人教版选修4-4抛物线的参数方程

x2 2 py
p 0
0, p 2
y p 2
1、若抛物线的参数方程为：x

2t
2
，
y 2t
则抛物线的准线方程为： ，焦点坐标为：
2、若抛物线的参数方程为： x y

4tBiblioteka Baidu4t
，
2
则抛物线的准线方程为： ，焦点坐标为：
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
5.(见教材P35第5题)经过抛物线y2 2 px( p 0) 的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB,以直 线OA的斜率k为参数, 求线段AB的中点M的轨迹 的参数方程.
小节： 1、抛物线的参数方程的形式 2、抛物线参数的意义
[通一类]
2．已知抛物线 C：xy＝＝22tt2 (t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M 在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点 的距离．
解：由xy＝＝22tt2 ，得 y2＝2x，即抛物线的标准方程为 y2＝2x. 又∵M 点的纵坐标为 2，∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2)． 又∵抛物线的准线方程为 x＝－12. ∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－12)＝2＋12＝52. 即点 M 到抛物线焦点的距离为52.
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上，且 M 为线段 OP 的中点，抛物线的参数方程为xy＝＝22tt2，， 由中点坐标公式得xy00＝＝44tt2，，
变形为 y0＝14x20，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
解：由xy＝＝22tt2 ，得 y2＝2x，即抛物线的标准方程为 y2＝2x. 又∵M 点的纵坐标为 2，∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2)． 又∵抛物线的准线方程为 x＝－12. ∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－12)＝2＋12＝52. 即点 M 到抛物线焦点的距离为52.
所以( x 2 pt12 )(2 pt2 y) (2 pt22 x)( y 2 pt1 ) 化简，得y(t1 t2 ) 2 pt1t2 x 0...............(10) 将(8),(9)代入(10), 得到
y( y ) 2 p x 0 x
抛物线的参数方程
3．四种抛物线的标准方程对比
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2 px
p 0
p ,0 2
x p 2
y2 2 px
p 0
x2 2 py
p 0
p ,0 2 0, p 2
x p 2
y p 2
1.若曲线

x

2
pt
2
(t为参数)上异于原点的不同
y 2 pt
两点M1，M2所对应的参数分别是t1 , t2 ,则弦
M1M2所在直线的斜率是( C )
A、t1 t2 ,
B、t1 t2
C、 1 , t1 t2
D、 1 t1 t2
解：由于M1
,
M
两点对应的参数方程分
2
别是t1和t
2，则可得点M1和M
的坐标分别为
2
M1(2 pt12 , 2 pt1 ), M2 (2 pt22 , 2 pt2 )
kM1M 2

2 pt1 2 pt12
2 pt2 2 pt22

t1
1 t2
[研一题] [例 2] 连结原点 O 和抛物线 2y＝x2 上的动点 M，延长 OM 到 P 点，使|OM|＝|MP|，求 P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线． [精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解 答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、P 的坐标，然 后借助中点坐标公式求解．
[命题立意] 本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化 及抛物线定义的应用．
[解析] 由题意知，抛物线的普通方程为 y2＝2px(p>0)，焦点 F(p2，0)，准线 x＝－p2，设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可 得|EM|＝|MF|，所以△MEF 是正三角形，在 Rt△EFA 中，|EF| ＝2|FA|，即 3＋p2＝2p，得 p＝2.
所以x(t1 t2 ) y 0,
即t1

t2


y x
(x

0)................................(9)

因为 AM ( x 2 pt12 , y 2 pt1 ),

MB (2 pt22 x, 2 pt2 y)且A, M , B三点共线，
SAOB 2 p2 t1t2 (t12 1) (t22 1)
2 p2
t12

t
2 2

2

2
p2
(t1 t2 )2 4 4 p2
当且仅当t1 t2，即当点A, B关于x轴对称时，
AOB的面积最小，最小值为4 p2 .
4.(见教材P35第4题）已知A, B,C是抛物线 y2 2 px( p 0)上的三个点，且BC与x轴垂直， 直线AB, AC分别与抛物线的轴交于D，E两点. 求证：抛物线的顶点平分线段DE .
yA
M
o
x
B
解 : 根据条件,设点M , A, B的坐标分别为( x, y),
(2
pt12 ,
2
pt1 ), (2
pt
2 2
,
2
pt2 )(t1

t2 ,且t1

t2

0)



则 OM

(x,
y ), OA

(2
pt12 , 2 pt1 ), OB

(2
pt
2 2
,
2
pt
2
)

AB

(2
p(
t
2 2
又 y≥0，所以其交点坐标为(1，255)．
答案：(1，2
5
5 )
本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互 化.2012 年天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义 的应用，属低档题．
[考题印证] (2012·天津高考)已知抛物线的参数方程为xy＝＝22pptt，2， (t 为参 数)，其中 p>0，焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂 线，垂足为 E.若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p＝________.
[答案] 2
例2.设M为抛物线y2 2 x上的动点, 给 定点M0 (1, 0),点P为线段M0 M的中点, 求点P的轨迹方程。
例3.如图O是直角坐标原点, A, B是抛物线
y2 2 px( p 0)上异于顶点的两动点,且 OA OB,OM AB并于AB相交于点M， 求点M的轨迹方程。
[悟一法] 对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同， 当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是 常量，这一点尤其重要．
[通一类] 3．(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为xy＝＝sin5cθos θ
(0≤θ≤π)和x＝54t2 (t∈R)，它们的交点坐标为___________． y＝t

t12
),
2
p(t2

t1
))



因为OA OB,所以OA OB 0,即
(2 pt1t2 )2 (2 p)2 t1t2 0, 所以t1t2 1...........(8)



因为OM AB,所以OM OB 0,即
2 px(t22 t12 ) 2 py(t2 t1 ) 0
解析：由xy＝＝sin5cθos θ (0≤θ≤π)得x52＋y2＝1(y≥0)，
由x＝54t2 y＝t
(t∈R)得 x＝54y2.
联立方程可得xx52＝＋54yy22＝1，
则 5y4＋16y2－16＝0，
解得 y2＝45或 y2＝－4(舍去)，则 x＝54y2＝1.
即x2 y2 2 px 0( x 0) 这就是点M的轨迹方程
说明：设出参数能大大简化运算。
探究：在例3中,点A, B在什么位置时, AOB的面积最小？最小值是多少 ?
由例3可得
OA ＝ (2 pt12 )2 (2 pt1 )2 2 p t1 t12 1
OB (2 pt22 )2 (2 pt2 )2 2 p t2 t22 1 所以，AOB的面积为