
三、计算题
x001
线性代数试题
线性代数试题LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 设向量组α1，α2，α3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( )。
(A) α 1 −α 2 ，α 2 −α 3 ，α 3 −α 1(B) α 1 ，α 2 ，α 3 + α 1(C) α 1 ，α 2 ，2 α 1 −3 α 2(D) α 2 ，α 3 ，2 α 2 + α 3正确答案：B解答参考：A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与α1，α2，α3等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组。
2.(A) 必有一列元素全为0；(B) 必有两列元素对应成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。
你选择的答案：未选择[错误]正确答案：C解答参考：3. 矩阵 ( 0 1 1 −1 2 ,0 1 −1 −1 0 ,0 1 3 −1 4 ,1 1 0 1 −1 ) 的秩为( )。
(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4你选择的答案：未选择[错误]正确答案：C解答参考：4. 若矩阵 ( 1 a −1 2, 1 −1 a 2 ,1 0 −1 2 ) 的秩为2,则 a的值为。
(A) 0(B) 0或-1(C) -1(D) -1或1你选择的答案：未选择[错误]正确答案：B解答参考：5. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 −8 x 2 x 3，则 f的矩阵为。
(A) ( 2 4 0 0 5 −8 0 0 5 )(B) ( 2 4 0 0 5 −4 0 −4 5 )(C) ( 2 2 0 2 5 −4 0 −4 5 )(D) ( 2 4 0 4 5 −4 0 −4 5 )你选择的答案：未选择[错误]正确答案：C解答参考：6. 设 A、 B为 n阶方阵，且 A与 B等价， | A |=0 ，则 r(B)(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n你选择的答案：未选择[错误]正确答案：A解答参考：7. 若矩阵 [ 1 2 2 −3 ,1 −1 λ−3 ,1 0 2 −3 ] 的秩为2,则λ的取值为(A) 0(B) -1(C) 2(D) -3你选择的答案：未选择[错误]正确答案：C解答参考：8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 A x=0 的基础解系的是(A) 2(B) -2(C) 1(D) -1你选择的答案：未选择[错误]正确答案：B解答参考：二、判断题(判断正误，共6道小题)9.设 A ,B 是同阶方阵，则 AB=BA 。
(完整word版)线性代数题目及解析。
一. 判断题（正确打√，错误打×）1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示,则s ααα,,,21 线性无关. (×)解答:反例：取01=α，02≠α,则2α不能由1α线性表示，但21,αα线性相关。
2。
如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关。
（√） 解答:向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ； 所以3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关. 3。
向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数。
(×)解答：正确结论：向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数。
4。
若向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,线性无关. (×） 解答:反例：取0,0==≠γβα,则向量组γβα,,只有一个极大无关组α，但γβα,,线性相关.正确命题：若γβα,,线性无关,则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题1.设向量组(1）:321,,ααα与向量组(2）:21,ββ等价，则（ A ）。
（A ） 向量组（1)线性相关; （B ）向量组(2）线性无关；(C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关. 解答：因为等价的向量组具有相同的秩,所以32),(),,(21321<≤=ββαααR R ，所以向量组（1）线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关,则向量组中（A) (A ）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B ）只有一个向量能由其余三个向量线性表示； （C)只有一个向量不能由其余三个向量线性表示；（D ）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示.解答：因为4个3维向量线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示。
19春地大《线性代数》在线作业一
19春地大《线性代数》在线作业一(判断题)1:满足A的平方=A的n阶方阵的特征值的和等于1.A:错误B:正确标准解答:(判断题)2:如果一个矩阵的行向量组为正交的单位向量组且为方阵，那么这个矩阵的行列式为1。
A:错误B:正确标准解答:(判断题)3:两个行列式相等的正交矩阵的乘积也是正交矩阵A:错误B:正确标准解答:(判断题)4:满秩方阵的列向量组线性无关。
A:错误B:正确标准解答:(判断题)5:反对称矩阵的主对角线上的元素和为0A:错误B:正确标准解答:(判断题)6:(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)构成为3维向量空间的一个基。
A:错误B:正确标准解答:(判断题)7:对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)A:错误B:正确标准解答:(判断题)8:等价的两个线性无关向量组所含有向量的个数一定相等。
A:错误B:正确标准解答:(判断题)9:矩阵的合同关系是等价关系A:错误B:正确标准解答:(判断题)10:若A某=0只有零解，那么A某=b有唯一解。
A:错误B:正确标准解答:(判断题)11:两个矩阵A与B，若AB=0则一定有A=0或者B=0A:错误B:正确标准解答:(判断题)12:n阶方阵可逆的充要条件是它的行列式不等于0.A:错误B:正确标准解答:(判断题)13:A某＝b有无穷多解，那么A某=0有非零解。
A:错误B:正确标准解答:(判断题)14:两个对称矩阵不一定合同。
A:错误B:正确标准解答:(判断题)15:如果行列式值为0则必然有该行列式对应的矩阵是不可逆的。
A:错误B:正确标准解答:(判断题)16:如果线性方程组的系数矩阵满秩则该方程组一定有解且解是唯一的。
A:错误B:正确标准解答:(判断题)17:如果方阵A是不可逆的，则一定有任意一个行向量是其余行向量的线性组合A:错误B:正确标准解答:(判断题)18:齐次线性方程组任意两个解之线性组合仍然是原方程组的解A:错误B:正确标准解答:(判断题)19:相似的两个矩阵的秩一定相等。
《线性代数》考试复习题及解答
《线性代数》考试复习题一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√)解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是： 用正交变换化二次型Ax x T为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型.二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111 a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值. 2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆； (C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3， 所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ).(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221 . 解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T=,那么B C A 2=)，所以选(D) .方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T -+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221, 所以选(D) .方法3 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T=，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ，即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a .5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2.7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量.解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(21420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量.解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n nn n n nnnE A 00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n , 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x xx x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y x A 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件.解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00000101-1010101y x y x E A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1） 求A 的特征值与特征向量;（2） 求矩阵A . 解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数；1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,，即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-AP P ，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(333351011)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++, 所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似.证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TT T T T B A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+，而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A .4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B TT T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x TT T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x TT +=λ， 而当0≠x 时，有0>x x T， 0≥)()(Ax Ax T，从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x T T T λ，即矩阵B 为正定矩阵.。
(完整版)线性代数习题集
一. 判断题（正确打√，错误打×)1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n 。
（ × ） 正确答案：)!1(-n解答：方法1因为含有11a 的项的一般形式是n nj ja a a 2211，其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体，所以共有)!1(-n 项. 方法2 由行列式展开定理=nnn n n n a a a a a a a a a212222111211n n A a A a A a 1121211111+++ ,而n n A a A a 112121++ 中不再含有11a ，而11A 共有)!1(-n 项，所以含有11a 的项数是)!1(-n .注意:含有任何元素ij a 的项数都是)!1(-n 。
2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零,则ij a 等于零。
（ √ ）解答：将nnn n nn a a a a a a a a a212222111211中的n 、、、 32列都加到第一列，则行 列式中有一列元素全为零,所以ij a 等于零. 3.3322441144332211000000a b b a a b b a a b a b b a b a =。
( √ ）解答:方法1按第一列展开332244114411414133224133224144332211)(0000000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a =-=-=。
方法2 交换2，4列,再交换2,4行2233441144332211443322110000000000000000000000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =-==33224411a b b a a b b a 。
方法3 Laplace 展开定理：设在n 行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 。
线性代数判断题(上)
线性代数判断题（上）一．多项式 1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
（ ）2． 若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。
（ ）3．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。
（ ）4．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。
（ ）5． 设p(x)是数域p 上不可约多项式，那么如果p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x)是f(x)的k-1重因式。
（ ）6、如果f(x)在有理数域上是可约的，则f(x)必有有理根。
（ ）7、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ ）8、若p(x)是f’(x)内的k 重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式（ ）9、如果f(x)没有有理根，则它在有理数域上不可约。
（ ）10．奇次数的实系数多项式必有实根。
（ ）11． f(x)=x 6+x 3+1在有理数域上可约。
（ ）12．数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）13．f(x)=x 4-2x 3+8x-10在有理数域上不可约。
（ ）14．数集}{为整数n n |2是数域 （ ）15.n p x +,p 为素数在有理数域上是可约的。
（ ）16.有理数域是最小的数域 （ ）17.f(x) g(x) h(x),是实数域上的多项式，若222()()()f x xg x xh x =+，那么f(x)=g(x) =h(x)=0.18.1()f x x x =+是一个多项式（ ）19若证明某个集合对加减乘除封闭，则它是一个数域。
（ ）20.对于任何正整数n(>=2)都有n 次不可约的有理系数多项式 （ ）二．行列式1、若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于n 2-n ，则D=0 （ ）2、设A 为n 级方阵：|A|=2 ，则|-3A|= -6 ( )3、设A 为n 级方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n 2 （ ）4、6级行列式中，项a 32 a 45 a 51 a 66 a 25带负号 （ ）5、0107310111187654321=--- （ ） 6.一个偶排列的逆序数为a,那么至少经过a 次变换成为自然顺序（ ）7.行列式的展开定理为(12)1211(1)j j jn n j njn j j j a a τ-∑ 三．线性方程组1、若向量组的秩为r ，则其中任意r+1个向量都线性相关。
线性代数模拟试题及答案1
线性代数模拟试题及答案1、判断题（本题共5⼩题，每⼩题3分,共15分.下列叙述中正确的打V,错误的打X.）1. 图解法与单纯形法，虽然求解的形式不同，但从⼏何上理解，两者是⼀致的?（）2. 若线性规划的原问题有多重最优解，则其对偶问题也⼀定具有多重最优解.（）3. 如果运输问题单位运价表的某⼀⾏（或某⼀列）元素分别加上⼀个常数k ，最优调运⽅案将不会发⽣变化?（）的最优解，但⽬标函数相差：n+c. （）5.影⼦价格是对偶最优解，其经济意义为约束资源的供应限制?（）、填空题（本题共8⼩题,每空3分,共36分.把答案填在题中横线上.）1、在线性规划问题的约束⽅程 A m n X b,X 0中，对于选定的基B,令⾮基变量畑0,得到的解X= ______________ ;若 _______________ ，则称此基本解为基本可⾏解2、线性规划试题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常⽤增加 ____________________ 的⽅法来产⽣初始可⾏基。
3、⽤单纯形法求解线性规划问题的迭代步骤中，根据k ____________________________ 确定X k 为进基变量;根据最⼩⽐值法则 = ______________________________ ，确定X r 为出基变量。
4、原问题有可⾏解且⽆界时，其对偶问题 ___________________ ，反之，当对偶问题⽆可⾏解时，原问题 __________________ 。
5、对于Max 型整数规划问题，若其松弛问题的最优单纯形表中有⼀⾏数据为：6、原问题的第1个约束⽅程是“=”型，则对偶问题相应的变量是 __________________ 变量7、⽤LINGO 软件求解整数规划时，要说明变量 X 是只可以取0或1的整数变量，则要⽤c ij x ij4.对于极⼤化问题max Z = i 1 j 1,令cn nm inWb j xij ，则利⽤匈⽛利法求解时，极⼤化问题的最优解就是极⼩化问题max C ij , b ijC Cij转化为极⼩化问题___________ 令函数&⽤匈⽛利法解分配问题时，当 ____________________ 则找到了分配问题的最优解；称此时独三、解答题（本题共6⼩题,共49分）maxz 3为4x2 X31、已知线性规划问题X1 2X2 3X3 6，利⽤对偶理论证明其⽬标函数值⽆界。
线性代数-专升本--练习题(含答案)
线性代数试卷A 答案(专升本)一、判断题1.设X 是方阵A 的一个非零特征值对应的特征向量，则X 是A 的列向量的线性组合。
( √ )2.设a i ,b i ,c i ,分别为n 阶方阵A,B,(A+B)的特征值，则有等式∑a i n i=1=∑b i n i=1=∑c i ni=1。
(√)3.若方阵A 的特征值全为零，则A 为零矩阵。
(×)4.若A 是一个实对称阵，方程组AX=0有非零解，则A 不是正定矩阵。
( √ )5.若n 阶方阵的行、列向量组不等价，则|A|=0。
(√)6.若齐次线性方程组中方程的个数大于未知量的个数，则该方程只有零解。
(×)7.相似的矩阵有相同的特征值，从而有相同的特征向量。
(×)8.设A 为正交阵，若λ是A 的特征值，则λ-1也是A 的特征值。
( √ )9.设A,B 是n 阶方阵，若AB+B=I ，则BA+B=I 。
(√) 10.若向量X 1,X 2,X 3线性无关，则X 1+X 2+X 3≠0 。
( √) 11.设r(A)=r ，则A 至少有一个r -1阶子式不为零。
(√ ) 12.若α1, α2,…,αm 线性无关，则α1+2α2+3α3+…+m αm ≠0 。
( √) 13.可逆的上三角阵的逆矩阵仍是上三角阵.(√ ) 14.若α=(α1, α2，…，αn )T ≠0，则ααT 的秩必为1。
(√) 15.设A,B,C 为n 阶方阵，若ABC=I ，则C=B -1A -1。
( √)16.设A 为m×n 矩阵，r(A)=m ，则非齐次线性方程组AX=b 一定有解。
( √) 17.若A,B 为n 阶正定阵，则A -1+B -1也为正定阵。
( √) 18.若A 的特征值为1或0，则A= A 。
(×)19.若n 阶方阵A 中每列元素之和为0，则|A|=0。
(√ ) 20.若A 可逆，则(A *)-1=(A -1)*，其中A *是A 的伴随矩阵。
席南华线性代数答案
席南华线性代数答案1.【单选题】下列方程组哪个是相容的()。
答案：C2.【单选题】下列方程组哪个是线性方程组()。
答案：B3.【判断题】两个方程组等价,如果它们有相同的解或无解。
() 答案：√高斯消元法与阶梯型1.【单选题】下列方程组哪个是阶梯型的()。
答案：C?2.【单选题】答案：3.【判断题】齐次线性方程组的常数项为0。
()答案：√线性方程组的等价与初等变换.【单选题】答案：2.【单选题】答案：3.【判断题】初等变换改变方程组的解()答案：×矩阵1.【单选题】答案：2.【单选题】下列哪个方程组当a取任何值时都有解()。
答案：B3.【判断题】答案：√齐次线性方程组.【单选题】下列哪个方程组是齐次线性方程组()。
答案：C2.【单选题】答案：A3.【判断题】通过初等变换矩阵可以化为阶梯型。
() 答案：√二阶行列式1.【单选题】A、-1B、1C、0D、2答案：A2.【单选题】答案：C3.【判断题】答案：√4.【判断题】答案：√三阶行列式1.【单选题】A、-70B、-63C、70D、82答案：2.【单选题】答案：C3.【判断题】答案：√集合的基本概念1.【单选题】A、3B、8C、4D、2答案：B2.【单选题】答案：B3.【判断题】空集是任何集合的子集。
() 答案：√集合之间的运算1.【单选题】答案：D2.【单选题】A、1B、2C、3D、4答案：A3.【判断题】答案：×集合的乘积和基数1.【单选题】答案：B2.【单选题】B、2C、3D、4答案：B3.【判断题】答案：×映射的基本概念1.【单选题】答案：A?2.【判断题】答案：√?3.【判断题】答案：√映射的合成1.【单选题】下列各组函数中,是同一函数的是()。
答案：A?2.【判断题】答案：√3.【判断题】答案：√逆映射1.【多选题】答案：ABCD?2.【判断题】答案：×?3.【判断题】答案：√对换1.【单选题】2.【判断题】答案：√置换的分解1.【单选题】A、5B、24C、16D、2答案：A2.【判断题】对换是循环,长度为2。
线性代数(专升本)综合作业答案
综合作业1. (判断题) (本题1.0分)A、正确B、错误学生答案： B标准答案：B解析：得分： 12. (判断题) (本题1.0分)A、正确B、错误学生答案： A标准答案：A解析：得分： 13. (判断题) (本题1.0分)A、正确B、错误学生答案： B标准答案：B解析：得分： 14. (单选题) 行列式中元素的代数余子式为( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案： B标准答案：A解析：得分： 05. (单选题) 矩阵的逆矩阵为( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案： C标准答案：D解析：得分： 06. (单选题) 阶方阵,若,则中( )(本题1.0分)A、必有一列元素全为零B、必有两列元素对应成比例C、必有一列向量是其余列向量的线性组合D、任一列向量是其余列向量的线性组合学生答案： C标准答案：C解析：得分： 17. (单选题) 设为矩阵,为阶可逆方阵,,而,则( )(本题1.0分)A、B、C、D、与的关系不定学生答案： C标准答案：A解析：得分： 08. (单选题) 阶方阵具有个不同的特征值是与对角矩阵相似的( )(本题1.0分)A、充分必要条件B、充分而非必要条件C、必要而非充分条件D、既非充分也非必要条件学生答案： A标准答案：B解析：得分： 09. (单选题) 若是正定矩阵,则其逆矩阵( )(本题1.0分)A、也是正定矩阵B、是负定矩阵C、是半正定矩阵D、不定学生答案： A标准答案：A解析：得分： 110. (单选题) 设行列式则行列式 ( )(本题1.0分)A、B、 1C、 2D、学生答案： C标准答案：A解析：得分： 011. (单选题) 设A为n阶方阵,将A的第1列与第2列交换得到方阵B,若,则必有( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案： C标准答案：C解析：得分： 112. (单选题) 设,则方程的根的个数为( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、 3学生答案： D标准答案：B解析：得分： 013. (单选题) 设行列式D==3,D1=,则D1的值为( )(本题1.0分)A、-15B、-6C、 6D、15学生答案： D标准答案：C解析：得分： 014. (单选题) 已知4阶行列式D第一行的元素依次为1,1,0,2,它们对应的余子式分别为2,3,6,0,则D= ( )(本题1.0分)A、 5B、0C、-1D、 1学生答案： A标准答案：C解析：得分： 015. (单选题) 设,则的常数项为( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、-1学生答案： D标准答案：A解析：得分： 016. (单选题) 行列式中第4行各元素的代数余子式之和为( )(本题1.0分)A、 1B、0C、 3D、 4学生答案： D标准答案：B解析：得分： 017. (单选题) 已知行列式=0,则数a=( )(本题1.0分)A、 1B、 3C、-3D、0学生答案： C标准答案：B解析：得分： 018. (单选题) 设A是4阶方阵,且det(A)=4,则det(4A)=( )(本题1.0分)A、44B、45C、46D、47学生答案： B标准答案：B解析：得分： 119. (单选题) 已知A2+A+E=0,则矩阵A-1=( )(本题1.0分)A、A+EB、A-EC、-A-ED、-A+E学生答案： D标准答案：C解析：得分： 020. (单选题) 设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )(本题1.0分)A、A-1CB-1B、CA-1B-1C、B-1A-1CD、CB-1A-1学生答案： A标准答案：A解析：得分： 121. (单选题) 设A是s×n 矩阵(s≠n),则以下关于矩阵A的叙述正确的是( )(本题1.0分)A、A T A是s×s对称矩阵B、A T A=AA TC、(A T A)T =AA TD、AA T是s×s对称矩阵学生答案： D标准答案：D解析：得分： 122. (单选题) 下列等式中,正确的是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案： B标准答案：D解析：得分： 023. (单选题) 下列矩阵中,是初等矩阵的为( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案： B标准答案：C解析：得分： 024. (单选题) 设A、B均为n阶可逆矩阵,且是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案： B标准答案：C解析：得分： 025. (单选题) 设A为3阶矩阵,A的秩r(A)=3,则矩阵A*的秩r(A*)=( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、 3学生答案： D标准答案：D解析：得分： 126. (单选题) 设方阵A满足A5=E,则必有( )(本题1.0分)A、A=EB、A=-EC、|A|=1D、|A|=-1学生答案： C标准答案：C解析：得分： 127. (单选题) 设A为n阶方阵,则下列结论中不正确的是( )(本题1.0分)A、A T A是对称矩阵B、AA T是对称矩阵C、E+A T是对称矩阵D、A+A T是对称矩阵学生答案： C标准答案：C解析：得分： 128. (单选题) 设向量=(-1,4),=(1,-2),=(3,-8),若有常数a,b使a-b-=0,则( )(本题1.0分)A、B、a=-1,b=2C、a=1,b=-2D、a=1,b=2学生答案： D标准答案：A解析：得分： 029. (单选题) 设矩阵,那么矩阵A的列向量组的秩为( )(本题1.0分)A、 3B、 2C、 1D、0学生答案：未答题标准答案：B解析：得分： 030. (单选题) 设1,2,3,4,5是四维向量,则( )(本题1.0分)A、l,2,3,4,5一定线性无关B、l,2,3,4,5一定线性相关C、5一定可以由1,2,3,4线性表出D、1一定可以由2,3,4,5线性表出学生答案： B标准答案：B解析：得分： 131. (单选题) 向量组=(1,2,0),=(2,4,0),=(3,6,0),=(4,9,0)的极大线性无关组为( )(本题1.0分)A、,B、,C、,D、,学生答案：未答题标准答案：A解析：得分： 032. (单选题) 设向量组α1,α2,α3,α4线性相关,则( )(本题1.0分)A、α1,α2,α3,α4中至少有一向量为零向量B、α1,α2,α3,α4中至少有两个向量成比例C、α1,α2,α3,α4中至少有一个向量可由其余向量线性表示D、α1,α2,α3,α4中每一个向量都可由其余向量线性表示学生答案： C标准答案：C解析：得分： 133. (单选题) 设α1,α2,α3,α4为三维向量,已知α1,α2,α3,线性无关,而α2,α3,α4线性相关,则( )(本题1.0分)A、α1必可由α2,α3,α4线性表出B、α2必可由α1,α3,α4线性表出C、α3必可由α1,α2,α4线性表出D、α4必可由α1,α2,α3线性表出学生答案： C标准答案：D解析：得分： 034. (单选题) 设A是n阶方阵|A|=0,则下列结论中错误的是( )(本题1.0分)A、r(A)<nB、A必有两行元素成比例C、A的n个行向量线性相关D、A有一个列向量可由其余n-1个列向量线性表出学生答案：未答题标准答案：B解析：得分： 035. (单选题) 设向量α=(1,-2,3)与β=(2,k,6)正交,则数k为( )(本题1.0分)A、-10B、-4C、 4D、10学生答案： D标准答案：D得分： 136. (单选题) 矩阵A的行向量组的秩是a,列向量组的秩是b,矩阵A的秩是c,则( )。
线性代数判断题及其答案
线性代数判断题及其答案(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数判断题线性代数课程组判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）1、以数k 乘行列式D ，等于用数k 乘行列式的某一行（或某一列）. （ ）2、行列式01111≠--a a 的充要条件是a≠2且a≠0. （ ）3、3阶行列式843576321的值等于行列式853472361的值. （ ）4、交换行列式的两列，行列式的值变号. （ ）5、行列式321332211321321321321333c c c a b a b a b a a a c c c b b b a a a D +++==成立. （ ） 6、行列式2211221122221111d b d b c a c a d c b a d c b a D +=++++=成立. （ ）7、行列式25434232124108684642⨯==D 成立. （ ）8、n 阶行列式中元素ij a 的余子式ij M 与代数余子式ij A 的关系是ij ij M A -=. （ ）9、主对角线右上方的元素全为0的n 阶行列式称为上三角形行列式. （ ）10、行列式25479623875156422547962356428751==D 成立. （ ） 11、设D 是行列式，k 是不为零的实数，则kD 等于用k 去乘以行列式的某一行得到的行列式. （ ）12、如果行列式D 有两行元素对应相等，则0=D . （ ）13、设D 是n 阶行列式，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式.如果将D 按照第n 列展开，则nn nn n n n n A a A a A a D +++= 2211. （ ）14、行列式4444543225169454321111=D 是范德蒙行列式. （ ）15、克拉默法则可用于解任意的线性方程组. （ ）16、齐次线性方程组一定有零解，可能没有非零解. （ ）17、由n 个方程构成的n 元齐次线性方程组，当其系数行列式等于0时，该齐次线性方程组有非零解. （ ）18、行列式1694432111中第三行第二列元素的代数余子式的值为-2. （ ）19、设行列式3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则62525253332313123222121131211111=+++=a a a a a a a a a a a a D . （ ） 20、设行列式12211=b a b a ，22211=c a c a ，则3222111=++c b a c b a . （ ）21、如果行列式D 有两列元素对应成比例，则0=D . （ ）22、设D 是n 阶行列式，则D 的第2行元素与第三行元素对应的代数余子式之积的和为0，即03232223121=+++n n A a A a A a . （ ） 23、任何阶数的行列式都可以用对角线法则计算其值. （ ） 24、任意一个矩阵都有主次对角线. （ ） 25、两个零矩阵必相等. （ ） 26、两个单位矩阵必相等. （ ）27、3阶数量矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001000000a a a a . （ ）28、若矩阵A≠0，且满足AB=AC ，则必有B=C. （ ） 29、若矩阵A 满足T A A =，则称A 为对称矩阵. （ ）30、若矩阵A ，B 满足AB=BA ，则对任意的正整数n ，一定有（AB ）n =A n B n .（ ）31、因为矩阵的乘法不满足交换律，所以对于两个同阶方阵A 与B ，AB 的行列式||AB 与BA 的行列式||BA 也不相等. （ ） 32、设A 为n 阶方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n 2. （ ） 33、设A,B 都是三阶方阵，则B A B A +=+. （ ）34、同阶可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也可逆，且111)(---=B A AB . （ ） 35、若A ，B 都可逆，则A+B 也可逆. （ ） 36、若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆. （ ） 37、若A 满足A 2+3A+E=0，则A 可逆. （ ）38、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵. （ ） 39、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵. （ ）40、设A ，B ，C ，E 均为n 阶矩阵，若ABC=E ，可得BCA=E. （ ） 41、如果A 2-6A=E ，则1-A = A-6E. ( )42、设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2531，则A *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1532. ( ) 43、设A 是n 阶方阵，且1=A ，则115)5(---=n T A . （ ）44、分块矩阵的转置方式与普通矩阵的转置方式是一样的. （ ）45、由单位矩阵E 经过任意次的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. （ ） 46、矩阵的等价就是指两个矩阵相等. （ ）47、设A 是3阶矩阵，交换矩阵A 的1，2两行相当于在矩阵A 的左侧乘以一个3阶的初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000101012E . （ ）48、对n 阶矩阵A 施以初等行变换与施以相同次数的初等列变换得到的矩阵是相等的. （ ）49、设A 是4×5矩阵，)(A r =3，则A 中的所有3阶子式都不为0. （ ） 50、对矩阵A 施以一次初等行变换得到矩阵B ，则有)()(B r A r =. （ ） 51、若6阶矩阵A 中所有的4阶子式都为0，则4)(0<≤A r . （ ） 52、满秩矩阵一定是可逆矩阵. （ ）53、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. （ ） 54、等价的矩阵有相同的秩. （ ） 55、n 阶矩阵就是n 阶行列式. （ ）56、用矩阵A 左乘以矩阵B 等于用矩阵A 与矩阵B 中对应位置的元素相乘. （ ）57、设A 为三阶方阵且2-=A ，则=A A T 3108. （ ）58、方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积. （ ）59、方阵A 可逆的充分必要条件是A 与同阶的单位矩阵等价. （ ） 60、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为满秩矩阵. （ ） 61、若|A|≠0，则|A*|≠0. ( )62、矩阵的秩是指矩阵的最高阶非零子式的阶数. （ ）63、设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，O 为n 阶零矩阵，C 为2n 阶分块对角矩阵即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B O O A C ，则C 的逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--O B A O C 11. （ ）64、向量组中的任意一个向量都可由这个向量组本身线性表出. （ ） 65、零向量可由任意向量组线性表出. （ ）66、若4321αααα，，，线性无关，则)4(21>n n ααα ，，线性相关. （ ）67、两个n 维向量线性相关的充要条件是两个n 维向量的各个分量对应成比例. （ ） 68、若02211=++n n k k k ααα ，则n ααα，，， 21线性相关. （ ）69、若对任意一组不全为0的数n k k k ，，， 21，都有02211≠+++n n k k k ααα ，则n ααα，，， 21线性无关. （ ）70、若向量组A ：m ααα,,,21 线性相关，且可由向量组B ：s βββ,,,21 线性表出，则s m ≤. （ ）71、等价的向量组所含向量个数相同. （ ） 72、任意一个向量组都存在极大无关组. （ ）73、设向量组im i i ααα,,,21 是向量组n ααα,,,21 的一个子组。
20春地大《线性代数》在线作业一_84答案
(判断题)1: 矩阵A的行列式不等于零，那么A的行向量组线性相关。
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)2: 如果方阵A是不可逆的，则一定有任意一个行向量是其余行向量的线性组合A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)3: 两个对称矩阵不一定合同。
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)4: 二次型为正定的充要条件是对应的矩阵为正定矩阵
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)5: 合同的两个矩阵的秩一定相等
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)6: 满足A的平方=A的n阶方阵的特征值的和等于1.
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)7: 如果行列式值为0则必然有该行列式对应的矩阵是不可逆的。
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)8: 既能与上三角矩阵可交换又能与下矩阵交换则这个矩阵一定是对角矩阵
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)9: 矩阵的合同关系是等价关系
A: 错误
B: 正确
正确答案: B。
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线性代数判断题（上）
一．多项式 1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
（ √ ）
2． 若
(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。
（ √ ） 3．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。
（ √ ）
4．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。
（ × ）
5． 设p(x)是数域p 上不可约多项式，那么如果p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x)
是f(x)的k-1重因式。
（ √ ）
6、如果f(x)在有理数域上是可约的，则f(x)必有有理根。
（ × ）
7、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ × ）
8、若p(x)是f’(x)内的k 重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式（ × ）
9、如果f(x)没有有理根，则它在有理数域上不可约。
（ × ）
10．奇次数的实系数多项式必有实根。
（ √ ）
11． f(x)=x 6+x 3+1在有理数域上可约。
（ × ）
12．数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ √ ）
13．f(x)=x 4-2x 3+8x-10在有理数域上不可约。
（ √ ）
14．数集}{为整数n n
|2是数域 （ × ） 15.n p x +,p 为素数在有理数域上是可约的。
（ × ）
16.有理数域是最小的数域 （ √ ）
17.f(x) g(x) h(x),是实数域上的多项式，若
222()()()f x xg x xh x =+，那么f(x)=g(x)
=h(x)=0.(√)
18.1
()f x x x =+是一个多项式（ × ）
19若证明某个集合对加减乘除封闭，则它是一个数域。
（ × ）
20.对于任何正整数n(>=2)都有n 次不可约的有理系数多项式 （ √ ）
二．行列式
1、若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于n 2-n ，则D=0 （ √ ）
2、设A 为n 级方阵：|A|=2 ，则|-3A|= -6 ( × )
3、设A 为n 级方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n 2 （ √ ）
4、6级行列式中，项a 32 a 45 a 51 a 66 a 25带负号 （ × ）
5、010
73101
1118765
4321
=--- （ √ ） 6.一个偶排列的逆序数为a,那么至少经过a 次变换成为自然顺序（ √ ）
7.行列式的
展开定理为
(12)1211(1)j j jn n j njn j j j a a τ-∑ (×)
三．线性方程组
1、若向量组的秩为r ，则其中任意r+1个向量都线性相关。
（ √ ）
2、若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。
（ × ）
3、若线性方程组AX= B 中，方程的个数小于未知量的个数，则AX=B 一定有无穷多解。
（ × ）
4、若线性方程组AX=B 中方程的个数等于未知量的个数，则AX=B 有唯一解。
（ × ）
5、若线性方程组AX=B 的方程的个数大于未知量的个数，则AX=B 一定无解。
（ × ）
6、若线性方程组AX=B 的导出组AX=0有穷多解，则AX=B 有无穷多解。
（ × ）
7、若线性方程组AX=B 的导出组AX=0只有零解，则AX=B 有唯一解。
（ × ）
8、若矩阵A 的行向量组线性无关，则方程组AX=0只有零解。
（ × ）
9、若矩阵A 的列向量组线性无关，则方程组AX=0只有零解。
（ √ ）
10、任意一个齐次线性方程组AX=0都有基础解系。
（ × ）
11、任意一个非齐次线性方程组AX=B 都不存在基础解系。
（ √ ）
12、若n 元齐次线性方程组AX=0满足r(A)=r ＜n 则它有无穷多个基础解系。
（ √ ）
13.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。
（ × ）
14．向量α线性相关⇔它是任一向量组的线性组合。
（ √ ）
15．设12n ααα是n P 中n 个向量，若n P β∀∈，有12,n αααβ线性相关，则12n ααα线性相关。
（ × ）
四．矩阵
1 秩()A B +＝秩A ，当 且仅当秩0B =。
（ × ）
2、若AB=BA ，则（AB ）n =A n B n 。
( √ )
3、若A ，B 都不可逆，则A+B 也不可逆。
（ × ）
4、若A ，B 都可逆，则A+B 也可逆。
（ × ）
5、若AB 可逆，则A ，B 都可逆。
（ √ ）
6、若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆。
（ × ）
7、对任意矩阵A ，A ′A 是对称矩阵。
（ √ ）
8、若|A|≠0，则|A*|≠0。
（ √ ）
9、若A 满足A 2+3A+E=0，则A 可逆。
（ √ ）
10、（A+E ）（A-E ）=（A-E ）（A+E ）。
（ √ ）
11、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵。
（ × ）
12、可与对角矩阵交换的一定是对角矩阵 （ √ ）
13、A B C E 均为n 阶矩阵 ABC=E ，可得BCA=E （ √ ）。