第二章Z变换

左边序列的n Z 变 换的收敛域n 一 定位于最内n 部 1 极点的内部，
其收敛域为：
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
1
X (z ) x (n )z nx (n )z n x (n )z n
n
n 0
n
双边序列 的收敛域
X(ej)1a1ej
za
此时，ROC包括了单位圆。
例2: x(n)anu(n1)
1
X(z) anzn anzn
n
n1
1aa1z1z 11az1
za
例3. x(n)(1)nu(n)2nu(n1)
2
X (z) (1)n zn 1 2n zn
n0 2
n
1
1 1
z 1
1
1 2 z 1
2
ROC: 1 z 2 2
定包括 z 点。
因果序列的收敛域为： Rx z
例1．考虑一系统，其中 H(z)11 1z112 1z1
判断其是否为因果系统？
2
z2
解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。
把H(z)表示成两个多项式之比
数形式 的反变X换( z。)
3. 留数法：
由留数定理有：
x (n )1 2j
cX (z)zn 1 d zR e s[X (z)zn 1 ,zi] i
x ( n ) 等 于 X ( z ) Z n 1 在 围 线 积 分 C 内 所 有 极 点 Z i 上 的 留 数 的 总 和
• x ( n在) n的部0分 • x ( n在) n的部0 分
2z2 5 z
H (z)
z2
5
2
z 1
2
z 2
解法一：H(z)是Z的有理函数，其分子分母阶次都是2，因 此该系统是因果的。反之，如果H(z)分子的阶次高于分 母的阶次，则该系统是非因果的。
解法二： H(z)的反变换
hn(1 2)n 2nu(n) 因为 n<0 ,h[n]=0 。说明系统是因果的。
例：
X (z)
3 5 z1 6
(1 1 z1)(1 1 z1)
4
3
1 4
z
1 3
1
2
X(z)
11z1 11z1
z 1, z 1 43
4
3
所以前式按降幂长除,后式按升幂长除。幂级数展
开法的缺点是当 较复X ( 杂z ) （含多个极点时）难以得
出 的闭x式( n。) 幂级数展开法适合用于求解非有理函
对于不同形式的序列其收敛域不同。下面我们结合一些 典型情况讨论Z变换的收敛半径与序列的关系：
1. 有限长序列 x ( n )
x(n)x(0n)
n1nn2 nn1,nn2
其Z变换为
n 2
X ( z )x ( n ) z n x ( n 1 ) z n 1 x ( n 2 ) z n 2
n n 1
4
3
x(n)(1)nu(n)2(1)nu(n1)
4
3
例2．有一序列的Z变换为
X(z)117z1z2 65z1z2
求：X(z)的反变换 x。( n )
|z|>1
解：
117z1z2 117z1z2
X(z)
65z1z2 (2z1)(3z1)
1
1
1/2
1/3
1
1
2z1 3z1
11z1 11z1
2
3
因为 X(z)的收敛域|z|>1，所以
1
X (z) x (n )z n x (n )z n x (n )z n
n n 1
n n 1
n 0
右边序列 的收敛域
右边序列总是收敛的，右边序列的Z变换的ROC一定位
于最外部极点的外部，但可能不包含 Z 点 。右边序列
收敛域是 Rx z 。
右边序列不一定是因果序列，只有在 n1时 0，ROC包 含 z点时才是因果序列。因此，因果序列的收敛域一
若 Z Z i 是多重极点，则有
Res[X(z)zn1] zzi
1
(N1)!
dN1 dzN1
[(zzi
)N
X(z)zn1]
zzi
§3.4 Z变换的基本性质：
Res[X(z)zn1,zi]
i
Res[X(z)zn1,zi] i
上式必须满足 X(z)的zn分1 母多项式的阶次比分子多项
式Z的阶次高二阶或二阶以上。
如果 X(z)z在n1 处Z 为Z单i 阶极点，则有
R e s [X (z )z n 1 ]z z i [(z z i)X (z )z n 1 ]z z i
使得级数一致收敛的充分必要条件是:
x(n)zn
n
Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。
RxZ Rx , 称Rx为 、收Rx 敛半径。收敛半径与序 列有密切关系，对于不 同形式的序列其收敛域 不同。
例1: x(n) anu(n)
X(z) anzn
n
11az1
z a 时收敛
当 a 时1 ， x的( nD)TFT存在
z8
(
1 3
)
8
e
j2 k
z e1 3
j
2
K 8
8个零点
收敛域为除了0和
的整个 平z面
j Im[z]
z0
7阶重极点
z
1 3
一阶极点
Re[ z ]
an, 0nN1, a 0
例4. x (n )
0,
其它n
X(z)N n 0 1anzn11 aa N zz 1 NzN z N 1( za N a)
双边序列的收敛域应该是左边序列和右边序列的公共部 分。双边序列的收敛域一定是环形区域，其收敛域为：
RX Z RX
例2. x(n)bn,b0
x(n )b n u (n ) b n u ( n 1 )
bnu(n)11bz1, zb
bnu( n 1 ) 1b 1 1z 1,zb 1
在 b 时1 ，两部分收敛域无公共部分，表明此
x(n)(n) 1 2 1 2 nu(n) 1 3 1 3 nu(n)
(n) 2(n1)3(n1) u(n)
2. 幂级数展开法:（长除法）
由 X ( 的z ) 定义，将其展开为幂级数:
X (z) x (n )z n x ( n )zn x ( 1 )z n x ( 0 ) x ( 1 ) z 1 x ( 2 ) z 2 x ( n ) z n
X (z)是有限项级数之和，只要级数的每一项有界，
这个级数就收敛。显然，有限长序列的收敛域是除了
Z=0及z两点外的有限Z平面。即: 0 z
如果 n 1 、n选2 择不同，收敛域可以进一步扩展。
当 n10,n时2 , 0 当 n1 0, n2时,0
0 z
0 z
2.右边序列
指 x (只n )在 n时有n1值， 时n， n1 x(n) 0
x ( n ) Z 1 [ X ( z ) ] 1 X ( z ) Z n 1 d z , 2jc
c ( R x ,R x )
式中积分表示对X(z)Zn-1进行的围线积分，积分路径C是一
条在X(z)收敛域 (Rx, 以Rx内)，逆时针环绕原点一周的单围线， 如图所示:
➢反变换的求取方法：
展开式中 z项 n的系数即为 。x (当n ) 是有X ( 理z ) 函数时，
可以通过长除的方法将其展开为幂级数。
由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负 幂项，所以要按降幂长除。
由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的 正幂项，所以要按升幂长除。
双边序列则先要将其分成两部分，分别对应信 号的右边和左边部分，再分别按上述原则长除。
极点：z a (一阶)
z 0 (N-1阶)
零点：z
ae
j
2
N
k
(k0,1N1)
ROC: z 0
3.左边序列
左边序列x (n只) 在 n时 n有2值， 时n ， n2 。x(n) 0
左边序列的Z变换为：
n 2
0
n 2
X ( z ) x ( n ) z n x ( n ) z n x ( n ) z n
换不存在。
2
z
1 3
时x ( n是) 左边序列,且是反因果的,其傅氏
变换不存在。
3
1 3zΒιβλιοθήκη 时2x是( n双) 边序列,傅氏变换存在。
ROC是否包括 z ， 是 是x ( 否n ) 因果的标志。
ROC是否包括 z ，0 是 是x ( n否) 反因果的标志。
§3.3 Z反变换
➢ Z反变换的一般数学表达式为
收敛域的不同，可能代表了不同序列的Z变换，因此为了单值 地确定Z变换所对应的时域序列，不仅要给出序列的Z变换函 数，而且必须同时说明它的收敛域。也就是说，信号的Z变换 与收敛域一起才能构成与时域信号一一对应的关系。
收敛域 — Z平面上那些能使 X 收(z)敛的所有Z值的集合,就构 成了 的X收(z敛) 域，用“ROC”表示。
N
如果为右边序列，则 x(n)A0(n) AiPiinu(n)
i1
若为左边序列，则
1
x(n)A 0(n) A iP iinu(n1)
i
若为双边序列，则由左边序列和右边序列相加而得到。
3 5 z1
例1：X (z)
6
(1 1 z1)(1 1 z1)
4
3
1 z 1
4
3
X(z) 1 2
11z1 11z1
时 X不( 存z ) 在。
0b1 时，ROC为b z 1/b
0b1 时，ROC为b z 1/b
例3. X(z)
1
(11z1)(12z1)
3
极点： z1 13,z2 2
零点： z 0 （二阶）
在有限 Z平面上极点 总数与零点总数相同
若其ROC为：
1 z 2 则x ( n为) 右边序列,且是因果的,但其傅氏变
1. 部分分式展开法： 当 X是( z有) 理函数时,
N
H (z)
A(z) B(z)
ai zi
i0
N
1 bi zi
X(z)A0 i
Ai 1Piz1
i 1
步骤：1.求出 X (的z ) 所有极点 ，p i并展开为部分分式；
2.收敛域是每一部分分式收敛域的公共部分。
3.利用常用变换对和Z变换性质求出每项的反变换。
第二章 z变换
Z变换是分析离散系统的一个极为重要的数学工具。在连 续时间信号与系统中，频域分析用傅立叶变换,复频域分析用 拉普拉斯变换，而在离散时间信号与系统中，序列的傅立叶 变换用以进行频域分析,而Z变换则主要是进行复频域分析。
§2.2 Z变换的定义与收敛域
一．Z变换的定义
序列 x (的n )Z变换定义为
4）如果 x(n)，xi则(n)其ROC是各个 的x i ( n ) i ROC的公共区域。如果没有公共区域则表达式 x的( n Z) 变换不存在。
5）当 X ( 是z ) 有理函数时，其ROC的边界总是由 X 的( z )极点所在的圆周界定的。
6）若 X ( z的) ROC包括单位圆，则有
X(ej)X(z)|zej
方程需要考虑序列的初始条件时要用单边Z变换外，以下我 们都只考虑双边Z变换。
二．Z变换的收敛域（ROC）
收敛域对Z变换是一个重要的概念。序列的Z变换是一幂
级数， x(n并) z不n 一定对任何Z值都收敛，只有当该幂级 n
数收敛时，Z变换才有意义。
所以Z变换的存在与序列 x本( n身) 及Z值范围都有关系。由于
X(z) x(n)zn n
其中 z 是re复j变量,它所在的复平面称为Z平面。以上定义
的变换称为双边Z变换，另外一种称为单边Z变换。
单边Z变换求和限从零到无穷大，单边Z变换定义为：
X(z) x(n)zn n0
在大多数情况下，我们可以把 x ( n ) 的单边Z变换看作是因果 序列 x(n)u情(n况) 下的双边Z变换。因此，除了用Z变换解差分
例2．x(n)Aa求nu序(n列) Z变换的封闭形式及收敛域。
解： X(z)A anznA anzn
n0
n0
A 1az1a2z2 (az1)n
X(z)的封闭形式
X(z) A 1a z1
za
收敛域指在这个范围内表达式是解析的。
例3： x(n)13n[u(n)u(n8)]
有限长序列
X (z)n8 0 1 3z 1 n( 1 1 3z 1 3 z 1) 1 8 1z z7 8( z( 1 3)1 3 8 )
对双边序列， X的( zR) OC是Z平面上一个以原 点为中心的圆环。
[注意]
左边序列从(, 1)
右边序列从
(0 , )
比较例1和例2，它们的Z变换完全一样，只 是收敛域不同，所以对应的时域序列不同。因 此，Z变换与收敛域一起才能构成与信号一一对 应的关系。 X (的z ) 表达式再结合ROC一起才能 唯一的确定信号。
结 论：
1）Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存 在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X (收z ) 敛。
2）仅仅由X ( z的) 表达式不能唯一确定一个信号， 只有 X 连( z )同相应的ROC一道，才能与信号建 立一一对应的关系。
3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心 的
环形区域。