第七章 运输问题

3
11
9
5
3
2 10 5
2 10 1 3
6 8 5
7
4 9 20
3
1 7
6
6
4
表上作业法练习
销 产地 地
B1 5 7 4 4
B2 4 5 8 6
B3 9 2 7 5
B4 8 3 9 4
产量 （吨）
A1 A2 A3
销量 （吨）
8 6 5 19
表上作业法应用举例
销 产地 地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 3
确定初始方案
3.Vogel法（元素差额法）
列 差 额
销地 加工厂 A1 A2 A3 销量
行差额
B1 3
B2 11 5 9
B3 3 2
B4
产量 10 8 5 7 4 9
2 1
3
3
1 7
6
6
4 5
10 3 6
7 0 1 6 1 — 2
*
— 2
*
— 5*
1
2 3
*
初始方案（元素差额法）
销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 3 B1 3 B2 11 5 9 B3 3 2 B4 产量 10 8 5 6 7 4 9
二、产销平衡运输问题的表式模型
销地
产地
B1 x11 c11 x21 c21 …
B2 x12 c12 x22 c22 …
…
Bn … x1n c1n … x2n c2n
产量 a1 a2 … …
A1 A2 … Am 销地
xm1 cm1 xm2 cm2 b1 b2 …
… …x
mn
cmn
m i 1
am
bn
•判别的规则如何？
闭回路法 利用 求ij 位势法
所有的ij 0，得最优方案，否则， 不是最优方案。
1.闭回路法求判别数（原理）
•为了求某一空格（非基变量）的判别数，先要找出它所对 应的闭回路。
•闭回路的顶点，除这个空格外其它的均应有数字格组成。 •每一个空格都存在唯一一条闭回路。
•用闭回路求某一空格（非基变量）的判别数的方法:
9 10
-3
8
2
12
12
-1
11 6 22
10
8
14
14
5
8
14 48
销量
表上作业法应用举例
调整后的运输方案
销地 产地
B1
B2
B3
B4
Hale Waihona Puke Baidu
产 量
A1 A2 A3 8 销量 运费=240
4
12 12
4
3 11
4 11 16
9 10 6 22
8
2 8
2 12
14
6 5
10
12 14 48
表上作业法应用举例
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 5
产量 （吨）
A1 A2 A3
销量 （吨）
4 6 3 13 13
表上作业法应用举例
Step1 最小元素法确定初始方案
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产 量
A1 A2 A3
4
12 10
6 5
4
3 11
6 11 16
9 10
8
2 8 14 8 14
2
8
14
6 22 48
销地 加工厂 A1 A2 A3
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
Step1
确定初始方案
1.西北角法
销地 加工厂 A1 A2 A3 销量
B1
B2 3 1 7
B3 11 9 4 3
B4 10 8 5 6
3 4
产量 7 4 9
3
4 2
2
2
3 10 6
5
3
6
m+n=7
有6个基变量
用Vogel法求下列运输问题的初始方案 销地 产地 甲 乙 丙 销量
A
5 6 3 40
B
1 4 2 20
C
7 6 5 50
产量
10 80 20 110 110
课堂练习2解答
销地 产地 甲 乙 丙 销量 A B C 产量 行差额 * — 4
5
10 10
1 4
2
7
10 80 20 110 110
20 20
•当表中某个空格的检验数为负值时，表明未得到最优解， 需要进一步改进。改进的方法就是闭回路调整法。 •闭回路调整法的具体步骤： (1)选择换入变量 选取负的检验数所对应的非基变量为换入变 量。以它对应的空格为出发点作一条闭回路。 (2)确定调整量θ 在闭回路上所有偶数顶点基变量的最小值。 (3)确定换出变量 在闭回路的各偶数个顶点中，取值最小的 变量就是换出变量。 (4)调整的规则 在闭回路上所有奇数顶点的运输量都加上θ，所 有偶数顶点的运输量都减去θ。闭回路以外的运输量都不变。
B1 3
B2 11 4 9
B3 3 2 10 5
B4
产量 10 8 7 4 9
3
3
1 7 3
1
6
6
4
3
6
5
运费 f = 86， 比西北角法低 49
课堂练习1
用最小元素法求下列运输问题的初始方案
销地 产地 A B C 产量
甲 乙
丙 销量
8 9
1 3
5 4
3 2
7 6
2 6 11
4 4
3 11
课堂练习解答
6 8 5
7
4 9 20
3
1 7 3
6
6
4
销量
判别新方案是否最优
销地 加工厂 A1 A2 A3 产 量
B1
B2
B3
B4
行位势
3
11
0 3
5
3
2
2
1 9
2 10 1 3
6 8 5
7
4 9 20
0 -2 -5
2
7
1
6
6 4 10
9
3
12
5
销量 列位势
3
9
3
10
最优运输方案
销地 加工厂 A1 A2 A3 3 销量 运费=85 B1 B2 B3 B4 产 量
2 1
3
1 7
6
6
4 5
10 3
运费 f = 85， 比最小元素法低1
伏格尔法（元素差额法）的步骤
1、分别计算出各行和各列的最小运价和次小运价 的差额； 2、从行差额或列差额中选出最大者（若出现几个 相同的最大差额的行或列，则可任选其中一行 或一列）已满足的行或列划去，对表中未划去 的元素重新分别计算出各行、各列的最小运价 和次小运价的差额，并填入该表的最右列和最 下行； 3、重复第二步，直到给出初始基可行解为止。
9
4
3
2
3 10
8
1
4 12 5 10
-1
A3 10 销 量 3
3
6
5
闭回路的几种形式：
（a)
(b)
(c)
初始方案（元素差额法）
销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 3 B1 3 B2 11 5 9 B3 3 2 B4 产量 10 8 5 6 7 4 9
2 1
3
1 7
6
6
4 5
10 3
Step3 调整(改进)运输方案 —闭回路调整法
1
6
6
4
3
6
5
实例
销地 加工厂 A1 A2 A3 销 量
用闭回路法求判别数
B1 +1
B2
B3
B4
产 量 7 4 9 20
1
3
1 7
11
9
4
-1
3
3 10
8
3 -1
6
6
4
2 1 +1 10
3 5
6
3
5
实例
销地 加工厂 A1 A2 A3 销 量
用闭回路法求判别数 产 量 7 4 9 20
B1
B2
B3
判断新方案是否最优
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产 量
行位势
A1 A2 A3
4
-2 8
2 8
2 2 12
14
12 12
6
4
3
4 11 16
9 10
0 -4 -5
3
5 11
运费f ( x) cij xij 135
i 1 j 1
Step1
确定初始方案
2.最小元素法
销地 加工厂 A1 A2 A3 销量
B1 3
B2 11 4 9
B3 3 2 10 5
B4
产量 10 8 7 4 9
3
3
1 7 3
1
6
6
4
3
6
5
初始方案如下
销地 加工厂 A1 A2 A3 销量
销地 产地 甲 乙 丙 8 9 5 4 A B C 7 6 产量 4 4 3 11 11
4 2
2
1 3
2
3
销量 3 2
0
6
课堂练习答案
销地 产地 甲 乙 丙 8 9 5 4 A B C 7 6 产量 4 4 3 11 11
4 2
2
1 3
2
3
销量 3 2
0
6
运费 f = 51
退化的基可行解
Step1
首先给闭回路的顶点标号：空格为第1个顶点，依次为第2，第3，…… 判别数=奇数顶点的单位运费之和减去偶数顶点的单位运费之和
实例
用闭回路法求判别数 用最小元素法确定初始方案
销地 加工厂 A1 A2 A3 销量
B1 3
B2 11 4 9
B3 3 2 10 5
B4
产量 10 8 7 4 9
3
3
1 7 3
闭回路调整法（举例）
销地 加工厂 A1 A2 A3 销 量
B1
B2
B3
B4
产 量
3
11
1 3
2
1
+ 9 _
4
3
2
3 _10
+
8 5
7
4 9
1
7
1
6
6 4
-1 10 3
5
10
3
12
6 20
闭回路调整结果（新的运输方案）
销地 加工厂 A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
产 量
3
11
9
5
3
2 10 5
2 10 1 3
销量
12
表上作业法应用举例
初始运输方案
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产 量
A1 A2 A3 8 销量 运费=246
4
12 10
6 5
4
3 11
6 11 16
9 10
8
2 8 14 14
2
8
14
6 22 48
12
表上作业法应用举例
Step2 位势法求判别数并判别最优性
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产 量
行位势
1、 表上作业法的流程图：
确定初始方案
判别 最优
否
是
得到最优方案
结束
调整方案
新方案
2、表上作业法的计算步骤
西北角法 Step1:确定初始方案— 最小元素法 Vogel法 Step2:判别方案是否最优--利用检验数来判别
所有ij 0, 方案为最优。
闭回路法 ij的求法 位势法
第八章 运输问题
一、运输问题的提出 二、 产销平衡运输问题的数学模型 三、产销平衡运输问题的求解方法 四、产销不平衡的运输问题
一、运输问题的提出
例：有一家罐头厂，下设甲、乙、丙三个分厂，向A、B、C三 个地区供应其产品，其数据如下表所示。问如何调运才能使 总运费最少？ 销地 产地 甲 A 5 6 3 40 B 1 4 2 20 C 7 6 5 50 产量 （箱） 10 80 20
B1
B2
B3
B4
产 量 7 4 9 20
1 3
3
1 7
2 1 6
6
11
9
4
3
2
3 10
8
1
4 10
-1
3
6
5
3
5
实例
销地 加工厂 A1 A2 A3 销 量
用闭回路法求判别数
B1
B2
B3
B4
产 量 7 4 9 20
1 3
3
1 7
2 1 6
6
11
9
4
3
2
3 10
8
1
4 12 5 10
-1
3
6
5
3
实例
乙
丙 销量（箱）
110 110
一般运输问题的数据表
产销平衡表
销地
运价表
产量
销地 产地
产地
B1
B2 … Bn
B1
B2 … Bn
A1 A2 … Am 销量 b1 b2 … bn
a1 a2 … am
A1 A2 … Am
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n … … … … cm1 cm2 … cmn
例
用Vogel法求下列运输问题的初始方案
收点 发点
1
1 10
2
2 5
1
4
3 5
15 3
5
发量
行差额
1 2
收量 列差额
10
25
35 35
0 2
2 3*
10
1
5
* —
20
2
3
初始运输方案
收点 发点
1
1 10
2
2 5
1
4
3 5
15 3
5
发量
1 2
收量
10
25
35 35
10
5
20
运费 =115
课堂练习2
Step3:调整（或改进）方案--用闭回路调整法
运输问题实例
某公司经销甲产品。它下设三个加工厂 A1、A2、A3 ，其产量分别为7t， 4t，9t。该公司把这些产品分别运往四个销售点 B1、B2、B3、B4，各销 售点销量为3 t ， 6 t ，5 t ，6 t 。已知从各工厂到各销售点的单位运价为 下表所示。问该公司应如何调运产品，在满足各销售点的需要量的前 提下，使总运费为最少。
40
6
3
50
6
5
2 1
20
50
2* 3
1 2
1
课堂练习2答案
销地 产地 甲 乙 丙 销量 A B C 产量
5
10 10
1 4
2
7
10 80 20 110 110
20 20
40
6
3
50
6
5
20
50
运费 f = 530
Step2 判别运输方案是否最优
•用判别数ij来判别
如何获得 xij的判别数 ij ?
B4
1 3
3
1 7
2
11
9
4
3
2
3 10
8 5
1
6
6 4 10
3
6
3
5
实例
销地 加工厂 A1 A2 A3 销 量
用闭回路法求判别数
B1
B2
B3
B4
产 量 7 4 9 20
1 3
3
1 7
2 1 6
6
11
9
4
3
2
3 10
8 5
1
4 10
3
6
3
5
实例
销地 加工厂 A1 A2 A3 销 量
用闭回路法求判别数
a b
i j 1
n
j
产销平衡运输问题的数学模型
min f cij xij
i 1 j 1 m n
x
n
x
i 1
j 1 m
ij
ai , i 1, 2 ,, m 产地约束
ij
bj ,
j 1, 2 ,, n 销地约束
xij 0
三、产销平衡运输问题的解法—表上作业 法
销地 加工厂 A1 A2
用闭回路法求判别数
B1
B2
B3
B4
产 量 7 4 9 20
1 3
3
1 7
2 1 6
6
11
9
4
3
2
3 10
8
1
4 12 5 10
-1
A3 10 销 量 3
3
6
5
实例
销地 加工厂 A1 A2
用闭回路法求判别数
B1
B2
B3
B4
产 量 7 4 9 20
1 3
3
1 7
2 1 6
6
11
A1 A2 A3
4
1 8
2
2
12 10
6
4
3
6 11 16
9 10
0
-3
8 14 8 14 5
2
-1
11
-1
-5
10 3
12
12
8
14
6 22 48
销量 列位势
10
4
11
表上作业法应用举例
Step3 闭回路调整
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产 量
A1 A2 A3
4
1 8
2
2
12 10
6
4
3
6 11 16