频域稀疏双曲Radon变换去噪方法
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图 １ 所示为 Ｄｉｘ 常规双曲线与相移双曲线分别 与反射同相轴进行对比，由图中可以看出 Ｄｉｘ 的常 规动校正曲线只是在近偏移距比较接近真实曲线， 而相移双曲线比常规动校正双曲线更好地接近于实 际反射同相轴。
图 １ Ｄｉｘ 动校正公式（ 左） 与相移动校正公式（ 右） 对比
为了使时不变双曲线积分路径内的参数物理意 义更加清楚，同时便于赋值和计算，对公式（２） 进行 了进一步推导，得出了新的时不变双曲积分路径：
Ｒａｄｏｎ 变换中涉及到参考深度，也就是 ｚｒｅｆ 的选取。 下面通过一个模型算例对 ｚｒｅｆ 的选取原则进行讨论。 如图 ３ａ 为速度模型，图 ３ｂ 为根据速度模型合成的
Δｈ ≤ １ ／ （ θｒａｎｇｅ ｆｍａｘ ） 。
（９）
一般情况下，ｚｒｅｆ 选为最大偏移距 ｘｍａｘ ，在这种假设下
θｒａｎｇｅ ＝ ０．４ｘｍａｘ ，ｈ 的采样间隔可以表示为
将 Ｄｉｘ 公式按照高斯超几何级数序列展开简化
得到相移双曲公式
ｔ ＝ τｓ ＋
τ
２ ０
＋ ｘ２ ／ ｖ２
，
（２）
其中：τ０ ＝ ｔ０ ／ Ｓ；τｓ ＝ τ０（ Ｓ－１） ；ｖ２ ＝ Ｓｖ２ｒｍｓ ；Ｓ ＝ μ４ ／ μ２２ 。 相
移双曲线就是常规动校正双曲线沿时间轴进行了 τｓ 的时移，相移 Ｒａｄｏｎ 变换的积分路径是时不变的，其 求解方程对频率是解耦的，可提高双曲 Ｒａｄｏｎ 正变 换的计算效率。 另外，对于均匀采样的地震数据，时 不变双曲 Ｒａｄｏｎ 变换法所形成的频率—空间域矩阵 具有 Ｔｏｅｐｌｉｔｚ 结构，应用 Ｌｅｖｉｎｓｏｎ 递推算法可大大提 高矩阵求解计算的效率。
（４）
式中：Ｍ 是双曲 Ｒａｄｏｎ 正变换剖面经 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换后
频域值；Ｄ 是时空域地震数据经 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换后频域
值；ＬＨ 是矩阵 Ｌ 的共轭转置，矩阵 ＬＨ 和 Ｌ 的元素
分别可以表示为：
ＬＨ ｍ，ｎ
＝
ｅ ， ｉωｈｍθｎ
Ｌ ｍ，ｎ
＝
ｅ 。 －ｉωｈｎθｍ
（５）
所谓稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换，就是构造的 Ｒａｄｏｎ 变换
１ 理论实现
１．１ 频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换 在水平层状介质模型中，常规的动校正 Ｄｉｘ 方
收稿日期： ２０１５－５－１３；修回日期：２０１６－３－１４ 基金项目： 中石化科技部项目（ Ｐ１４１２７） ；徐州城市地质调查、徐州地区岩溶塌陷调查项目（１２１２０１１４０２２００１）
有更好的收敛性。
３期
贾春梅等：频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换去噪方法
·５２９·
图 ２ 常规 Ｒａｄｏｎ 变换（ 左） 和稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换（ 右） 结果对比
１．２ 参数的选取
１．３ 动态时窗的引入
对于离散变换都有参数选取的问题，如果选取
通过上面的推导可以看出，在频率域稀疏双曲
不当容易造成假频，并且得不到稀疏收敛的数据影 响处理效果。 对于双曲 Ｒａｄｏｎ 变换，射线参数 ｈ 的 采样间隔为［１０］
ｔ ＝ τ ＋ ｈ（
ｘ２
＋
ｚ２ ｒｅｆ
－ ｚｒｅｆ ） ，
（３）
式中：τ 为截距时间，ｈ 为射线参数，ｚｒｅｆ 为参考深度。
这就是文中所应用的时不变双曲线的积分路径，由
于 ｔ 和 τ 具有时不变的关系，因此可以变换到频率
域进行计算，大大减少了工作量。
频域 Ｒａｄｏｎ 变换用矩阵形式可以写为：
Ｍ ＝ ＬＨＤ ， Ｄ ＝ ＬＭ ，
了时间域的双曲同相轴通过传统的 Ｒａｄｏｎ 变换得到
的 Ｒａｄｏｎ 域数据，图中出现了水平和倾斜能量发散。
水平方向的假频是由于近偏移距能量的贡献，而倾
斜方向的假频则是远偏移距数据的截断效应。 图
２ｂ 为时间域双曲同相轴经过频率域稀疏 Ｒａｄｏｎ 变
换计算结果，通过对比可以看出稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换具
Δｈ ≤ ５ ／ （２ｘｍａｘ ｆｍａｘ ） 。
（ １０）
如果 ｚｒｅｆ ＝ ｘｍａｘ ，射线参数 ｈ 的取值范围为
ｈｒａｎｇｅ ≤ ２ ／ （ Δｘ ｆｍａｘ ） 。
（ １１）
地震记录，图 ３ｃ 为 ｚｒｅｆ 取 ９００ 时变换结果，图 ３ｄ 为 ｚｒｅｆ 取 ３ ０００ 时的变换结果。 通过对比可以看出，当 参考深度 ｚｒｅｆ取为 ９００ 时，经过稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 正变 换后层状模型第一层收敛较好，二、三层收敛较差； 而当参考深度 ｚｒｅｆ 取为 ３ ０００ 时，变换后层状模型二、 三层收敛相对较好，第一层变换后则明显发散。
ａ—速度模型；ｂ—合成地震记录；ｃ—ｚｒｅｆ ＝ ９００ 时变换域数据；ｄ—ｚｒｅｆ ＝ ３ ０００ 时变换域数据
图 ３ 参考深度选取模型试算
·５３０·
物 探 与 化 探
４０ 卷
通过模型试算可知，在稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换中 由浅层到深层采用同一参考深度无法取得较好的收 敛效果，对于不同反射层的反射波，如果想得到最好 的收敛效果必须选取适当的参考深度，即由浅层到 深层的反射必须选取不同的参考深度。 因此，在变 换中必须加入动态时窗，对于同一时窗内的数据采 用相同的参考深度，然后将所有时窗内变换后的数 据叠加就可以得到变换域数据。
娥采用混合 Ｒａｄｏｎ 变换分离面波等线性噪声，采用 自适应滤波技术在 Ｒａｄｏｎ 域识别并剔除多次波［１１］ ； 张振波采用高分辨率抛物线 Ｒａｄｏｎ 变换实现对地震 Байду номын сангаас据中多次波及空间假频的快速、有效压制［１２］ 。
Ｒａｄｏｎ 变换是沿着特定路径（ 如直线、抛物线、 双曲线） 对 介 质 的 某 个 特 性 线 进 行 积 分， 根 据 积 分 路径的不同，Ｒａｄｏｎ 变换可分为线性 Ｒａｄｏｎ 变换、抛 物 Ｒａｄｏｎ 变换和双曲 Ｒａｄｏｎ 变换，其中双曲 Ｒａｄｏｎ 变换的积分路径最接近于有效波反射同相轴，具有 最高的精度。 传统双曲 Ｒａｄｏｎ 变换具有较高的分辨 率，但是其积分路径不具有时不变性，无法转化为频 率—空间域来求解，因此，直接进行双曲 Ｒａｄｏｎ 变换 成本非常高，以致难以实现。 为了解决这一问题，引 入时不变双曲积分路径进行频域稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换， 该方法不仅克服了传统双曲 Ｒａｄｏｎ 变换计算效率低 下的问题，而且提高了分辨率，更加有利于随机噪声 的压制。
在本文的变换中，先对原始数据进行了动校正， 因此采用了矩形时窗进行数据的选取，引入动态时 窗的频率 域 稀 疏 双 曲 Ｒａｄｏｎ 变 换 的 方 法 流 程 （ 图 ４） 。
２ 模型数据测试
２．１ 频域稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换波场分离去除多次波 多次波在地震勘探中普遍存在，对于海上勘探 的影响尤其严重。 由于多次波的同相轴为双曲线， 应用文中所研究的频率域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换能够 使其能量在变换域充分收敛，便于将其切除。 图 ５ 所示为薄互层模型。 图 ６ａ 为根据图 ５ 所示的速度 模型合成的含有层间一阶多次波和层间二阶多次波 的地震记录；对此地震记录作稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换 可以得到变换域数据，如图 ６ｂ 所示，可以看出，经过 变换，一次波和多次波分别收敛，图中椭圆内就是多 次波收敛的能量；在变换域将其切除然后进行反变 换就可以得到去除了多次波的一次反射波（ 图 ６ｃ）； 图 ６ｄ 为通过变换切除的多次波。 通过模型试算可 以看出，利用频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换能够有效地 完成有效波和多次波的波场分离，并且具有较高的 分辨率和保真度。
得：
ＬＨＬＭ － ＬＨＤ ＋ ＱＭ ＝ ０ 。
（７）
方程（７） 需要迭代求解，经推导得到解的具体
形式为
Ｍｋ
＝
æ
ç
Ｌ
Ｈ
Ｌ
è
＋
ｂ
２μ ö
＋
Ｍ２ｋ
－
１
÷
ø
－１
ＬＨＤ
。
（８）
式中：ｋ 为迭代次数。
理论上时间域的一个双曲同相轴经过传统的双
曲 Ｒａｄｏｎ 变换映射到 Ｒａｄｏｎ 域会聚焦成一个点，然
而在实际情形中并不是按照这种方式。 图 ２ａ 显示
拉东变换由奥地利数学家 Ｒａｄｏｎ 于 １９１７ 年提 出，该变换在医学、天文学及物理学中得到了特别广 泛的应用。 ２０ 世纪 ７０ 年代，美国斯坦福大学 Ｃｌａｅｒ⁃ ｂｏｕｔ、Ｃｈａｐｍａｎ 等率先将 Ｒａｄｏｎ 变换引入到地震勘 探中［１］ ；Ｓａｃｃｈｉ 和 Ｕｌｒｙｃｈ 通过研究提出了利用 Ｒａ⁃ ｄｏｎ 变换的稀疏解来提高 Ｒａｄｏｎ 变换域分辨率的思 想［２］ ；Ｃａｒｙ 总结了离散 Ｒａｄｏｎ 变换所存在的截断效 应和空间假频问题［３］ ；Ｓａｃｃｈｉ 根据稀疏解的思想给 出了利用稀疏解来提高 Ｒａｄｏｎ 变换域分辨率的算 法［４］ ；Ｎｏｗａｋ 提出了加权的 Ｒａｄｏｎ 变换压制多次波 方法，可以很好地保持变换后的振幅，便于 ＡＶＯ 分 析［５］ ；Ｙｕ 在 Ｗａｖｅｌｅｔ⁃Ｒａｄｏｎ 域进行了地震数据重建 和去除空间假频的研究［６］ 。 Ｊｕｅｆｕ Ｗａｎｇ 提出应用贪 婪算法代替共轭梯度法来提高 Ｒａｄｏｎ 变换的分辨率 和收敛 速 率， 取 得 了 较 好 的 效 果［７］ 。 国 内 学 者 对 Ｒａｄｏｎ 变换也进行了许多研究工作，王维红基于部 分动校正（ ＮＭＯ） 后反射同相轴在 ＣＭＰ 道集上的抛 物线走时近似，给出了加权抛物 Ｒａｄｏｎ 变换叠前地 震数据重建方法（ ＷＰＲＴ） ［８］ ；熊登发展了混合域高 分辨率抛物 Ｒａｄｏｎ 变换［９］ ；石颖结合基于波动方程 预测和双曲 Ｒａｄｏｎ 变换联合压制表面多次波［１０］ ；鲁
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物 探 与 化 探
４０ 卷
程 ［ １３］
ｔ＝
ｔ２０
＋
ｘ２
／
ｖ２ ｒｍｓ
（１）
是在小偏移距时对于水平层状介质模型的近似得出
的。 在这个方程中，ｔ 是波从震源到接收点的传播 时间；ｔ０ 是表面到反射体的垂直反射双程旅行时；ｘ 是炮点到检波点的距离；ｖｒｍｓ 为水平层状介质的均方 根速度。
域为分割的稀疏脉冲，或称为稀疏解。 对于双曲线
Ｒａｄｏｎ 变换，笔者采用 Ｃａｕｃｈｙ 类准则。 使目标函数
Ｊ ＝ ‖Ｄ － ＬＭ‖２ ＋ μ������ｌｎ（１ ＋ Ｍ２ｋ ／ ｂ） （６） ｋ
最小。 式中：Ｍｋ 是 Ｒａｄｏｎ 变换结果 Ｍ 的元素；μ 和 ｂ 是相应的分布参数。 对目标函数关于 Ｍ 求导，
频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换去噪方法
贾春梅１，姜国庆２，刘志成１，许璐１
（１． 中国石油化工股份有限公司 石油物探技术研究院，江苏 南京 ２１１１０３； ２． 江苏省地质调查研 究院 基础地质研究所，江苏 南京 ２１００１８）
摘 要： Ｒａｄｏｎ 变换是地震数据处理中广泛应用的一种技术方法，但实际应用中存在分辨率及运算效率低的问题。 笔者在相移双曲线的基础上，推导了时不变双曲积分路径，提出了基于贝叶斯原理的稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换，给出离 散变换的参数选取准则，并且为保证不同反射层的反射波具有最佳收敛，在变换中引入了动态时窗。 频域稀疏双 曲 Ｒａｄｏｎ 变换不仅具有较高的分辨率，而且可以在频域实现，计算效率大幅提高。 模型数据测试和实际资料应用 结果表明，频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换可以有效去除规则干扰波、压制随机噪声，提高数据信噪比，且具有较好的保 真度和保幅性。 关键词： Ｒａｄｏｎ 变换；稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换；随机噪声压制；时不变双曲线 中图分类号： Ｐ６３１．４ 文献标识码： Ａ 文章编号： １０００－８９１８（２０１６）０３－０５２７－０７
第 ４０ 卷第 ３ 期 ２０１６ 年 ６ 月
物 探 与 化 探
ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＡＬ ＆ ＧＥＯＣＨＥＭＩＣＡＬ ＥＸＰＬＯＲＡＴＩＯＮ
Ｖｏｌ．４０，Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．，２０１６
ｄｏｉ： １０．１１７２０ ／ ｗｔｙｈｔ．２０１６．３．１４ 贾春梅，姜国庆，刘志成，等．频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换去噪方法［ Ｊ］ ．物探与化探，２０１６，４０（３） ：５２７－５３３．ｈｔｔｐ： ／ ／ ｄｏｉ．ｏｒｇ ／ １０．１１７２０ ／ ｗｔｙｈｔ．２０１６．３．１４ Ｊｉａ Ｃ Ｍ，Ｊｉａｎｇ Ｇ Ｑ，Ｌｉｕ Ｚ Ｃ，ｅｔ ａｌ．Ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｐａｒｓｅ ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ Ｒａｄｏｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ［ Ｊ］ ．Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃａｌ ａｎｄ Ｇｅｏｃｈｅｍｉ⁃ ｃａｌ Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ，２０１６，４０（３） ：５２７－５３３．ｈｔｔｐ： ／ ／ ｄｏｉ．ｏｒｇ ／ １０．１１７２０ ／ ｗｔｙｈｔ．２０１６．３．１４
图 １ Ｄｉｘ 动校正公式（ 左） 与相移动校正公式（ 右） 对比
为了使时不变双曲线积分路径内的参数物理意 义更加清楚，同时便于赋值和计算，对公式（２） 进行 了进一步推导，得出了新的时不变双曲积分路径：
Ｒａｄｏｎ 变换中涉及到参考深度，也就是 ｚｒｅｆ 的选取。 下面通过一个模型算例对 ｚｒｅｆ 的选取原则进行讨论。 如图 ３ａ 为速度模型，图 ３ｂ 为根据速度模型合成的
Δｈ ≤ １ ／ （ θｒａｎｇｅ ｆｍａｘ ） 。
（９）
一般情况下，ｚｒｅｆ 选为最大偏移距 ｘｍａｘ ，在这种假设下
θｒａｎｇｅ ＝ ０．４ｘｍａｘ ，ｈ 的采样间隔可以表示为
将 Ｄｉｘ 公式按照高斯超几何级数序列展开简化
得到相移双曲公式
ｔ ＝ τｓ ＋
τ
２ ０
＋ ｘ２ ／ ｖ２
，
（２）
其中：τ０ ＝ ｔ０ ／ Ｓ；τｓ ＝ τ０（ Ｓ－１） ；ｖ２ ＝ Ｓｖ２ｒｍｓ ；Ｓ ＝ μ４ ／ μ２２ 。 相
移双曲线就是常规动校正双曲线沿时间轴进行了 τｓ 的时移，相移 Ｒａｄｏｎ 变换的积分路径是时不变的，其 求解方程对频率是解耦的，可提高双曲 Ｒａｄｏｎ 正变 换的计算效率。 另外，对于均匀采样的地震数据，时 不变双曲 Ｒａｄｏｎ 变换法所形成的频率—空间域矩阵 具有 Ｔｏｅｐｌｉｔｚ 结构，应用 Ｌｅｖｉｎｓｏｎ 递推算法可大大提 高矩阵求解计算的效率。
（４）
式中：Ｍ 是双曲 Ｒａｄｏｎ 正变换剖面经 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换后
频域值；Ｄ 是时空域地震数据经 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换后频域
值；ＬＨ 是矩阵 Ｌ 的共轭转置，矩阵 ＬＨ 和 Ｌ 的元素
分别可以表示为：
ＬＨ ｍ，ｎ
＝
ｅ ， ｉωｈｍθｎ
Ｌ ｍ，ｎ
＝
ｅ 。 －ｉωｈｎθｍ
（５）
所谓稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换，就是构造的 Ｒａｄｏｎ 变换
１ 理论实现
１．１ 频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换 在水平层状介质模型中，常规的动校正 Ｄｉｘ 方
收稿日期： ２０１５－５－１３；修回日期：２０１６－３－１４ 基金项目： 中石化科技部项目（ Ｐ１４１２７） ；徐州城市地质调查、徐州地区岩溶塌陷调查项目（１２１２０１１４０２２００１）
有更好的收敛性。
３期
贾春梅等：频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换去噪方法
·５２９·
图 ２ 常规 Ｒａｄｏｎ 变换（ 左） 和稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换（ 右） 结果对比
１．２ 参数的选取
１．３ 动态时窗的引入
对于离散变换都有参数选取的问题，如果选取
通过上面的推导可以看出，在频率域稀疏双曲
不当容易造成假频，并且得不到稀疏收敛的数据影 响处理效果。 对于双曲 Ｒａｄｏｎ 变换，射线参数 ｈ 的 采样间隔为［１０］
ｔ ＝ τ ＋ ｈ（
ｘ２
＋
ｚ２ ｒｅｆ
－ ｚｒｅｆ ） ，
（３）
式中：τ 为截距时间，ｈ 为射线参数，ｚｒｅｆ 为参考深度。
这就是文中所应用的时不变双曲线的积分路径，由
于 ｔ 和 τ 具有时不变的关系，因此可以变换到频率
域进行计算，大大减少了工作量。
频域 Ｒａｄｏｎ 变换用矩阵形式可以写为：
Ｍ ＝ ＬＨＤ ， Ｄ ＝ ＬＭ ，
了时间域的双曲同相轴通过传统的 Ｒａｄｏｎ 变换得到
的 Ｒａｄｏｎ 域数据，图中出现了水平和倾斜能量发散。
水平方向的假频是由于近偏移距能量的贡献，而倾
斜方向的假频则是远偏移距数据的截断效应。 图
２ｂ 为时间域双曲同相轴经过频率域稀疏 Ｒａｄｏｎ 变
换计算结果，通过对比可以看出稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换具
Δｈ ≤ ５ ／ （２ｘｍａｘ ｆｍａｘ ） 。
（ １０）
如果 ｚｒｅｆ ＝ ｘｍａｘ ，射线参数 ｈ 的取值范围为
ｈｒａｎｇｅ ≤ ２ ／ （ Δｘ ｆｍａｘ ） 。
（ １１）
地震记录，图 ３ｃ 为 ｚｒｅｆ 取 ９００ 时变换结果，图 ３ｄ 为 ｚｒｅｆ 取 ３ ０００ 时的变换结果。 通过对比可以看出，当 参考深度 ｚｒｅｆ取为 ９００ 时，经过稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 正变 换后层状模型第一层收敛较好，二、三层收敛较差； 而当参考深度 ｚｒｅｆ 取为 ３ ０００ 时，变换后层状模型二、 三层收敛相对较好，第一层变换后则明显发散。
ａ—速度模型；ｂ—合成地震记录；ｃ—ｚｒｅｆ ＝ ９００ 时变换域数据；ｄ—ｚｒｅｆ ＝ ３ ０００ 时变换域数据
图 ３ 参考深度选取模型试算
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物 探 与 化 探
４０ 卷
通过模型试算可知，在稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换中 由浅层到深层采用同一参考深度无法取得较好的收 敛效果，对于不同反射层的反射波，如果想得到最好 的收敛效果必须选取适当的参考深度，即由浅层到 深层的反射必须选取不同的参考深度。 因此，在变 换中必须加入动态时窗，对于同一时窗内的数据采 用相同的参考深度，然后将所有时窗内变换后的数 据叠加就可以得到变换域数据。
娥采用混合 Ｒａｄｏｎ 变换分离面波等线性噪声，采用 自适应滤波技术在 Ｒａｄｏｎ 域识别并剔除多次波［１１］ ； 张振波采用高分辨率抛物线 Ｒａｄｏｎ 变换实现对地震 Байду номын сангаас据中多次波及空间假频的快速、有效压制［１２］ 。
Ｒａｄｏｎ 变换是沿着特定路径（ 如直线、抛物线、 双曲线） 对 介 质 的 某 个 特 性 线 进 行 积 分， 根 据 积 分 路径的不同，Ｒａｄｏｎ 变换可分为线性 Ｒａｄｏｎ 变换、抛 物 Ｒａｄｏｎ 变换和双曲 Ｒａｄｏｎ 变换，其中双曲 Ｒａｄｏｎ 变换的积分路径最接近于有效波反射同相轴，具有 最高的精度。 传统双曲 Ｒａｄｏｎ 变换具有较高的分辨 率，但是其积分路径不具有时不变性，无法转化为频 率—空间域来求解，因此，直接进行双曲 Ｒａｄｏｎ 变换 成本非常高，以致难以实现。 为了解决这一问题，引 入时不变双曲积分路径进行频域稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换， 该方法不仅克服了传统双曲 Ｒａｄｏｎ 变换计算效率低 下的问题，而且提高了分辨率，更加有利于随机噪声 的压制。
在本文的变换中，先对原始数据进行了动校正， 因此采用了矩形时窗进行数据的选取，引入动态时 窗的频率 域 稀 疏 双 曲 Ｒａｄｏｎ 变 换 的 方 法 流 程 （ 图 ４） 。
２ 模型数据测试
２．１ 频域稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换波场分离去除多次波 多次波在地震勘探中普遍存在，对于海上勘探 的影响尤其严重。 由于多次波的同相轴为双曲线， 应用文中所研究的频率域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换能够 使其能量在变换域充分收敛，便于将其切除。 图 ５ 所示为薄互层模型。 图 ６ａ 为根据图 ５ 所示的速度 模型合成的含有层间一阶多次波和层间二阶多次波 的地震记录；对此地震记录作稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换 可以得到变换域数据，如图 ６ｂ 所示，可以看出，经过 变换，一次波和多次波分别收敛，图中椭圆内就是多 次波收敛的能量；在变换域将其切除然后进行反变 换就可以得到去除了多次波的一次反射波（ 图 ６ｃ）； 图 ６ｄ 为通过变换切除的多次波。 通过模型试算可 以看出，利用频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换能够有效地 完成有效波和多次波的波场分离，并且具有较高的 分辨率和保真度。
得：
ＬＨＬＭ － ＬＨＤ ＋ ＱＭ ＝ ０ 。
（７）
方程（７） 需要迭代求解，经推导得到解的具体
形式为
Ｍｋ
＝
æ
ç
Ｌ
Ｈ
Ｌ
è
＋
ｂ
２μ ö
＋
Ｍ２ｋ
－
１
÷
ø
－１
ＬＨＤ
。
（８）
式中：ｋ 为迭代次数。
理论上时间域的一个双曲同相轴经过传统的双
曲 Ｒａｄｏｎ 变换映射到 Ｒａｄｏｎ 域会聚焦成一个点，然
而在实际情形中并不是按照这种方式。 图 ２ａ 显示
拉东变换由奥地利数学家 Ｒａｄｏｎ 于 １９１７ 年提 出，该变换在医学、天文学及物理学中得到了特别广 泛的应用。 ２０ 世纪 ７０ 年代，美国斯坦福大学 Ｃｌａｅｒ⁃ ｂｏｕｔ、Ｃｈａｐｍａｎ 等率先将 Ｒａｄｏｎ 变换引入到地震勘 探中［１］ ；Ｓａｃｃｈｉ 和 Ｕｌｒｙｃｈ 通过研究提出了利用 Ｒａ⁃ ｄｏｎ 变换的稀疏解来提高 Ｒａｄｏｎ 变换域分辨率的思 想［２］ ；Ｃａｒｙ 总结了离散 Ｒａｄｏｎ 变换所存在的截断效 应和空间假频问题［３］ ；Ｓａｃｃｈｉ 根据稀疏解的思想给 出了利用稀疏解来提高 Ｒａｄｏｎ 变换域分辨率的算 法［４］ ；Ｎｏｗａｋ 提出了加权的 Ｒａｄｏｎ 变换压制多次波 方法，可以很好地保持变换后的振幅，便于 ＡＶＯ 分 析［５］ ；Ｙｕ 在 Ｗａｖｅｌｅｔ⁃Ｒａｄｏｎ 域进行了地震数据重建 和去除空间假频的研究［６］ 。 Ｊｕｅｆｕ Ｗａｎｇ 提出应用贪 婪算法代替共轭梯度法来提高 Ｒａｄｏｎ 变换的分辨率 和收敛 速 率， 取 得 了 较 好 的 效 果［７］ 。 国 内 学 者 对 Ｒａｄｏｎ 变换也进行了许多研究工作，王维红基于部 分动校正（ ＮＭＯ） 后反射同相轴在 ＣＭＰ 道集上的抛 物线走时近似，给出了加权抛物 Ｒａｄｏｎ 变换叠前地 震数据重建方法（ ＷＰＲＴ） ［８］ ；熊登发展了混合域高 分辨率抛物 Ｒａｄｏｎ 变换［９］ ；石颖结合基于波动方程 预测和双曲 Ｒａｄｏｎ 变换联合压制表面多次波［１０］ ；鲁
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物 探 与 化 探
４０ 卷
程 ［ １３］
ｔ＝
ｔ２０
＋
ｘ２
／
ｖ２ ｒｍｓ
（１）
是在小偏移距时对于水平层状介质模型的近似得出
的。 在这个方程中，ｔ 是波从震源到接收点的传播 时间；ｔ０ 是表面到反射体的垂直反射双程旅行时；ｘ 是炮点到检波点的距离；ｖｒｍｓ 为水平层状介质的均方 根速度。
域为分割的稀疏脉冲，或称为稀疏解。 对于双曲线
Ｒａｄｏｎ 变换，笔者采用 Ｃａｕｃｈｙ 类准则。 使目标函数
Ｊ ＝ ‖Ｄ － ＬＭ‖２ ＋ μ������ｌｎ（１ ＋ Ｍ２ｋ ／ ｂ） （６） ｋ
最小。 式中：Ｍｋ 是 Ｒａｄｏｎ 变换结果 Ｍ 的元素；μ 和 ｂ 是相应的分布参数。 对目标函数关于 Ｍ 求导，
频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换去噪方法
贾春梅１，姜国庆２，刘志成１，许璐１
（１． 中国石油化工股份有限公司 石油物探技术研究院，江苏 南京 ２１１１０３； ２． 江苏省地质调查研 究院 基础地质研究所，江苏 南京 ２１００１８）
摘 要： Ｒａｄｏｎ 变换是地震数据处理中广泛应用的一种技术方法，但实际应用中存在分辨率及运算效率低的问题。 笔者在相移双曲线的基础上，推导了时不变双曲积分路径，提出了基于贝叶斯原理的稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换，给出离 散变换的参数选取准则，并且为保证不同反射层的反射波具有最佳收敛，在变换中引入了动态时窗。 频域稀疏双 曲 Ｒａｄｏｎ 变换不仅具有较高的分辨率，而且可以在频域实现，计算效率大幅提高。 模型数据测试和实际资料应用 结果表明，频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换可以有效去除规则干扰波、压制随机噪声，提高数据信噪比，且具有较好的保 真度和保幅性。 关键词： Ｒａｄｏｎ 变换；稀疏 Ｒａｄｏｎ 变换；随机噪声压制；时不变双曲线 中图分类号： Ｐ６３１．４ 文献标识码： Ａ 文章编号： １０００－８９１８（２０１６）０３－０５２７－０７
第 ４０ 卷第 ３ 期 ２０１６ 年 ６ 月
物 探 与 化 探
ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＡＬ ＆ ＧＥＯＣＨＥＭＩＣＡＬ ＥＸＰＬＯＲＡＴＩＯＮ
Ｖｏｌ．４０，Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．，２０１６
ｄｏｉ： １０．１１７２０ ／ ｗｔｙｈｔ．２０１６．３．１４ 贾春梅，姜国庆，刘志成，等．频域稀疏双曲 Ｒａｄｏｎ 变换去噪方法［ Ｊ］ ．物探与化探，２０１６，４０（３） ：５２７－５３３．ｈｔｔｐ： ／ ／ ｄｏｉ．ｏｒｇ ／ １０．１１７２０ ／ ｗｔｙｈｔ．２０１６．３．１４ Ｊｉａ Ｃ Ｍ，Ｊｉａｎｇ Ｇ Ｑ，Ｌｉｕ Ｚ Ｃ，ｅｔ ａｌ．Ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｐａｒｓｅ ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ Ｒａｄｏｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ［ Ｊ］ ．Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃａｌ ａｎｄ Ｇｅｏｃｈｅｍｉ⁃ ｃａｌ Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ，２０１６，４０（３） ：５２７－５３３．ｈｔｔｐ： ／ ／ ｄｏｉ．ｏｒｇ ／ １０．１１７２０ ／ ｗｔｙｈｔ．２０１６．３．１４