离散图像变换
离散数学中的离散变换和傅里叶变换
离散数学是数学中的一个分支，其研究对象是离散的数学结构和离散的数学对象。
离散数学在计算机科学、电子工程和通信工程等领域中有着广泛的应用。
在离散数学中，离散变换和傅里叶变换是两个重要的概念。
离散变换是一种将离散的数据序列转化为另一种形式的方法。
在离散数学中，我们常常需要对一组数进行处理和分析，离散变换可以帮助我们更好地理解和处理这些数。
离散变换的一个重要应用是图像处理。
在图像处理中，我们经常需要对图像进行分析和处理，离散变换可以将图像的像素转化为频域上的表示，从而更好地理解图像的特征和结构。
在离散变换中，傅里叶变换是一种重要的变换方法。
傅里叶变换是将一个连续函数表示为一系列正弦和余弦函数的和的方法。
在离散数学中，我们常常需要对离散的数据进行傅里叶变换。
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用。
离散傅里叶变换有很多重要的性质和定理。
其中一个重要的定理是离散傅里叶变换的逆变换定理。
根据逆变换定理，离散傅里叶变换的逆变换可以表示为原始离散序列的线性组合。
这个定理在恢复原始信号时是非常有用的。
除了离散傅里叶变换，还有许多其他的离散变换方法。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散余弦变换在图像和视频压缩中有着广泛的应用。
另外，离散小波变换（DWT）是一种将离散序列转化为时域上的多尺度表示的方法。
离散小波变换在图像和信号处理中也有着广泛的应用。
总的来说，离散变换和傅里叶变换是离散数学中重要的概念和方法。
离散变换可以帮助我们更好地理解和处理离散数据，傅里叶变换则可以将离散序列转化为频域上的表示。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用，而离散余弦变换和离散小波变换则在图像和视频处理中起着重要的作用。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换是我们在处理和分析离散数据时常用的工具。
通过学习离散变换和傅里叶变换，我们可以更好地理解和处理数据，同时也可以为实际应用提供有力支持。
基于离散小波变换的图像处理技术研究
基于离散小波变换的图像处理技术研究图像处理技术已经成为现代科学和技术发展的一个重要领域。
其中，离散小波变换是一种广泛应用的图像处理方法。
它不仅可以对图像进行压缩和去噪，还可以应用于图像分析和识别等方面。
本文将探讨离散小波变换在图像处理中的应用，并对其进行详细的研究。
1. 离散小波变换的基本原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种基于小波分析的信号处理技术。
其基本原理是将原始信号分解成不同尺度的频带，分别进行处理，最后再将处理结果合成为新的信号。
离散小波变换可分为一级变换和多级变换，一级变换是将原始信号分解成两个不同尺度的频带，即低频部分和高频部分。
2. 离散小波变换在图像处理中的应用离散小波变换在图像处理领域中有着广泛的应用。
其中，最常见的是对图像进行压缩和去噪。
在图像压缩中，离散小波变换可以将图像分解成不同尺度的频带，将高频部分进行量化，从而减小图像大小。
在图像去噪领域中，离散小波变换可以将带噪声的图像分解成多个频带，并对高频细节部分进行滤波处理，从而消除噪声。
除此之外，离散小波变换还可以应用于图像分割和图像识别等方面。
在图像分割中，可以使用一级和多级离散小波变换将图像分解成不同频带，从而实现对不同频率信息的提取。
在图像识别中，可以使用离散小波变换将图像进行特征提取和处理，从而实现图像分类和识别。
这些应用都充分发挥了离散小波变换在图像处理领域中的优势。
3. 离散小波变换的实现方法离散小波变换的实现方法有两种：一种是分解-重构法，另一种是快速小波变换（Fast Wavelet Transform，FWT）。
其中，分解-重构法是离散小波变换的基本方法，其原理是将原始信号进行多次分解，然后重构出一组新的频率尺度系数。
这种方法需要耗费大量的计算资源，但可以实现任意长度的离散小波变换。
FWT是一种高效、快速的小波变换方法。
它基于小波细节系数的重采样，从而实现了更快的计算速度。
离散余弦变换是图像处理中常用的正交变换
离散余弦变换是图像处理中常用的正交变换
，
如今，离散余弦变换在生活娱乐中也越来越受到重视。
离散余弦变换（DCT）
是一种从图像或音频信号中提取特征的强大手段，也是图像处理中经常使用的正交变换。
用来压缩静帧、图像及其它信号，使其二进制变小，不仅可以显著地提高数据传输速率，而且可以有效地提高图像质量。
离散余弦变换可以将多维输入数据转换为更理想的高维特征表示，从而获得更
有效的结果。
它把由八个及以上的样点组成的抽样二维信号拆分为基本元素，其特征表示更加紧凑。
换句话说，离散余弦变换可以以有效的方式提取图像的主要特征，从而有效地提高图像压缩和传输的质量。
另外，离散余弦变换还是探究图像匹配，特征提取，图像分类和图像融合等图
像处理方面重要的工具。
它可以将一幅图像分解成基本特征因子，使得图像内部的内容变得清晰可见，并且可以有效地用来检测图像的细节信息。
因此，离散余弦变换技术能够帮助人们解决视觉工程中的很多棘手问题，同时也拓宽了人们探索生活娱乐方面的视野。
离散余弦变换不仅对图像处理有着重要的意义，还可以用于媒体处理，消费类
电子类等方面。
许多消费电子设备都利用离散余弦变换来实现图像压缩、视频抽帧等，使多媒体设备更加具有可持续性及具有更优质的性能。
总之，离散余弦变换技术在图像处理、媒体处理、消费电子等领域的重要性越
来越受到人们的重视。
它能够抓住图像的主要特征以及其内部信息，这正是当今技术发展最需要突破的关键。
它可以使生活更加便利，进一步提高娱乐质量，这正是离散余弦变换无可比拟的价值所在。
二维离散Fourier变换图像的处理实验报告材料
课程实验报告
2.图像的Fourier反变换：
(1)利用完整的相位谱和幅度谱重构原图像，然后仅利用相位谱重构原图像，最后仅利用幅度谱重构原图像，比较3个实验结果;
分析：
(2)选择两幅内容不同的图像，分别进行Fourier变换，交换二者的相位谱后求Fourier反变换，观察实验结果。
分析：
(3)分析(1)、(2)的实验结果，说明图像Fourier相位谱的重要性。
分析：
4.读取文件名为‘text.tif’的图像，从图中剪切字母“t”，利用相关定理进行模板匹配，找出图中所有t的位置。
实验中的体会（如实验过程中遇到的问题及其解决的方法等）
本次实验内容比较多一点，实验课堂上也完全得差不多，发现实验课上我做的速度还是挺快的，但是有时候总是去纠结一个结果。
就像上次实验课，我检查了好几遍，发现我的代码是没有问题，也请老师和同学帮我看了，但是出不来效果，一直停留在这个问题，没心思做最后一题，可是回到宿舍，自己又敲了一次代码，结果一次就通过，也很顺利地完全了最后一题。
这是第三次实验课了，我也比前两次课清晰一点我们究竟在做什么，可能是由于数学基础问题，有些原理还是不能理解得很透彻。
虽然实验是知道要干什么，要怎么样做，但是对于背后的原理还是不清楚。
不过我还是挺喜欢这个方向，挺喜欢这门课的，我会更加努力地学好这门课的。
对离散fourier变换公式四种形式的讨论
对离散fourier变换公式四种形式的讨论Fourier变换是一种广泛应用于信号处理、图像处理、声音处理等领域的数学工具。
离散Fourier变换是Fourier变换的一种离散形式，用于对离散信号进行频域分析。
离散Fourier变换公式有四种不同的形式，本文将对这四种形式进行讨论。
一、正向离散Fourier变换公式正向离散Fourier变换（DFT）公式是将一个离散信号转换为它在频域中的表示。
设$x(n)$为长度为$N$的离散信号，则它的DFT表示为：$$X(k)=sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-i2pi kn/N},k=0,1,cdots,N-1$$其中$i$为虚数单位。
公式中的$X(k)$表示信号在频域中第$k$个离散频率上的振幅和相位。
DFT公式是一种线性变换，因此可以用矩阵形式表示：$$begin{bmatrix} X(0) X(1) vdots X(N-1) end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 1 & e^{-i2pi/N} & cdots & e^{-i2pi(N-1)/N} vdots & vdots & ddots & vdots 1 &e^{-i2pi(N-1)/N} & cdots & e^{-i2pi(N-1)(N-1)/N} end{bmatrix} begin{bmatrix} x(0) x(1) vdots x(N-1) end{bmatrix}$$ 这个矩阵称为DFT矩阵，它的逆矩阵称为IDFT矩阵，可以用来进行反向DFT变换，将频域信号转换回时域信号。
二、反向离散Fourier变换公式反向离散Fourier变换（IDFT）公式是将一个离散频域信号转换为它在时域中的表示。
设$X(k)$为长度为$N$的离散频域信号，则它的IDFT表示为：$$x(n)=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{i2pi kn/N},n=0,1,cdots,N-1$$公式中的$x(n)$表示信号在时域中的振幅和相位。
图像去噪：离散余弦变换法
图像去噪：离散余弦变换法
声明：未经允许，不得随意转载基于离散余弦变换法的图像去噪
原理：⼀般⽽⾔，我们认为图像的噪声在离散余弦变换结果中处于其⾼频部分，⽽⾼频部分的幅值⼀般很⼩，利⽤这⼀性质，就可以很容易实现图像的噪声抑制，但是不⾜之处是会丢失部分图像的细节。
MATLAB程序如下：
%读取图像
X=imread('cha.jpg');
X_gray=rgb2gray(X);
%显⽰原灰度图像
figure(1);
imshow(X_gray);
%获取图像尺⼨
[m,n]=size(X_gray);
%给图像去噪
Xnoised=imnoise(X_gray,'speckle',0.01);
%输出加噪声图像 figure(2);
imshow(Xnoised);
�T变换
Y=dct2(Xnoised);
I=zeros(m,n);
%⾼频屏蔽
I(1:9*m/10,1:9*n/10)=1;
Ydct=Y.*I;
%逆DCT变换
Y=uint8(idct2(Ydct));
%结果输出
figure(3);
imshow(Y);
实际效果图：
原图灰度图像
加噪声后的图像
处理后的图像
参考⽂献：
赵⼩川.现代数字图像处理技术提⾼及应⽤案例详解，北京.2012.4。
图像的离散余弦变换
3.6：图像的离散余弦变换1．实验目的（1）了解离散余弦正变换和逆变换的原理（2）理解离散余弦变换系数的特点（3）了解离散余弦变换在图像数据压缩中的应用2．实验主要仪器设备（1）微型计算机：Intel Pentium及更高（2）MATLAB软件3．实验原理（1）二维离散余弦变换和离散余弦逆变换的计算公式（2）MATLAB中的DCT变换的实现函数是dct2（）；DCT逆变换的实现函数是idct2()4.实验内容在MATLAB环境中，进行图像的离散余弦变换和离散余弦逆变换，初步理解DCT变换在压缩编码中的应用。
减少DCT系数，观察重建信号和误差信号。
5．实验步骤（1）MATLAB Command 窗口中，输入Demo,并执行。
（2）MATLAB Demo窗口中，选择ToolBox并双击打开，选择Image Processing.(3)运行Discrete Cosine Transform.(4)选择不同个数的DCT系数，观察重建图像和误差图像的不同。
（5）选择不同的图像重复步骤4。
6．实验报告要求（1）说明离散余弦正反变换的原理（2）分析重建图像误差图像和DCT系数的关系7.实验结果傅立叶变换A=imread('heju.jpg');imshow(A);A2=fft2(A);A2=fftshift(A2);figure,imshow(log(abs(A2)+1),[0 10]);余弦变换A=imread('heju.jpg');I=dct2(A);subplot(1,2,1),imshow(A);subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[0 5]);运行Discrete Cosine Transform后的结果：。
图像变换_DCT
离散余弦变换的Matlab实现
10 5 0 -5
图3.12原始图像
图3.13余弦变换系数
图3.14余弦反变换恢复图像
离散余弦变换的一个重要应用-图像压缩
DCT变换之后，系数的特点: 从左上角到右下角的，从低频到中频，
再到高频，系数的绝对值逐渐变小，能量集 中在低频成分。
低频系数体现图像中目标的轮廓和灰度 分布特性,高频系数体现了目标形状的细节。
图像的变换
离散余弦变换（DCT）
信号与信息处理：simon
离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，简称DCT变换）是一种与傅 立叶变换紧密相关的数学运算。在傅立叶 级数展开式中，如果被展开的函数是实偶 函数，那么其傅立叶级数中只包含余弦项， 再将其离散化可导出余弦变换，因此称之 为离散余弦变换。
离散余弦变换的一个重要应用-数据压缩
例：DCT作图像压缩
I=imread('cameraman.tif'); //读入图像
I1=double(I)/255;
T=dctmtx(8); //离散余弦矩阵
B=blkproc(I1,[8 8],'P1*x*P2',T,T'); //对每个8*8块进行变换
imshow(I1),figure,imshow(I2);figure,imshow(mat2gray(I1-I2),[])
语音和图像信号进行变换的最佳方法
数字信号处理芯片（DSP）的发展，确立 离散余弦变换（DCT）在目前图像编码中 的重要地位，成为H.261、JPEG、MPEG 等国际上公用的编码标准的重要环节。
1 二维离散余弦变换-数学公式
F (u, v)
06-图像的离散傅立叶变换-1
© 2011 Jiao Wu 数字图像处理—Digital Image Processing图像频域变换Transformation数字图像处理—Digital Image Processing© 2011 Jiao Wu 图像频域变换•图像和其它信号一样,既能在空间域（简称空域）处理,也能在频率域（简称频域）处理.也能在率域（简称域）•把图像信息从空域变换到频域,可以更好地分析、加工和处理.图像信息的频域处理具有如下特点:(1)能量守恒，但能量重新分配;(2)有利于提取图像的某些特征;(3)正交变换具有能量集中作用,可实现图像的高效压缩编;(4)频域有快速算法,可大大减少运算量,提高处理效率.2011/5/42© 2011 Jiao Wu 数字图像处理—Digital Image Processing图像的离散傅立叶变换Discrete Fourier Transform图像的离散傅立叶变换(Discrete Fourier transform,DFT离散傅立叶变换(Discrete Fourier transform, DFT）•建立了离散信号的空域表示与频域表示之间的联系，在数字信号处理中得到了广泛的应用.•利用计算机对变换后的信号进行频域处理, 比在空域中直接处理更加方便.•DFT具有快速算法(fast Fourier transform, FFT), 由于(fast Fourier transform FFT)可大减少运算量, 提高处理速度.2011/5/44一维离散傅立叶变换－1D DFT 维离散傅立叶变换1D DFT维离散傅立叶变换1D DFT 一维离散傅立叶变换－1D DFT 根据欧拉公式有：cos sin ix e x i x ±=±exp(2)cos 2sin 2j xu ux j ux πππ−=−DFT 表示为复数的形式：()()()F u R u jI u =+其中R (u )和I (u )分别为F (u )的实部和虚部.2011/5/46维离散傅立叶变换1D DFT 一维离散傅立叶变换－1D DFT 表示为复数的形式DFT 表示为复数的形式：()()()F u R u jI u =+维离散傅立叶变换1D DFT 一维离散傅立叶变换－1D DFT 1D DFT 的矩阵表示0(1)00011(1)1011(0)(0)N N N N N WW W F f −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥L L (1)0(1)1(1(1)(1)(1)1)1)N N N N N N N F f WW W F N N WW −−−−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−M M L L L L ()()NN N f W ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F f=U 2011/5/48维离散傅里叶变换1D DFT 一维离散傅里叶变换－1D DFT 1D DFT 的矩阵表示F f =U T [(0)(1)(1)]F F F F N =−L [(0)(1)(1)]Tf f f f N =−L 0(1)0001N N N N W WW −⎡⎤L 1(1)1011N N N N W W W W W −−−−−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥U L L L L (1)0(1)1(1(1)N N N N N N N W ⎢⎥⎣⎦L U 称为=U2011/5/49U 称为变换矩阵.U 是对称的, 即U T =U.维离散傅里叶变换1D DFT 一维离散傅里叶变换－1D DFT 1D DFT 的矩阵表示F f=U 0(0001⎡1)1(1)1011N N N N N N N N W W W W W W −−⎤⎢⎥=L L U 称为变换矩阵.U T =U (1)0(1)1(1(1)N N N N N N N W W W −−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦U L L L L U U(U *)T =I N , 则U 称为酉矩阵, 且U -1=(U *)T =U *.1D-DFT 为正交变换*−2011/5/410逆变换的矩阵表示1f F F==U U二维离散傅立叶变换－2D DFT 维离散傅立叶变换2D DFT维离散傅立叶变换2D DFT2D DFT 的复数形式)+二维离散傅立叶变换－2D DFT 2D DFT 的复数形式：(,)(,)(,F u v R u v jI u v =二维离散傅立叶变换－2D DFT维离散傅立叶变换2D DFT图像傅立里叶变换的意义1简化计算. 即傅立叶变换可将空间域中复杂的卷积运（）计算即叶将域中杂算转化为频率域中简单的乘积运算.（）对于某些在空间域中难于处理或处理起来较复杂的2对于某些在空间域中难于处理或处理起来比较复杂的问题, 利用傅立叶变换把用空间域表示的图像映射到频率域, 再利用频域滤波或频域分析方法对其进行处理和分析,然后再,把其在频域中处理和分析的结果变换回空间域, 从而可达到简化处理和分析的目的.（3）某些只能在频率域处理的特定应用需求, 比如在频率域进行图像特征提取、数据压缩、纹理分析、水印嵌入等.2011/5/413DFT2D DFT的性质的性质2D DFT2D DFT的性质变换核的可分离性(1) 变换核的可分离性(1)(1)DFT 2D DFT的性质2D DFT 2D DFT的性质的性质(1)(1)(1) 变换核的可分离性变换核的可分离性2D-DFT 1D-DFT 该性质说明2D DFT 可通过两次1D DFT 完成，即按如下两种方法来实现2D-DFT:1 1(,)(,)(,)D DFT D DFTf x y F x v F u v −−⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯⎯→沿列沿行 1 1(,)(,)(,)D DFT D DFTf x y F u y F u v −−⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯⎯→沿行沿列或2011/5/415DFT 2D DFT的性质2D DFT 2D DFT的性质的性质(2)若, 则(,)(,)f x y F u v ↔(2)(2) 移位特性移位特性a. 空间移位乘以个指数项相当于将其维离散傅立叶00()00(,)(,)x u y v Nf x x y y F u v W+−−↔将F (u,v )乘以一个指数项, 相当于将其二维离散傅立叶逆变换f (x,y )的空域中心移动到新的位置.b. 频域移位00()00(,)(,)xu yv N f x y W F u u v v +↔−−将f (x,y )乘以一个指数项, 相当于将其二维离散傅立叶变换F (u,v )的频域中心移动到新的位置.2011/5/416DFT 2D DFT的性质2D DFT 2D DFT的性质的性质(2)若, 则(,)(,)f x y F u v ↔(2)(2) 移位特性移位特性c. 移位时幅度不变()||()||()|x u v +当空域中f (x,y )移位时, F (u,v )在频域中只发生相移, 而00)00|(,,,y Nf x x y y F u v F u v W−−↔=傅立叶变换的幅值不变.00(),,,xu yv x y Wf x y F u u v v +=↔−−当频域中F (u,v )移位时, f (x,y )在空域中也只发生相移, 00|()||()||()|Nf 2011/5/417而傅立叶变换的幅值不变.DFT的性质2D DFT的性质2D DFT的性质2D DFT移位特性(2) 移位特性(2)(2)即使f(x,y)的频谱F(u,v)从原点(0,0)移到中心.222011/5/418DFT 2D DFT的性质2D DFT 2D DFT的性质的性质(2)(2)(2) 移位特性移位特性(a) lena 原始图像(b) 无平移的傅里叶频谱(c) 原点移到中心的傅里叶变换2011/5/419DFT 2D DFT的性质2D DFT 2D DFT的性质的性质(3)傅立叶变换和逆变换均以N 为周期(3)(3) 周期性周期性(,)(,)(,)(,)f x y f x aN y f x y bN f x aN y bN =+=+=++(,)(,)(,)(,)F u v F u aN v F u y bN F u aN v bN =+=+=++(4)图像f (x,y )为实函数, 则F (u,v )具有共轭对称性(4)(4) 共轭对称性共轭对称性*(,)(,)F u v F u v =−−|(,)||(,)|F u v F u v =−−2011/5/420是F (u,v )的复共轭.*(,)F u vDFT 2D DFT的性质2D DFT 2D DFT的性质的性质(5)引入极坐标cos x r θ=cos u ωφ=(5)(5) 旋转不变性旋转不变性{sin y r θ=(,)(,)f x y f r θ→{sin v ωφ=(,)(,)F u v F ωφ→由, 有(,)(,)f r F θωφ⇔00(,)(,)f r F θθωφθ+⇔+空域中的函数f (x,y )旋转θ0角度, 其傅立叶变换F (u,v )也旋转同样大的角度, 反之亦然.2011/5/421DFT 2D DFT的性质2D DFT 2D DFT的性质的性质(5)(5)(5) 旋转不变性旋转不变性,由, 有(,)(,)f r F θωφ⇔00(,)(,)f r F θθωφθ+⇔+空域中的函数f (x,y )旋转θ0角度, 其傅立叶变换F (u,v )也旋转同样大的角度, 反之亦然.2011/5/422DFT2D DFT的性质的性质2D DFT2D DFT的性质实偶函数的DFTDFT(6)(6)实偶函数的(6) 实偶函数的DFT2D DFT的性质的性质2D DFT2D DFT的性质线性性(8) 线性性(8)(8)DFT2D DFT的性质的性质2D DFT2D DFT的性质平均值(10) 平均值(10)(10)DFT 2D DFT的性质2D DFT 2D DFT的性质的性质(11)(11)(11) 卷积定理卷积定理(,)*(,)(,)(,)e e f x y h x y F u v H u v ⇔其中{(,)(,)(,)*(,)e ef x y h x y F u v H u v ⇔中{(,)01,01(,)01,1e f x y x A y B f x y A x M B N ≤≤−≤≤−=≤≤−≤≤−y (,)01,01(,)1e h x y x C y D h x y C ≤≤−≤≤−={01,1x M D y N ≤≤−≤≤−=−=+−2011/5/4261,1M A C N B D +DFT 2D DFT的性质2D DFT 2D DFT的性质的性质(11)(11)(11) 卷积定理卷积定理(,)*(,)(,)(,)e e f x y h x y F u v H u v ⇔其中{(,)(,)(,)*(,)e ef x y h x y F u v H u v ⇔中1100(,)(,) 01,01N N yv xu e NNx F u v f x y W W u M v N −−===≤≤−≤≤−∑∑y 1100(,)(,) 01,01N N yv xu e NNx H u v h x y W W u M v N −−===≤≤−≤≤−∑∑y 1,1M A C N B D =+−=+−−−2011/5/4271100(,)*(,)(,)(,)N N e e e e i j f x y h x y f i j h x i y j ===−−∑∑DFT 2D DFT的性质2D DFT 2D DFT的性质的性质(12)(12)(12) 相关定理相关定理*)()()()(,,,,e e f x y h x y F u v H u v ⇔o *)()()()o (,,,,e e f x y h x y F u v H u v ⇔−−1100(,)(,)(,)(,)N N e e e e i j f x y h x y f i j h x i y j ===++∑∑o 2011/5/428DFT 2D DFT的计算2D DFT 2D DFT的计算的计算根据傅立叶变换核的可分离性，2D-DFT 可用两步1D DFT 来实现而1D DFT 这也就说1D-DFT 来实现，而1D-DFT 有快速算法FFT ，这也就说明，2D-DFT 就可用FFT 来完成，即(,){[(,)]}x y F u v FFT FFT f x y ={[(,)]}y x FFT FFT f x y =2011/5/429傅里叶变换在图像处理中的应用基本思路先用(-1)(x+y)乘以图像得(-1)(x+y)f(x,y)；然后对其进行傅立叶正变换得到原点在(N/2,N/2)之处的F(u,v)；接着根据图像的频率特性，利用有关的低通频率滤波器，或高通频率滤波器等，对其进行滤波处理；再将处理的结果进行傅立叶反变换；最后给反变换的结果再乘以(-1)(x+y)就可得到最终的结果.典型应用：去除图像噪声、图像数据压缩、图像识别、典型应用去除图像噪声图像数据压缩图像识别图像重构和图像描述等.2011/5/430图像变换的一般表示形式图像变换的一般表达式11(,)(,)(,,,) ,0,1,,1N N F u v f x y g x y u v u v N −−⎧==−⎪∑∑L 0011(,)(,)(,,,) ,0,1,,1x y N N f x y F u v h x y u v x y N ==−−⎪⎨⎪==−∑∑L 其中g (x ,y,u,v )和h (x ,y,u,v )分别称为正\反变换核.00u v ==⎪⎩图像变换完全由变换核的特性决定,不同特性的变换核就形成了不同种类的变换.2011/5/431正交变换将像变式中的变成阵表达式将图像变换公式中的正变换写成矩阵表达式其中G 称为变换矩阵.F f=G (1) (1) 正交变换矩阵及其主要性质正交变换矩阵及其主要性质2011/5/432正交变换=GF f2011/5/433正交变换(2) (2) 正交变换正交变换F f =G 变换矩阵是正交（或酉）矩阵的变换称为正交变换.2D-DFT就是正交变换.(3) (3) 二维正交变换下的能量守恒二维正交变换下的能量守恒下变换前后的能量是守恒的正交变换下,变换前后的能量是守恒的111122)||()|N N N N −−−−=∑∑∑∑0000|(,,x y u v f x y F u v ====2011/5/434可分离正交变换f 是数字图像矩阵,F 为经正交变换后得到的变换域的结果.T 12F f =G G (0,0)(0,1)(0,1)(1,0)(1,1)(1,1))]f f f N N f −⎡⎤⎢⎥−L L (,)(,)(,)[(,(1,0)(1,1)(1,1)f f f f x y f N f N f N N ==⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦L L L L (0,0)(0,1)(0,1)(10)(11)(1F F F N −⎡⎤L (1,0)(1,1)(1,1)[(,)](1,0)(1,1)(1,1)F F F N F F u v F N F N F N N ⎢⎥−==⎢⎥⎢⎥−−−−L L L L L 2011/5/435⎣⎦可分离正交变换f 是数字图像矩阵,F 为经正交变换后得到的变换域的结果.T 12F f =G G 111(0,0)(0,1)(0,1)(1,0)(1,1)(1,1)g g g N N −⎡⎤⎢⎥−L L 1111111(,)(,)(,)(1,0)(1,1)(1,1)g g g G g N g N g N N =⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦L L L L 222222(0,0)(0,1)(0,1)(1,0)(1,1)(1,1)g g g N g g g N G −⎡⎤⎢⎥−=L L 2222(1,0)(1,1)(1,1)g N g N g N N ⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦L L L L 2011/5/436G 1和G 2是正交变换核g 分离后得到的变换矩阵可分离正交变换f 是数字图像矩阵,F 为经正交变换后得到的变换域的结果.T 12F f =G G 如果G 1和G 2的逆矩阵都存在, 则可得到反变换为T 1-1F −=G G 12()f 变换核可分离的正交变换,称为可分离正交变换.分离后都是正交矩阵（或酉矩阵）的变换矩阵G 1和G 2都是正交矩阵（或酉矩阵）.根据正交变换矩阵的性质,,得到可分离正交变换的反**T 12()f F =G G G 1和G 2为酉矩阵变换为2011/5/437T12f F =G G G 1和G 2为正交矩阵可分离正交变换可分离正交变换的矩阵表示式**T =T 12F f =G G 12()f F G G G 1和G 2为酉矩阵T 12f F =G G G 1和G 2为正交矩阵2D-DFT ,2D DFT 就是可分离的正交变换, 其变换核也是对称的.2011/5/438作业：1. P184 6-12. 求以下数字图像块的2D-DFT 0110⎡⎤0110(,)0110f x y ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥0110⎣⎦2011/5/439。
图像的离散余弦变换代码
对图像进行离散余弦变换(DCT)处理（图像变换）的源代码#define EXTRA_NAME "@dcttransform."#include "loadbmp.h"#define Point(x,y) lpPoints[(x)+(y)*nWidth]void FFT(COMPLEX * TD, COMPLEX * FD, int power) {int count;inti,j,k,bfsize,p;double angle;COMPLEX *W,*X1,*X2,*X;count=1<<power;W=(COMPLEX *)malloc(sizeof(COMPLEX)*count/2);X1=(COMPLEX *)malloc(sizeof(COMPLEX)*count);X2=(COMPLEX *)malloc(sizeof(COMPLEX)*count);for(i=0;i<count/2;i++){angle=-i*pi*2/count;W[i].re=cos(angle);W[i].im=sin(angle);}memcpy(X1,TD,sizeof(COMPLEX)*count);for(k=0;k<power;k++){for(j=0;j<1<<k;j++){bfsize=1<<(power-k);for(i=0;i<bfsize/2;i++){p=j*bfsize;X2[i+p]=Add(X1[i+p],X1[i+p+bfsize/2]);X2[i+p+bfsize/2]=Mul(Sub(X1[i+p],X1[i+p+bfsize/2]),W[i*(1<<k)]);}}X=X1;X1=X2;X2=X;}for(j=0;j<count;j++){p=0;for(i=0;i<power;i++){if (j&(1<<i)) p+=1<<(power-i-1);}FD[j]=X1[p];}free(W);free(X1);free(X2);}voidDCT_Pre(double *f, double *F, int power){inti,count;COMPLEX *X;double s;count=1<<power;X=(COMPLEX *)malloc(sizeof(COMPLEX)*count*2);memset(X,0,sizeof(COMPLEX)*count*2);for(i=0;i<count;i++){X[i].re=f[i];}FFT(X,X,power+1);s=1/sqrt(count);F[0]=X[0].re*s;s*=sqrt(2);for(i=1;i<count;i++){F[i]=(X[i].re*cos(i*pi/(count*2))+X[i].im*sin(i*pi/(count*2)))*s;}free(X);}void Dct(){int w=1,h=1,wp=0,hp=0;while(w*2<=nWidth){w*=2;wp++;}while(h*2<=nHeight){h*=2;hp++;}intx,y;BYTE *lpPoints=new BYTE[nWidth*nHeight]; GetPoints(lpPoints);double *f=new double[w*h];double *W=new double[w*h];for(y=0;y<h;y++){for(x=0;x<w;x++){f[x+y*w]=Point(x,y);}}for(y=0;y<h;y++){DCT_Pre(&f[w*y],&W[w*y],wp);}for(y=0;y<h;y++){for(x=0;x<w;x++){f[x*h+y]=W[x+w*y];}}for(x=0;x<w;x++){DCT_Pre(&f[x*h],&W[x*h],hp);}double a;memset(lpPoints,0,nWidth*nHeight);for(y=0;y<h;y++){for(x=0;x<w;x++){a=fabs(W[x*h+y]);if (a>255) a=255;Point(x,nHeight-y-1)=(BYTE)(a);}}delete f;delete W;PutPoints(lpPoints);deletelpPoints;}void main(intargc, char *argv[]) {if(argc==2)FileName=argv[1];elsereturn;OpenFile();Dct();SaveAs();}。
数字图像中的离散傅里叶变换
数字图像中的离散傅里叶变换数字图像中的离散傅里叶变换是一种重要的信号处理技术，它在图像处理领域具有广泛的应用。
通过对数字图像进行傅里叶变换，可以将图像中的空域信息转换为频域信息，从而实现对图像的各种处理和分析。
本文将探讨数字图像中的离散傅里叶变换原理、应用及相关概念。
一、离散傅里叶变换的概念离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是对离散信号进行傅里叶变换的一种方法，它将信号从时域转换到频域。
对于一维离散信号x(n)，其DFT定义如下：X(k) = Σ[n=0,N-1] x(n) • exp(-j2πnk/N)其中，X(k)为频域表示的信号，x(n)为时域表示的信号，N为信号的长度，k为频率变量。
离散傅里叶变换将一个长度为N的时域序列映射到一个长度为N的频域序列，其中X(k)表示第k个频率分量的幅度和相位信息。
二、离散傅里叶变换的计算对于一个N点的离散信号，其DFT需要进行N次复数乘法和加法运算，计算复杂度为O(N^2)。
为了提高计算效率，在实际应用中通常采用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法来计算DFT。
FFT算法是一种高效的计算DFT的方法，其计算复杂度为O(NlogN)，极大地提高了计算速度。
三、离散傅里叶变换的应用1. 图像压缩离散傅里叶变换可以将图像从空间域转换到频域，通过保留主要频域信息，可以实现对图像的有损和无损压缩。
JPEG图像压缩算法就是基于DFT的频域压缩方法。
2. 图像滤波在频域中，可以通过滤波器对图像进行频率域滤波。
常见的频域滤波器包括低通滤波器、高通滤波器和带阻滤波器，可以实现图像的模糊、锐化和去噪处理。
3. 图像增强通过频域操作，可以对图像进行增强处理，如对比度增强、边缘增强等。
离散傅里叶变换可以将图像的频域信息与人眼感知的视觉特性相结合，实现对图像质量的提升。
四、离散傅里叶变换的实现在实际应用中，可以借助现有的图像处理库如OpenCV、MATLAB 等实现离散傅里叶变换。
第四讲离散图像变换
第四讲 离散图像变换
3.2 二维离散余弦变换（DCT）
▪ 离 散 余 弦 变 换 DCT (Discrete Cosine Transform) 是图像数据压缩中常用的一 个变换编码方法。
换要求图像的大小为N＝2n。
最低阶的哈达玛矩阵为:
1 1 H2 1 1
高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：
HN
H H
N N
/2 /2
H N /2
H
N
/
2பைடு நூலகம்
N＝4的哈达玛矩阵为:
1 1 1 1 0
H4
1 1
1 1
1 1
1 3 1 1
1 1 1 1 2
3.3.2 沃尔什变换
哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。 将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的
2 M 1 MN u0
N 1 v0
C
(u)C
(v)F
(u,
v)
c
os
M
u(x
12)
cos
N
v(
y
12)
这 些 函 数 被 成 为 DCT 的 基 本 函 数 （ 图 像 ） 。 一 幅 8×8的图像，是由64个基本图像的线性组合。
▪ % DCT coefficient function
▪ close all
▪ 看MATLAB的DEMO
小波变换在图像处理中的应用
▪ 图像压缩：压缩比很高。 ▪ 图像增强：通过改变小波域中的某些系数
的幅度，提升感兴趣的分量，而忽略不需 要的东西。 ▪ 图像融合：将两幅图像中，取各自幅度最 大的系数进行组合，产生完美结果。
第六章_图像变换
6.1.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 5、共轭对称性
设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共 轭对称性：
F (u, v) F (u,v)
| F (u, v) || F (u,v) |
(6.23)
(6.24)
6.1.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 6、平移性
F (u) | R(u) | exp[ j (u)]
2 2
（6.7）
I (u ) 且 | F (u ) | R (u ) I (u ) ， (u ) arctan[ ] (6.8) R(u )
其中，|F(u)|称为f(x)的傅里叶频谱，反映了f(x)的幅 频特性；Φ(u)称为相位角，反映了f(x)的相频特性。
根据欧拉公式
exp( j 2xu) cos 2ux j sin 2ux
所以，F(u)一般是复数，并可以写成
e
ix
cos x i sin x
有：
（6.5）
F (u ) R(u ) jI (u )
（6.6）
其中，R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部，指数形式为
0 A M/2 M C
N/2 B D
(M/2,N/2)
N
v
(M/2,N)
(M,N/2) (M,N)
u
6.1.4 图像的傅里叶频谱特性分析 1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性
图6.1和图6.2是原点坐标位于(0,0)的图像的傅 里叶变换频谱关于(M/2,N/2)对称的两个例子。
1 N 1 N 1 如果将u=v=0代入式(6.18)： (u, v) f ( x, y) exp[ j 2 ( xu yv) ] F N x 0 y 0 N
图像处理中的离散数学应用
离散数学是数学中一门研究离散结构和离散现象的学科，它在图像处理中有着广泛的应用。
图像处理是一门涉及到对图像进行获取、处理、分析和理解的学科，离散数学的一些概念和技术正好可以帮助我们在图像处理中解决一些问题。
首先，在图像处理中重要的一个问题是图像的压缩与编码。
由于图像文件本身是非常庞大的，为了方便存储和传输，我们需要对图像进行压缩，将其转换为更小的文件。
在这个过程中，离散数学中的离散变换技术发挥了重要作用。
其中最著名的就是离散余弦变换（DCT）技术。
DCT可以将空域上的像素点转换为频域上的系数，通过保留一部分重要的系数，可以实现对图像的有损压缩。
离散数学中的傅里叶变换也可以用来对图像进行编码和压缩，通过将图像分解为频域上的各个频率成分，可以实现对图像的高效编码。
其次，离散数学中的概率论和统计学在图像处理中也有重要的应用。
比如，在图像的增强和恢复中，我们经常需要估计图像中的噪声或模糊，以便将其从原始图像中去除或减小。
在这个过程中，我们可以使用离散数学中的统计模型和方法来进行噪声和模糊的估计和处理。
通过对图像中的像素值进行统计分析，我们可以推断出噪声的分布模型和图像的恢复模型，从而实现对图像的增强和恢复。
此外，离散数学中的图论和最优化方法也在图像处理中得到了广泛的应用。
比如，在图像的分割和识别中，我们需要根据图像的特征和内容将其划分为不同的区域或对象。
这个过程可以通过利用离散数学中的图论算法来实现，比如最小割算法和区域生长算法等。
这些算法可以根据图像中的像素之间的相似性来进行图像的分割和识别。
最后，离散数学中的线性代数和矩阵论在图像处理中也有重要的应用。
比如，在图像的变换和旋转中，我们可以利用离散数学中的矩阵变换和运算来实现。
通过将图像表示为一个矩阵，我们可以对其进行平移、旋转和缩放等操作，从而实现对图像的变换和处理。
总体而言，离散数学在图像处理中有着非常广泛的应用。
它不仅可以用来对图像进行压缩和编码，还可以用来处理噪声和模糊，进行图像的分割和识别，以及实现图像的变换和旋转等操作。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有序的变换就成为沃尔什（Walsh）变换。如N
＝4时的矩阵：
1 1 1 1 0
H4
1 1
1 1 1 1
1 1 1 2
1 1
1Leabharlann 13一维Walsh变换核为
n 1
g(x, u)
1
N 1
bi ( x)bn1i (u )
(1) i0
N i0
二维沃尔什正变换和反变换为
N u0 v0
i0
沃尔什变换在图像处理中的应用 ❖ 例1：一个二维数字图像信号矩阵为
❖ 该图像的的二维DWT：W=1/N2×GFG
❖ 例2：一幅均匀分布的数字图像
❖ 该图像的的二维DWT：W=1/N2×GFG
❖ 得到W后，可以通过公式F=GWG得到图 像矩阵。
❖ 由此可看出，二维沃尔什变换具有能量集 中的作用，而且，原始数据中数字越是均 匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的 边角上。
12)
这 些 函 数 被 成 为 DCT 的 基 本 函 数 （ 图 像 ） 。 一 幅 8×8的图像，是由64个基本图像的线性组合。
❖ % DCT coefficient function ❖ close all ❖ clear all
❖
❖ M=8;N=8; ❖ figure, ❖ number=1; ❖ for u=1:1:M ❖ for v=1:1:N
像的大小为N＝2n。
最低阶的哈达玛矩阵为:
1 1 H2 1 1
高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：
HN
H H
N N
/2 /2
H N /2
H
N
/
2
N＝4的哈达玛矩阵为:
1 1 1 1 0
H4
1 1 1 1 3 1 1 1 11
1 1 1 1 2
哈达玛变3换.3矩.2阵沃，尔其什列率变的换排列是无规则的。
❖ J(abs(J)<0.5) = 0 ❖ K = idct2(J); ❖ figure, imshow(K,[],'notruesize')
❖ J(abs(J)<1) = 0 ❖ K = idct2(J); ❖ figure, imshow(K,[],'notruesize')
❖ f=imread('C:\MATLAB701\toolbox\imag es\icons\hand.gif');
3.2 二维离散余弦变换（DCT）
❖ 离 散 余 弦 变 换 DCT (Discrete Cosine Transform) 是图像数据压缩中常用的一个 变换编码方法。
❖ 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项 ， 余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是 简化傅里叶变换的重要方法。
3.2.1 一维离散余弦变换（DCT）
将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后
进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产
生N点的DCT。信号f(n)的离散余弦变换的定义
式为：
F(k) C(k) 2 N1 f (n) cos (2n 1)k
N n0
2N
式中
C(k)
1 2
,
1,
k 0 1 k N 1
3.2.2 二维离散余弦变换（DCT2）
❖ 沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排 列最便于快速计算，采用哈达玛排列的沃尔什函 数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称 WHT或简称哈达玛变换。
3.3.1 哈达玛变换
我们定义元素仅由＋1和－1组成的正交 方阵为哈达玛矩阵。所谓正交方阵，即指它 的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说 它们对应元素之和为零。哈达玛变换要求图
n 1
1 N 1 N 1
n1
[bi ( x)bn1i (u )bi ( y)bn1i (v)]
W (u, v)
f (x, y) (1) i0
N x0 y0
i0
n 1
f (x, y)
1
N 1 N 1
n1
[bi ( x)bn1i (u )bi ( y)bn1i (v)]
W (u, v) (1) i0
J(abs(J)<0.08e+003) = 0
❖ 看MATLAB中的demo
3.3 二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT）
❖ 余弦型变换的基函数是余弦型函数。
❖ 沃尔什变换是由＋1或者－1的基本函数的级数展 开而成的 ，它也满足完备正交特性 。由于沃尔 什函数是二值正交函数，与数字逻辑中的二个状 态相对应，因此它更适用于计算机技术、数字信 号处理。
❖ imshow(f,'notruesize')
❖ J = dct2(I); ❖ figure, ❖ imshow(log(abs(J)),[]), colormap(jet(64)),
colorbar
6 4 2 0
❖ J(abs(J)<0.03e+003) = 0 ❖ K = idct2(J); ❖ figure, imshow(K,[],'notruesize')
❖
for i=1:1:M
❖
for j=1:1:N
❖
f(i,j)=cos(pi/M.*(i+0.5).*(u-1)).*cos(pi/N.*(j+0.5).*(v-1));
❖
end
❖
end
❖
I=mat2gray(f);
❖
subplot(M,N,number),imshow(I);
❖
number=number+1;
❖ end
❖ end
二维离散余弦变换的应用
❖ DCT的典型应用是进行数据压缩编码，可以 进行图像数据压缩，目前的国际压缩标准 JPEG的格式中就应用了DCT变换。
❖ DCT的MATLAB函数：dct2，idct2。 ❖ B=dct2(A);
❖ %A是M×N的矩阵，B是A的DCT系数，大小为 M×N。
❖ close all ❖ clear all
❖
❖ f = zeros(10,10); ❖ f(2:2,1:10) = 1;f(5:5,1:10) = 1;f(8:8,1:10) = 1; ❖ imshow(f,'notruesize')
❖
❖ J = dct2(f)； ❖ figure, ❖ imshow(log(abs(J)),[],'notruesize'),
❖ 二维信号同样可以推出它的离散余弦变换
F(u,v) C(u)C(v)
2 MN
M 1N 1 x0 y0
f
(x,
y) c os
M
u(x
1 2
)
cos
N
v( y
12 )
DCT逆变换为
f (x, y)
2 M 1 MN u0
N 1 v0
C
(u)C
(v)F
(u,
v)
c
os
M
u(x
12)
cos
N
v(
y