离散时间滤波器的设计
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| H c ( j ) |2
p
1 1 ( / c )2 N
1 2
计算阶数和3 分贝截止频率： N log
p
10 10 1 s 10 s 10 1
p
1 2N
向上取整
s 10
设计模拟低通chebyI型滤波器:
p 1dB , s 15dB
[N,Wc]=cheb1ord(2000*pi,4000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=cheby1(N,1,Wc, 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([0,4000,-30,0]) grid on
举例
设计模拟高通滤波器: p 2 2000rad / s , s 2 1000rad / s ,
[N,Wc]=buttord(4000*pi,2000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=butter(N,Wc, 'high', 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([0,4000,-16,0]) grid on
设计模拟低通chebyII 型滤波器: 举例 p 2 1000rad / s , s 2 2000rad / s ,
p 1dB , s 15dB
[N,Wc]=cheb2ord(2000*pi,4000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=cheby2(N,15,Wc, 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([0,4000,-30,0]) grid on
k 0
s
k 0
N 1
)
举例
设计模拟低通滤波器:
p 2 1000rad / s , s 2 2000rad / s ,
p 1dB, s 15dB
[N,Wc]=buttord(2000*pi,4000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=butter(N,Wc, 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([1000,2000,-16,0]) grid on 输出: N = 4 Wc = 8.1932e+003 Bs = 1.0e+015 * 0 0 0 As = 1.0e+015 * 0.0000 0.0000 0.0000
s
10
c
p 10 10 1
2 k 1 1 j 2N 2
OR c
1
1 2N
计算极点:
s k c e
, k 0 N 1
1 s 1 sk c N
写出系统函数：
Hc ( s)
S平面映射 到Z平面
虚轴映射 到单位圆
H c (s)
H ( z)
左半平面的极点映 射到单位圆内
8.2.0 连续时间滤波器设计简介
3种常用的连续时间滤波器的幅度响应：
(d)
区别： （1）波动不同 （2）相同阶数， 性能增加 （3）设计 复杂度增
(b)
(c)
巴特沃斯滤模拟低通波器的设计公式：
幅度平方函数：
b0 b1 s 1 b2 s 2 b3 s 3 b4 s 4 Hc ( s) a0 a1 s 1 a2 s 2 a3 s 3 a4 s 4
0 4.5063 0.0014 4.5063
幅度响应
举例
p 2 1000rad / s , s 2 2000rad / s ,
(3)为实现该滤波器选择一有限精度的软件算法或硬件结构；
(4)验证在选定的实现算法和精度情况下频响特性是否符合指 标要求，如果产生了偏差则对步骤（3）的结果进行修正； (5)实现该滤波器。
8.1 技术指标
相位（是否线性） 数字频率 横坐标 指标（频域） 模拟频率 幅度（容限图） 绝对增益（绝对指标） 纵坐标 对数增益(相对指标）
滤波器的设计与实现包括以下几个步骤： (1)根据需要制定滤波器的技术指标即频率响应，包括幅度和 相位两方面的要求； (2)用因果稳定的离散时间系统逼近这些技术指标。对于FIR滤 波器就是找到一个频率响应满足指标要求的因果有限长的 单位脉冲响应；而对IIR滤波器则是找到一个频率响应满足 指标要求的因果稳定的有理系统函数；
3dB截止频率对应的对数增益 :
| H (e jc ) | 1 / 2 20 log10 | H ( e jc ) | 3dB
在工程实际中，相对指标最受欢迎。
8.2 由连续时间滤波器设计IIR滤波器
首先设计一个连续时间滤波器（称为原型连续时间滤波 器），得到系统函数Hc(s) ； 再将系统函数Hc(s)转换成离散时间滤波器的系统函数 H(z) 。 Hc(s)到H(z)的转换过程实际上是s平面到z平面的映射 过程，该映射需要满足两个要求： 一是要求所得到的离散时间滤波器的频率响应保持连续 时间滤波器频率响应的基本特征，即s平面的虚轴映射 到z平面的单位圆，且离散时间滤波器与连续时间滤波 器的频率响应的类型保持不变； 二是要求将一个因果稳定的连续时间滤波器转换成一个 因果稳定的离散时间滤波器，即将在s左半平面的极点 全部转换成在z平面单位圆内的极点。
等效的模拟系统
通带容差
幅度响应容限图
1/ 2
3dB/半功率 截止频率
阻带容差
c
c
通带截止频率
阻带截止频率
若给出的是等效模拟系统的幅度响应,即横坐标是 , 给 出的截止频率是 p和s ,则需转换得到数字的截止频率:
p pT s sT
对数增益:
p 20* log10 (1 p ) 0,| p | 称为通带最大衰减 s 20* log10 s 0，| s | 称为阻带最小衰减
p
1 1 ( / c )2 N
1 2
计算阶数和3 分贝截止频率： N log
p
10 10 1 s 10 s 10 1
p
1 2N
向上取整
s 10
设计模拟低通chebyI型滤波器:
p 1dB , s 15dB
[N,Wc]=cheb1ord(2000*pi,4000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=cheby1(N,1,Wc, 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([0,4000,-30,0]) grid on
举例
设计模拟高通滤波器: p 2 2000rad / s , s 2 1000rad / s ,
[N,Wc]=buttord(4000*pi,2000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=butter(N,Wc, 'high', 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([0,4000,-16,0]) grid on
设计模拟低通chebyII 型滤波器: 举例 p 2 1000rad / s , s 2 2000rad / s ,
p 1dB , s 15dB
[N,Wc]=cheb2ord(2000*pi,4000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=cheby2(N,15,Wc, 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([0,4000,-30,0]) grid on
k 0
s
k 0
N 1
)
举例
设计模拟低通滤波器:
p 2 1000rad / s , s 2 2000rad / s ,
p 1dB, s 15dB
[N,Wc]=buttord(2000*pi,4000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=butter(N,Wc, 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([1000,2000,-16,0]) grid on 输出: N = 4 Wc = 8.1932e+003 Bs = 1.0e+015 * 0 0 0 As = 1.0e+015 * 0.0000 0.0000 0.0000
s
10
c
p 10 10 1
2 k 1 1 j 2N 2
OR c
1
1 2N
计算极点:
s k c e
, k 0 N 1
1 s 1 sk c N
写出系统函数：
Hc ( s)
S平面映射 到Z平面
虚轴映射 到单位圆
H c (s)
H ( z)
左半平面的极点映 射到单位圆内
8.2.0 连续时间滤波器设计简介
3种常用的连续时间滤波器的幅度响应：
(d)
区别： （1）波动不同 （2）相同阶数， 性能增加 （3）设计 复杂度增
(b)
(c)
巴特沃斯滤模拟低通波器的设计公式：
幅度平方函数：
b0 b1 s 1 b2 s 2 b3 s 3 b4 s 4 Hc ( s) a0 a1 s 1 a2 s 2 a3 s 3 a4 s 4
0 4.5063 0.0014 4.5063
幅度响应
举例
p 2 1000rad / s , s 2 2000rad / s ,
(3)为实现该滤波器选择一有限精度的软件算法或硬件结构；
(4)验证在选定的实现算法和精度情况下频响特性是否符合指 标要求，如果产生了偏差则对步骤（3）的结果进行修正； (5)实现该滤波器。
8.1 技术指标
相位（是否线性） 数字频率 横坐标 指标（频域） 模拟频率 幅度（容限图） 绝对增益（绝对指标） 纵坐标 对数增益(相对指标）
滤波器的设计与实现包括以下几个步骤： (1)根据需要制定滤波器的技术指标即频率响应，包括幅度和 相位两方面的要求； (2)用因果稳定的离散时间系统逼近这些技术指标。对于FIR滤 波器就是找到一个频率响应满足指标要求的因果有限长的 单位脉冲响应；而对IIR滤波器则是找到一个频率响应满足 指标要求的因果稳定的有理系统函数；
3dB截止频率对应的对数增益 :
| H (e jc ) | 1 / 2 20 log10 | H ( e jc ) | 3dB
在工程实际中，相对指标最受欢迎。
8.2 由连续时间滤波器设计IIR滤波器
首先设计一个连续时间滤波器（称为原型连续时间滤波 器），得到系统函数Hc(s) ； 再将系统函数Hc(s)转换成离散时间滤波器的系统函数 H(z) 。 Hc(s)到H(z)的转换过程实际上是s平面到z平面的映射 过程，该映射需要满足两个要求： 一是要求所得到的离散时间滤波器的频率响应保持连续 时间滤波器频率响应的基本特征，即s平面的虚轴映射 到z平面的单位圆，且离散时间滤波器与连续时间滤波 器的频率响应的类型保持不变； 二是要求将一个因果稳定的连续时间滤波器转换成一个 因果稳定的离散时间滤波器，即将在s左半平面的极点 全部转换成在z平面单位圆内的极点。
等效的模拟系统
通带容差
幅度响应容限图
1/ 2
3dB/半功率 截止频率
阻带容差
c
c
通带截止频率
阻带截止频率
若给出的是等效模拟系统的幅度响应,即横坐标是 , 给 出的截止频率是 p和s ,则需转换得到数字的截止频率:
p pT s sT
对数增益:
p 20* log10 (1 p ) 0,| p | 称为通带最大衰减 s 20* log10 s 0，| s | 称为阻带最小衰减