5微分及其在近似计算中的应用

数的微分dy与自变量的微分dx 之商 , 故导数 也称微商.
例2 求 函数 y x 2 1 在 x 1 处当 x 0.1 时 的 改变量 y 和微分dy 的 值. 解 y f ( x x ) f ( x ) ( x x )2 1 ( x2 1) 2 x x ( x )2 2 x 1 y 2×1×0.1 (0.1) 0.21 所以
（ 3 ）当 | x | 很小时 , 可以用微分 dy 作改变量 y 的近似值 , 即 y dy x x A x
0
下面讨论函数 f ( x ) 在点 x0 处可导与可微的关系. 一方面 , 如果函数 f ( x ) 在 x0 点可微 , 则依定义
y Ax o( x ) y o( x ) A 上式两端除以 x , x x
P ( x0 x , y0 y ) , 从图可知 MN x , NP y 过点 M 作切线 MT , 它的倾角为 q , 则 NT MN tanq f ( x0 ) . x dy y dy NT 即 P 于是 , 函数 y f ( x ) 在点 x0 处的 T M ( x , y ) y f ( x ) 在点 微分就是曲线 0 0 M N 处的切线MT, 当横坐标由 x0 变到 q x x0 x 时, 其对应的纵坐标 o x0 x0 x 的改变量.
则称 函数 y f ( x ) 在点 x0处 可微 ,其中 A x 称为 函数 f ( x ) 在 x0 处的 微分 , 记为 dy x x0 , 即 dy x x A x 0
( 1 )函数的微分 A x 是 x 的 线性函数 , 它与 【注】 y 相差一个比 x 高阶的无穷小 （ 2 ）当 A 0 时 , A x 是 y 的 主要部分 , 所 以也称微分 dy 是 y 的 线性主部.
x 0.1 2 而 dy f ( x ) x ( x 1) x 2 x x 1 2 ×1×0.1 0.2 所以 dy x x 0.1
下面给出微分的几何意义: 函数 y f ( x ) 的图形是一曲线 , 当自变量 x 由 x0 变到 x0 x 时 , 曲线上的对应点 M ( x0 , y0 ) 变到
这个 A 2 x 0 x ( x ) 2 由两部分组成
第一部分 : 2 x0 x 是 x 的线性函数
第二部分 :( x ) 2 是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
所以当 |x| 很小时 , 可以略去 ( x ) 2 ,仅用第一部分
x 的线性函数 2 x0 x作为 A 的近似值 , 即
A 2 x0 x
x0
x 0 x
x ︷
( x ) 2
由此 , 我们引进微分概念
x
x 0 x
x0
定义 若函数 y f ( x ) 在 x0 处的改变量 y 可以表示 为 x线性函数 A x（ A 是常数）与一个比 x高阶 的无穷小之和 y A x o( x )
由此可见 , 函数 f ( x ) 在点 x0 处可导与可微是等价的.
由上面推导可以看出 A f ( x0 ) 所以函数 f ( x百度文库) 在 x0 处的微分
dy x x f ( x0 ) x
0
………………………… (1)
由 (1) 式可知， 自变量微分 dx x x x
有
o( x ) y f ( x0 ) lim lim A A x 0 x x 0 x 即 A f ( x0 )
这说明:函数 f ( x ) 在点 x0 可微 , 则函数在点 x0 必可导. 且 f ( x 0 ) A y 反之， 如果 f ( x ) 在点 x0 可导 , 即 lim f ( x 0 ) x 0 x 存在 , 根据极限与无穷小的关系 , 则有 y f ( x0 ) 其中 lim 0 x x0 从而 y f ( x0 ) x x x 是当 x 0 时 这里 f ( x0 )是不依赖于x的常数， x 比x高阶的无穷小， ( 因为 lim lim 0) x 0 x x 0 按微分的定义 , 知 f ( x )在x0处可微. 这表明 :函数 f ( x ) 在点 x 0 可导 , 则函数在点 x 0 必可微.
x0
x 0 x
x ︷
( x ) 2
x
到x0 x (| x | 很小) , 如图所示，
求其面积A的改变量的近似值 .
x 0 x
x0
解 边长为x的正方形薄片的面积 A x 2 ,
面积A有相应的改变量 当边长从x0变到x0 x时，
2 2 2 A （x0 x） x0 2 x0 x ( x )
第五讲 函数的微分
• 内容提要
1. 微分的概念； 2. 微分运算法则； 3. 微分在近似计算中的应用。
• 教学要求
1.理解微分的概念，了解微分的几何意义以及微分与可导 之间的关系； 2.熟悉微分的运算法则； 3.会用微分进行近似计算。
第五节 微分及其在近似计算中的应用
一、微分概念
首先看一个例子 例1 一个金属正方形薄片，当 受冷热影响时，其边长由x0变
所以函数 f ( x ) 在 x0 处微分 , 又可写成
dy x x f ( x0 )dx
0
…………………………( 2 )
这是函数微分的常见写法.
若函数 f ( x )在某区间内每一点都可微 , 则称 f ( x )是该区间内的可微函数 , 记为
dy f ( x )dx
dy 由此式 , 可得 f ( x ) dx dy 可以看作函 这表明 , 函数的导数 f ( x ) dx