第3章 线性系统的时域分析法 《自动控制原理实验教程(硬件模拟与MATLAB仿真)》课件
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第3章线性系统的时域分析法自动控制原理课件
不同而有一簇, 见教材P.87图3-10. h() 1, 下面由
h(t) 1
1
1 2
e nt sin( n
12t )
根据动态性能指标的定义, 推导各项动态性能指标的计
算公式.
(1) 延迟时间 td : 由定义, 令 h(td ) 0.5 , 代入上式
ntd
1
ln
2sin(
1 2 tn d cos1 ) 1 2
(4) 脉冲信号(脉冲函数) 先看下面图型:
r (t )
具有左图形状的信号被称为矩型脉动信号,
R
0
其数学表达式为:
0 t 0
t
r(t)
R
0
0t t
由图可见, 脉动信号 的面积为R. 当脉动
信号的宽度 0
时, 其高度为 , 但
面积乃为R. 把宽度 0时的矩型脉动信号定义为脉
冲信号, 而其面积R称为脉冲信号的脉冲强度.
尼, 0 1叫欠阻尼, 下面主要讨论欠阻尼时的动态
性能,欠阻尼时系统的两个极点为:
s1,2 n j数, d n 1 2 叫阻尼
振荡角频率,两个极点在s平面上的分布如下图所示, 图中
j
n
d n 1 2
cos , sin 1 2 ,
3-1 系统时间响应的性能指标
一﹑典型输入信号
工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种:
(1) 阶跃信号(阶跃函数) 其数学表达式和图形为:
0 t 0 r(t) R t 0
r(t) R
0
t
上式中R为常数, 当t=0时, r(0)不定, 且r(0 ) R, r(0) 0
当R=1时, 称为单位阶跃信号, 记为1(t).
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
《自动控制原理》(第六版)课件：第3章 线性系统的时域分析法3
2）当劳思表中出现全零行时，用上一 行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求 导，用所得方程的系数代替全零行。
9
3-5 线性系统的稳定性分析
4. 劳思稳定判据的特殊情况
例： 设系统特征方程为s3-3s+2=0; 试用劳思稳定判据判别系统稳定性。
s 解：列出劳思表 3
1
-3
s2
0
2
s1
(s3-3s+2)*(s+3)== s4+3 s3-3 s2-7s+6=0;
s3 0
-2 -7 -4
-3 -4 -3 -4 辅助多项式F(s)
的系数
00
14
3-5 线性系统的稳定性分析
4. 劳思稳定判据的特殊情况
F(s) =s4-3s2-4=0， dF(s)/ds=4s3-6s=0
以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳思表：
s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 s4 1 -3 -4 s3 4 -6 dF(s)/ds的系数 s2 -1.5 -4 s1 -16.7 0 s0 -4
0
n
0
a1 a0
a3 a2
已证明，在特征方程各项系数均
0
0
a1
大于零时，赫尔维茨奇次行列式全 为正，则赫尔维茨偶次行列式必全
0 0 0
0
0
0
0
0
0
an
为正；反之亦然。
6
3-5 线性系统的稳定性分析
3. 劳思-赫尔维茨稳定判据
2. 劳思（Routh）判据 • 劳思判据采用表格形式，即劳思表：
19
3-5 线性系统的稳定性分析
5. 劳思稳定判据应用
s 3 14 s 2 40 s K * 0
9
3-5 线性系统的稳定性分析
4. 劳思稳定判据的特殊情况
例： 设系统特征方程为s3-3s+2=0; 试用劳思稳定判据判别系统稳定性。
s 解：列出劳思表 3
1
-3
s2
0
2
s1
(s3-3s+2)*(s+3)== s4+3 s3-3 s2-7s+6=0;
s3 0
-2 -7 -4
-3 -4 -3 -4 辅助多项式F(s)
的系数
00
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3-5 线性系统的稳定性分析
4. 劳思稳定判据的特殊情况
F(s) =s4-3s2-4=0， dF(s)/ds=4s3-6s=0
以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳思表：
s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 s4 1 -3 -4 s3 4 -6 dF(s)/ds的系数 s2 -1.5 -4 s1 -16.7 0 s0 -4
0
n
0
a1 a0
a3 a2
已证明，在特征方程各项系数均
0
0
a1
大于零时，赫尔维茨奇次行列式全 为正，则赫尔维茨偶次行列式必全
0 0 0
0
0
0
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为正；反之亦然。
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3-5 线性系统的稳定性分析
3. 劳思-赫尔维茨稳定判据
2. 劳思（Routh）判据 • 劳思判据采用表格形式，即劳思表：
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3-5 线性系统的稳定性分析
5. 劳思稳定判据应用
s 3 14 s 2 40 s K * 0
第3章线性控制系统的时域分析法
3-l 引 言
控制系统的性能指标，可以通过在输入信 号作用下系统的动态过程和稳态过程来评价。 系统的动态过程和稳态过程不仅取决于系统本 身的特性，而且还与外加输入信号的形式有关。 在很多情况下，实际控制系统的外加输入信号 具有随机的性质而无法预先知道，而且其瞬时 函数关系往往又不能一解析形式来表达，例如 随动跟踪系统的输入信号就是如此。
14
在输入信号r(t)作用下，输出y(t)随时间 变化的规律，即式(3-13)微分方程的解或 系统的时域响应，一般也具有式(3-10)、 式(3-11)和式(3-12)三种形式。在分析控制 系统的输出响应时，几乎用不到式(3-12) 的形式。分析系统的稳态响应时一般采用 式(3-11)的结构形式。如欲重点分析系统 的瞬态响应，特别是只需分析零状态响应， 则通常采用式(3-10)的结构形式。
图3-2 阶跃函数
5
A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)。因此， 幅值为的阶跃函数也可表示为
r ( t ) A 1( t )
出现在 t t 0 时刻的阶跃函数，表示为
0 t t0 r ( t t0 ) A t t0
(3-4)
6
3. 斜坡函数（等速度函数）
26
2．稳态性能指标 稳态响应过程是指系统在典型输入信号作 用下，时间t趋于无穷时，系统的输出状态。采 用稳态误差 ess来衡量系统的稳态性能，稳态误 差的定义为：当时间t趋于无穷时，系统输出响 应的期望值与实际值之差。即 (3-17) 稳态误差ess评价系统的准确性，反映控 制系统复现或跟踪输入信号的能力。
20
描述稳定的控制系统在单位阶跃信号 作用下，动态过程随时间t的变化状况的性 能指标，称为动态特性指标。为了便于分 析和比较，假定系统在单位阶跃信号作用 前处于静止状态，而且输出量及其各阶导 数均等于零。对于大多数控制系统来说， 这种假设是符合实际情况的。
控制系统的性能指标，可以通过在输入信 号作用下系统的动态过程和稳态过程来评价。 系统的动态过程和稳态过程不仅取决于系统本 身的特性，而且还与外加输入信号的形式有关。 在很多情况下，实际控制系统的外加输入信号 具有随机的性质而无法预先知道，而且其瞬时 函数关系往往又不能一解析形式来表达，例如 随动跟踪系统的输入信号就是如此。
14
在输入信号r(t)作用下，输出y(t)随时间 变化的规律，即式(3-13)微分方程的解或 系统的时域响应，一般也具有式(3-10)、 式(3-11)和式(3-12)三种形式。在分析控制 系统的输出响应时，几乎用不到式(3-12) 的形式。分析系统的稳态响应时一般采用 式(3-11)的结构形式。如欲重点分析系统 的瞬态响应，特别是只需分析零状态响应， 则通常采用式(3-10)的结构形式。
图3-2 阶跃函数
5
A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)。因此， 幅值为的阶跃函数也可表示为
r ( t ) A 1( t )
出现在 t t 0 时刻的阶跃函数，表示为
0 t t0 r ( t t0 ) A t t0
(3-4)
6
3. 斜坡函数（等速度函数）
26
2．稳态性能指标 稳态响应过程是指系统在典型输入信号作 用下，时间t趋于无穷时，系统的输出状态。采 用稳态误差 ess来衡量系统的稳态性能，稳态误 差的定义为：当时间t趋于无穷时，系统输出响 应的期望值与实际值之差。即 (3-17) 稳态误差ess评价系统的准确性，反映控 制系统复现或跟踪输入信号的能力。
20
描述稳定的控制系统在单位阶跃信号 作用下，动态过程随时间t的变化状况的性 能指标，称为动态特性指标。为了便于分 析和比较，假定系统在单位阶跃信号作用 前处于静止状态，而且输出量及其各阶导 数均等于零。对于大多数控制系统来说， 这种假设是符合实际情况的。
自动控制原理3
为便于分析和比较，假定系统在单位阶跃 输入信号作用前处于静止状态，而且系统输 出量及其各阶导数均等于零。对于大多数控 制系统来说，这种假设是符合实际情况的。 控制系统的典型单位阶跃响应曲线如图 所示：
二、控制系统的时域性能指标
单位阶跃响应及动态性能指标
二、控制系统的时域性能指标
根据图中展示的响应特性，定义如下动态性能 指标：
时间 ts ，一般取
ttss
=3T =4T
(Δ=5%C( )) (Δ=2%C( ))
三、一阶系统时域分析
2一阶系统的单位脉冲响应
设系统的输入为单位脉冲函数r(t) = δ(t),其拉氏变 换为R(s)=1, 则输出响应的拉氏变换为
C(S)
1
1 T
Ts 1
s
1 T
对上式进行拉氏反变换，求得单位脉冲响应为
由上述两点可见，控制系统在典型输入 信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳 态性能指标两部分组成。
一般认为阶跃输入对系统来说是最为严峻的 工作状态，通常在阶跃函数作用下测定或计 算系统的动态性能。而系统的动态性能指标 就用其在单位阶跃函数作用下的响应，即系 统的单位阶跃响应的特征量来描述。
二、控制系统的时域性能指标
输出响应
1（t）
1-e-t/T t≥0
δ（t）
1/T·e-t/T t≥0
t1（t）
t-T+Te-t/T t≥0
一阶系统对典型输入信号的响应关系式
三、一阶系统时域分析
表中各响应说明如下结论：
（1）一阶系统只有一个特征参数，即时间常数T。 （2）脉冲函数δ（t）和斜坡函数t1（t）分别是阶跃函数1（t）
R(s)
1
-
Ts
C(s)
二、控制系统的时域性能指标
单位阶跃响应及动态性能指标
二、控制系统的时域性能指标
根据图中展示的响应特性，定义如下动态性能 指标：
时间 ts ，一般取
ttss
=3T =4T
(Δ=5%C( )) (Δ=2%C( ))
三、一阶系统时域分析
2一阶系统的单位脉冲响应
设系统的输入为单位脉冲函数r(t) = δ(t),其拉氏变 换为R(s)=1, 则输出响应的拉氏变换为
C(S)
1
1 T
Ts 1
s
1 T
对上式进行拉氏反变换，求得单位脉冲响应为
由上述两点可见，控制系统在典型输入 信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳 态性能指标两部分组成。
一般认为阶跃输入对系统来说是最为严峻的 工作状态，通常在阶跃函数作用下测定或计 算系统的动态性能。而系统的动态性能指标 就用其在单位阶跃函数作用下的响应，即系 统的单位阶跃响应的特征量来描述。
二、控制系统的时域性能指标
输出响应
1（t）
1-e-t/T t≥0
δ（t）
1/T·e-t/T t≥0
t1（t）
t-T+Te-t/T t≥0
一阶系统对典型输入信号的响应关系式
三、一阶系统时域分析
表中各响应说明如下结论：
（1）一阶系统只有一个特征参数，即时间常数T。 （2）脉冲函数δ（t）和斜坡函数t1（t）分别是阶跃函数1（t）
R(s)
1
-
Ts
C(s)
自动控制原理-第三章 线性系统的时域分析法(1)
增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的
斜率15均等于0。其原因在稳态误差的计算中说明。
4、单位脉冲响应 [R(s)=1]
C(s) 1 Ts 1
h(t) 1/T
它恰是系统的闭环传函，这
0.368/T
时输出称为脉冲响应函数，以
0.135/T
h(t)标志。
h(t )
C脉冲 (t
B S2
C S
D S1
1 S3
T S2
T2 S
T2 S1
T
T
c(t)
1
t2
Tt
T
2
(1
1
eT
t
)
2
(t 0)
e(t
)
r(t)
c(t)
Tt
T
2
(1
1
eT
t
)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
微
3、单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
c(t ) t T Te t /T
(t 0)
c(t)
T
c(t) = t ﹣T + Te﹣t/T
0
T
t
稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上
滞后了一个时间常数T的斜坡函数。
3)峰值时间tp：指响应超过终值达到第一个峰值所需 要的时间。 4)调节时间ts：指响应达到并保持在终值±5%（或 ±2%）内所需要的时间。
自动控制原理-胡寿松-第三章-线性系统的时域分析法
1.典型输入信号 在控制系统分析和设计中常用的典型输入信号有
单位脉冲函数
时域表达式 (t),t 0
复域表达式
1
单位阶跃函数 单位斜坡函数
单位加速度函数 正弦函数
1(t),t 0
t,t 0
1 t2 , t 0 2
Asint
1 s
1 s2
1 s3
A s2 2
应用时究竟采用哪一种典型输入信号, 取决于系统的 常见工作状态；
动态性能指标（阶跃输入）
振荡——第一次上升到终值所需时间；
上升时间 tr : 非振荡——从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；
t 延迟时间 d: 第一次达到其终值一半所需的时间；
峰值时间 t p: 超过其终值后, 到达第一个峰值所需的时间；
调节时间 ts : 到达并保持在终值±5%(或±2%)的误差带内所需的最短时间。
讨论: 系统（闭环）传递函数与脉冲响应函数之间是拉氏变
换的关系，即:
G(s) Lg(t)
g(t) L1 G(s)
1）在初始条件为零的情况下, 一阶系统的闭环传递函数与脉冲响应函数之间, 包含着 相同的动态过程信息。这一特点同样适用于其他各阶线性系统, 因此常以单位脉冲输 入信号作用于系统, 根据被测定系统的单位脉冲响应, 可以求得被测系统的闭环传递 函数。 2）工程上无法得到理想的单位脉冲函数, 常用具有一定脉宽b和有限幅度的矩形脉动 函数来代替。为了得到近似度较高的脉冲响应函数, 要求实际脉动函数的宽度b远小 于系统的时间常数T。一般规定b<0.1T。
impulse(G) 简单介绍一下m文件的用法 Simulink 用法
课前提问
3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点）
自动控制原理的MATLAB仿真与实践第3章 线性系统的时域分析
本节介绍上述过程的MATLAB实现方法。
3
2.1.1 生成模型的常用函数命令格式
连续时间信号f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)的定义：
记为： 拉普拉斯反变换的定义：
记为：
4
s=tf(‘s’)：生成以s为变量的递函数s。此时，s既是传 递函数也是指定变量。
sys=tf(num, den)：生成传递函数模型，num, den分 别为模型的分子和分母多项式系数向量。
的时间函数g(t)。 解：求解G(s)的拉氏反变换程序如下：
11
>>clear; syms s; Gs=(s^3+4*s^2+8*s+5)/(s^2+3*s+4); gt=ilaplace(Gs) 运行结果： gt = Dirac(t)+Dirac(1,t)-1/7*exp(-
3/2*t)*7^(1/2)*sin(1/2*7^(1/2)*t)+exp(3/2*t)*cos(1/2*7^(1/2)*t)
3.1 时域分析的拉普拉斯变换法 3.1.1 连续时间函数的拉普拉斯变换 3.1.2 时域函数的拉氏反变换法 3.1.3 时域函数的部分分时展开法 3.2 时域分析的函数命令方法 3.3作业与实验
2
3.1 时域分析的拉普拉斯变换法
利用拉普拉斯变换法对线性系统进行时域分 析的一般步骤： （1）对系统的传递函数模型进行部分分式展开，将 其变为简单传递函数之和； （2）利用拉普拉斯反变换，得到系统的输出时间响 应函数； （3）绘制系统的响应曲线; （4）通过改变系统的参数，观察系统输出响应的变 化情况，对系统的时域特性（如性能指标等）进 行分析。
上式的拉氏变换后的传递函数模型为：
生成上述模型的MATLAB模型：
3
2.1.1 生成模型的常用函数命令格式
连续时间信号f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)的定义：
记为： 拉普拉斯反变换的定义：
记为：
4
s=tf(‘s’)：生成以s为变量的递函数s。此时，s既是传 递函数也是指定变量。
sys=tf(num, den)：生成传递函数模型，num, den分 别为模型的分子和分母多项式系数向量。
的时间函数g(t)。 解：求解G(s)的拉氏反变换程序如下：
11
>>clear; syms s; Gs=(s^3+4*s^2+8*s+5)/(s^2+3*s+4); gt=ilaplace(Gs) 运行结果： gt = Dirac(t)+Dirac(1,t)-1/7*exp(-
3/2*t)*7^(1/2)*sin(1/2*7^(1/2)*t)+exp(3/2*t)*cos(1/2*7^(1/2)*t)
3.1 时域分析的拉普拉斯变换法 3.1.1 连续时间函数的拉普拉斯变换 3.1.2 时域函数的拉氏反变换法 3.1.3 时域函数的部分分时展开法 3.2 时域分析的函数命令方法 3.3作业与实验
2
3.1 时域分析的拉普拉斯变换法
利用拉普拉斯变换法对线性系统进行时域分 析的一般步骤： （1）对系统的传递函数模型进行部分分式展开，将 其变为简单传递函数之和； （2）利用拉普拉斯反变换，得到系统的输出时间响 应函数； （3）绘制系统的响应曲线; （4）通过改变系统的参数，观察系统输出响应的变 化情况，对系统的时域特性（如性能指标等）进 行分析。
上式的拉氏变换后的传递函数模型为：
生成上述模型的MATLAB模型：
《自动控制原理》第3章线性系统的时域分析法
（3）当 1 时：相等负实根
（4）当 0 时：共轭虚根
(1)过阻尼( 1)
s1,2 n n 2 1
C(s)
n2
1
n2
(S s1)(S s2) S [S n ( 2 1)][S n ( 2 1)]S
A1
A2
A3
S S n ( 2 1) n ( 2 1)
TT
TT
%
t
p
n
K,T
六. 稳定性的基本概念 稳定性系统在扰动消失后，由初始偏差状
态恢复到原平衡态的能力。
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程 随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作 点），则称系统渐近稳定，简称稳定；
若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时 间的推移而发散，则称系统不稳定。
jd d n 1 2 －阻尼振荡频率
W
(s)
C(s) R(s)
S2
n2 2ns
n2
C(s)
W (s)R(s)
S2
n2 2n S
n2
1 S
1
S n
n
S (S n )2 d 2 (S n )2 d 2
稳态分量
暂态分量
C(t) 1 ent[cosdt
1 2
sin dt]
(d n 1 2 )
统参数K,T和α。
c(t)
7.21
R(s)
K s(Ts 1)
C(s) 5
0 3.25 5
已知： %,t p,c()
10
t
T(s)
s
2
2n 2ns
2 n
思路： % c() lim c(t) limsC(s) c()
tp n
（4）当 0 时：共轭虚根
(1)过阻尼( 1)
s1,2 n n 2 1
C(s)
n2
1
n2
(S s1)(S s2) S [S n ( 2 1)][S n ( 2 1)]S
A1
A2
A3
S S n ( 2 1) n ( 2 1)
TT
TT
%
t
p
n
K,T
六. 稳定性的基本概念 稳定性系统在扰动消失后，由初始偏差状
态恢复到原平衡态的能力。
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程 随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作 点），则称系统渐近稳定，简称稳定；
若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时 间的推移而发散，则称系统不稳定。
jd d n 1 2 －阻尼振荡频率
W
(s)
C(s) R(s)
S2
n2 2ns
n2
C(s)
W (s)R(s)
S2
n2 2n S
n2
1 S
1
S n
n
S (S n )2 d 2 (S n )2 d 2
稳态分量
暂态分量
C(t) 1 ent[cosdt
1 2
sin dt]
(d n 1 2 )
统参数K,T和α。
c(t)
7.21
R(s)
K s(Ts 1)
C(s) 5
0 3.25 5
已知： %,t p,c()
10
t
T(s)
s
2
2n 2ns
2 n
思路： % c() lim c(t) limsC(s) c()
tp n
自动控制原理实验报告《线性控制系统时域分析》
自动控制原理实验报告《线性控制系统时域分析》一、实验目的1. 理解线性时间不变系统的基本概念，掌握线性时间不变系统的数学模型。
2. 学习时域分析的基本概念和方法，掌握时域分析的重点内容。
3. 掌握用MATLAB进行线性时间不变系统时域分析的方法。
二、实验内容本实验通过搭建线性时间不变系统，给出系统的数学模型，利用MATLAB进行系统的时域测试和分析，包括系统的时域性质、单位脉冲响应、单位阶跃响应等。
三、实验原理1. 线性时间不变系统的基本概念线性时间不变系统（Linear Time-Invariant System，简称LTI系统）是指在不同时间下的输入信号均可以通过系统输出信号进行表示的系统，它具有线性性和时不变性两个重要特性。
LTI系统的数学模型可以表示为：y(t) = x(t) * h(t)其中，y(t)表示系统的输出信号，x(t)表示系统的输入信号，h(t)表示系统的冲激响应。
2. 时域分析的基本概念和方法时域分析是一种在时间范围内对系统进行分析的方法，主要涉及到冲激响应、阶跃响应、单位脉冲响应等方面的内容。
针对不同的输入信号，可以得到不同的响应结果，从而确定系统的时域特性。
四、实验步骤与结果1. 搭建线性时间不变系统本实验中，实验者搭建了一个简单的一阶系统，系统的阻尼比为0.2，系统时间常数为1。
搭建完成后，利用信号发生器输出正弦信号作为系统的输入信号。
2. 获取系统的响应结果利用MATLAB进行系统的时域测试和分析，得到了系统的冲激响应、单位阶跃响应和单位脉冲响应等结果。
其中，冲激响应、阶跃响应和脉冲响应分别如下所示：冲激响应：h(t) = 0.2e^(-0.2t) u(t)阶跃响应：H(t) = 1-(1+0.2t) e^(-0.2t) u(t)脉冲响应：g(t) = h(t) - h(t-1)3. 绘制响应图表通过绘制响应图表，可以更好地展示系统的时域性质。
下图展示了系统的冲激响应、阶跃响应和脉冲响应的图表。
自动控制原理-第3章 时域分析法82页PPT文档
因为劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右 半S平面。
11
特殊情况（1）：劳思表中某一行的第一列数为0，其余不为0。 解决办法：用一个很小的正数（也可以是负数） 然后继续列劳思表。
例3.4 已知系统的特征方程为 D (s)s43 s3s23 s 10
用劳思稳定判据判别系统稳定性。
b3an 1 1a a nn 1
an6an 1an6anan7
an7
an 1
直至其余 全为0。
c1b 11ab n1 1
an3b1an3b2an1
b2
b1
c2b 1 1ab n1 1
an5b1an5b3an1
b3
b1
c3b 1 1ab n1 1
an7b1an7b4an1
b4
b1
直至其余 c i 全为0。
系统的脉冲响应为
k
r
y(t) C ieit eit(A icods tiB isin dt)i
i 1
i 1
6
系统稳定的充分必要条件是稳定性分析的基础。 但直接检查全部特征根是否都具有负实部是困难的。 因此，后面将陆续介绍各种稳定性判据。如：
• 稳定性的代数稳定判据 • 李雅普诺夫稳定判据 • 奈奎斯特稳定判据
劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。
12
特殊情况（2）：劳思表中某一行的数全为0
解决办法：用上一行的数构成辅助多项式，将辅助多项式对变量
得到一个新的多项式。然后用这个新多项式的系数代替全为0 一行的数，继续列劳斯表。
例3.5 已知系统的特征方程为
D (s ) s 6 s 5 2 s 4 3 s 3 7 s 2 4 s 4 0
11
特殊情况（1）：劳思表中某一行的第一列数为0，其余不为0。 解决办法：用一个很小的正数（也可以是负数） 然后继续列劳思表。
例3.4 已知系统的特征方程为 D (s)s43 s3s23 s 10
用劳思稳定判据判别系统稳定性。
b3an 1 1a a nn 1
an6an 1an6anan7
an7
an 1
直至其余 全为0。
c1b 11ab n1 1
an3b1an3b2an1
b2
b1
c2b 1 1ab n1 1
an5b1an5b3an1
b3
b1
c3b 1 1ab n1 1
an7b1an7b4an1
b4
b1
直至其余 c i 全为0。
系统的脉冲响应为
k
r
y(t) C ieit eit(A icods tiB isin dt)i
i 1
i 1
6
系统稳定的充分必要条件是稳定性分析的基础。 但直接检查全部特征根是否都具有负实部是困难的。 因此，后面将陆续介绍各种稳定性判据。如：
• 稳定性的代数稳定判据 • 李雅普诺夫稳定判据 • 奈奎斯特稳定判据
劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。
12
特殊情况（2）：劳思表中某一行的数全为0
解决办法：用上一行的数构成辅助多项式，将辅助多项式对变量
得到一个新的多项式。然后用这个新多项式的系数代替全为0 一行的数，继续列劳斯表。
例3.5 已知系统的特征方程为
D (s ) s 6 s 5 2 s 4 3 s 3 7 s 2 4 s 4 0
实验三线性控制系统的MATLAB时域分析
实验三线性控制系统的MATLAB时域分析线性控制系统是指其数学模型是线性微分方程的控制系统。
在工程实践中，我们经常使用MATLAB进行线性控制系统的时域分析。
本实验将介绍如何利用MATLAB进行线性控制系统的时域分析。
首先我们需要创建一个线性控制系统的数学模型。
我们可以使用MATLAB的控制系统工具箱来实现这一点。
在命令窗口中输入"controlSystemDesigner"，然后按回车键打开控制系统设计工具。
在控制系统设计工具中，我们可以选择不同的方式来创建一个线性控制系统。
例如，我们可以选择传递函数方式、状态空间方式或者输入输出方式。
在本实验中，我们将使用传递函数方式来创建一个线性控制系统。
在传递函数方式下，我们需要输入系统的传递函数。
传递函数通常由系统的输入、输出以及系统的传递特性来表示。
例如，一个传递函数可以写成G(s)=(s+1)/(s^2+2s+1)，其中G(s)是系统的传递函数。
在控制系统设计工具中，我们可以直接输入系统的传递函数。
然后可以选择将系统的输入输出响应绘制在Bode图、Nyquist图或者极点图上。
我们还可以对系统进行稳定性分析和根轨迹分析等。
在确定了线性控制系统的数学模型之后，我们可以使用MATLAB进行时域分析。
在命令窗口中输入"step"命令，然后输入线性控制系统的传递函数，即可绘制出系统的单位阶跃响应图。
我们还可以使用"impulse"命令来绘制系统的单位冲激响应图。
除了绘制系统的响应图之外，我们还可以计算系统的性能指标。
例如，我们可以使用MATLAB的"stepinfo"命令来计算系统的超调量、峰值时间、上升时间和调节时间等性能指标。
此外，MATLAB还提供了一些其他的功能来分析线性控制系统的时域响应。
例如，我们可以使用“ltiview”命令来通过图形界面对系统进行时域分析。
我们还可以使用“margin”和“bode”命令来分析系统的幅频和相频特性。
自控原理课件-第三章线性系统的时域分析法
0.1hs
ts
t
tdtr
稳态误差ess ±2%或±5%
ts
t
上升时间tr：振荡——第一次上升到终值所需时间；
非振荡——从终值10%上升到终值90%所需的时间。
延迟时间td： 第一次达到其终值一半所需的时间。
峰值时间tp：超过其终值到达第一个峰值所需的最短时间。
调节时间ts： 到达并保持在终值±2%（± 5%）内所需的最短时
实际中，常用tr, tp ,ts和Mp （σ%）
tr，tp——评价系统的响应速度；
Mp （σ%）——评价系统的阻尼程度；值越小、响应快、性能好
ts——评价速度和阻尼程度的综合指标。
18
2.稳态性能：又称静态性能
稳态误差是稳态性能的一种性能指标。 通常在阶跃函数、斜坡函数、加速度函作用下， 进行测定或计算。（单位阶跃输入下的稳态误差也 称为余差） (将在后面专节讨论。§3-3)
等加速度信号；脉冲信号；正弦信号。
4
1、阶跃函数
表达式：r(t)
A 0
t0 t0
A为常数，A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。
r(t - t0 )：称为延迟t0时刻阶跃函数 拉氏变换： R(s) L[1(t)] 1
s
5
2、斜坡函数（速度函数）
表达式：
r(t
)
At 0
t0 t0
A为常数，A=1的斜坡函数称为单位斜坡函数。
t r(t)
t r(t)
t r(t)
t
10
二、动态过程和稳态过程
对于线性定常系统，输入为：r(t，) 输出为：c(t) 用微分方程描述如下：
dn
d n-1
d
dt n c(t ) a1 dt n-1 c(t ) an-1 dt c(t ) anc(t )
自动控制原理第三章 线性系统的时域分析法-3-1
学
重点分析控制输入信号下输出响应的动态指
标和稳态指标、扰动信号作用下的稳态指标
Automatic Control Principle
Page: 7
自 动
动态过程 又称瞬态过程、过渡过程。在典型输入
控 信号的作用下，系统输出量从初始状态变化到最终
制
原 状态的过程。
理 实际系统总是存在惯性、摩擦等因素 必定存在
Automatic Control Principle
Page: 11
自
动
控
第三章 线性系统的时域分析法
制
原
理
3.1 线性系统的时域性能指标
南
3.2 线性系统的动态性能分析
京
航
3.3 线性系统的稳定性分析
空
航
3.4 线性系统的稳态性能分析
天
大
3.5 线性系统的时域法校正
学
Automatic Control Principle
Page: 1
自
动
控 学习要求 掌握系统时域特性和动态性能分析
Automatic Control Principle
Page: 2
自
动
控
控制系统数学模型的建立，为控Байду номын сангаас系统性能
制 分析和参数设计奠定了基础
原
理
时域分析法基于系统输出对系统输入信号的
时间响应的表达式或响应曲线分析研究系统的
南 京
性能，具有直观、准确的特点。
航
空
航
时域分析法以时域性能指标为依据，以典型
压、负载跃变等
南 (2)可反映特殊性，能表示一些特定现象和产生一
京 航
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100 G(s) 2 s 5s
System: sysc Final Value: 1 System: sysc Settling Time (sec): 1.41
Amplitude
System: sysc Rise Time (sec): 0.127
0.5
0
0
0.5
1 Time (sec)
1.5
2019/2/16
自动控制原理实验教程
6. 实验能力要求 （1）根据二阶系统的模拟电路图推导闭环传递函数，分析 系统阻尼比 和无阻尼自然频率n的改变与哪些组件有关。 （2）讨论二阶系统性能指标与 ，n的关系，把不同和 n 条件下测量的动态指标值列表，比较测量结果，并得出 相应结论。 （3）比较分析实际系统响应曲线与理论响应曲线的差别， 分析原因。 （4）在实验中讨论最佳二阶系统的条件。 （5）掌握由系统响应曲线推导闭环传递函数的方法：根据 动态性能指标计算出和，再写出闭环传递函数。
2019/2/16
自动控制原理实验教程
实验二 基于MATLAB控制系统单位阶跃响应分析
1. 实验目的 （1）学会使用MATLAB编程绘制控制系统的单位阶跃响 应曲线。 （2）研究二阶控制系统中，n对系统阶跃响应的影响。 （3）掌握准确读取动态特性指标的方法。 （4）分析二阶系统闭环极点和闭环零点对系统动态性能的 影响。 2. 实验内容 10 已知二阶控制系统： (s ) 2 s 2 s 10 （1）求该系统的特征根 若已知系统的特征多项式D (s)，利用roots ( ) 函数可以 求其特征根。若已知系统的传递函数，利用eig ( ) 函数 可以直接求出系统的特征根。
2019/2/16 自动控制原理实验教程
2. 实验原理
（1）二阶系统的闭环极点分布及其阶跃响应的特点 值 闭环极点分布的特点 阶跃响应的特点 ζ< 0 两个正实部的特征根， 振荡发散的曲线
位于s右半平面
ζ= 0
无阻尼系统
一对共轭纯虚根， 位于s平面虚轴上 两个负实部的共轭复根， 位于s左半平面 两个相等的负实根，
2 C ( s ) n ( s ) 2 2 R ( s ) s 2 s n n
1 C (s) (RC )2 1 1 R (s) s2 (R 2 )s 2 R RC ( RC ) 1
2019/2/16 自动控制原理实验教程
R2 2 R1
1 n RC
C
C
R R R
R
r (t )
D / A1
R R R
c(t )
A / D1
R
R2
R
R1
R
R1 = R = 100 Ω，调节R2或C的值就可以调节ζ和n
R (S)+
-
1 R C S
+
-
1 R C S
C (S)
R 2 R 1
2019/2/16 自动控制原理实验教程
（3）保持无阻尼自然频率n不变，研究阻尼比 的变化 对系统动态性能的影响。 令C = 1uF ，则 n = 10 rad/s , 分别令R2 = 0，40，140，200，240 kΩ时， 系统的阻尼比 = 0，0.2，0.7，1，1.2， 研究二阶系统的动态响应。 （4）改变无阻尼自然频率n，比较在相同阻尼比的情况 下，系统动态性能发生的变化。 令C = 0.1uF ，则 n = 100 rad/s , 分别令R2 = 0，40，140 kΩ时， 系统的阻尼比 = 0，0.2，0.7， 研究二阶系统的动态响应。
1.4 1.2
ξ=0.5 ξ=0.75 ξ=1 ξ=1.25
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
第3章 线性系统的时域分析法
实验一 典型二阶系统模拟电路及其动态性能分析 1. 实验目的 （1）掌握典型二阶控制系统模拟电路的构成，运用典型 环节构造复合控制系统。 （2）掌握二阶系统动态性能指标实测的方法。 （3）研究二阶系统的特征和n对系统动态性能及稳态性 能的影响。 （4）定量分析和n与最大超调量Mp和调整时间ts之间的 关系。 （5）学会根据系统阶跃响应曲线确定传递函数。
等幅振荡曲线 衰减振荡曲线 单调上升收敛的曲线 上升速度较时慢
0< ζ < 1
欠阻尼系统
ζ=1
临界阻尼系统
位于s左半平面实轴
两个不相等的负实根， s的左半平面实轴
ζ>1
过阻尼系统
2019/2/16
自动控制原理实验教程
（2）二阶系统的动态性能指标
2019/2/16
自动控制原理实验教程
3. 实验内容 （1）由典型环节构造二阶控制系统模拟电路 典型二阶控制系统由一个非周期性环节和一个积分环节 串联等效而成，在实验中为了实现参数的线性调节，非 周期性环节使用一个积分环节的负反馈回路构造。
2
2.5
2019/2/16
自动控制原理实验教程
（4）分析ωn不变时，改变阻尼比 ，观察闭环极点的变化 及其阶跃响应的变化。 【范例3-2】当 ＝0，0.25，0.5，0.75，1，1.25时，求对 应系统的闭环极点、自然振荡频率及阶跃响应曲线。
阻尼比不同时的阶跃响应曲线
2
ξ=0
1.8 1.6
ξ=0.25
2019/2/16 自动控制原理实验教程
（2）求系统的闭环根、和ωn 函数damp ( ) 可以计算出系统的闭环根， 和n。
（3）求系统的单位阶跃响应 step ( ) 函数可以计算连续系统单位阶跃响应，其调用格 式为： step (sys) 或step ( sys , t ) 或step (num , den) 函数在当前图形窗口中直接绘制出系统的单位阶跃响应 曲线，对象sys可以由tf ( )，zpk ( ) 函数中任何一个建立 的系统模型。第二种格式中t可以指定一个仿真终止时间， 也可以设置为一个时间矢量（如t＝0 : dt : Tfinal，即dt 是步长，Tfinal是终止时刻）。
2019/2/16
自动控制原理实验教程
【范例3-1】若已知单位负反馈前向通道的传递函数为： 试作出其单位阶跃响应曲线，准确读出 其动态性能指标，并记录数据。
Step Response 1.5 System: sysc Peak amplitude: 1.44 Overshoot (%): 44.4 At time (sec): 0.321 1