柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分

析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不

等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，

正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明

二维形式

在一般形式中，

1212

2,,,,

n a a a b b c b d

=====

令，得二维形式

()()()2

2

2

2

2bd

ac

d

c

b

a+

≥

+

+

等号成立条件：()d

c

b

a

bc

ad/

/=

=

扩展：()()()2 22222222

123123112233

n n n n

a a a a

b b b b a b a b a b a b

+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+

等号成立条件：

1122

000

:::

:,1,2,3,,

i i i i

n n

i i

a b a b

a b a b a b

a b i n

==

⎛⎫

==⋅⋅⋅= ⎪

=⋅⋅⋅

⎝⎭

当或时，和都等于，

不考虑

二维形式的证明：

()()()

()()

()

2222

22222222

22222222

22

2

,,,

22

=

a b c d a b c d R

a c

b d a d b c

a c abcd

b d a d abcd b c

ac bd ad bc

ac bd

ad bc

ad bc

++∈

=+++

=+++-+

=++-

≥+

-=

等号在且仅在

即时成立

三角形式

ad bc

≥

=

等号成立条件：

三角形式的证明：

2

22

111

n n n

k k k k

k k k

a b a b

===

⎛⎫

≥ ⎪

⎝⎭

∑∑∑

b e

i ()()

2

2222222222222

2

22-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥

注：表示绝对值向量形式

()()()

()

123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：

()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1

n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m n

m n

m n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤

令一般形式

2

112

12⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k n

k k n k k b a b a 1122:::n n

i i

a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。一般形式的证明：

2

112

12⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k n

k k n

k k b a b a 证明：

()()()()()2222

22=/2

=/2

i j j i i i j j j j i i a b a b n a b a b a b a b n +++⋅+⋅++≥

不等式左边共项不等式右边共项用均值不等式容易证明，

不等式左边不等式右边，得证。推广形式(卡尔松不等式)：

卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。

a

n d

h i n

g s

i n

11111231111,m

m

m

m

m

m

m

m

i i i in i i i i x x x x m n N ====+

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∈∏∏∏∏ 其中，或者：

1

11111,m

m

m

n

n

m

ij ij j i j i ij x x m n N x R ====++

⎡⎤⎛⎫⎛⎫

≥⎢⎥ ⎪ ⎪

⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦

∈∈∑∑∏∏其中，，或者

()()()

()()112211

11n n n

n n n

x y x y x y x y x x y ++++++⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦∏∏∏ 注：表示，，，x 的乘积，其余同理推广形式的证明：推广形式证法一：

1112221121

12121212

1121

12121212

1

12,,+n n n n n

n n n n n n n

n n n n n n

n A x y A x y A x y x x x x A A A x x x n A A A A A A y y y y A A A y y y n A A A A A A n

x A A A =++=++=+++++⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭∏∏∏

记由平均不等式得

同理可得上述个不等式叠加，得1()()()()()()()()

()()1

121

111

112112211

+n

n n n

n

n n n

n n n n

n n y A A A x y A A A x y x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎝⎭≥++⎡⎤++⎢⎥⎣⎦

++++++⎡⎤

≥++⎢⎥⎣⎦

∏∏∏∏∏∏∏

即即，证毕