随机变量分布函数
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P{Xx}是不可能,事件
于 F ( x ) 是 P { X x } 0 ;
当 0x2时 ,P{0Xx}k2x ,k是常 . 数
由 P {0 X 2 } 1 ,得4k1,即 k 1 .
因P 而 {0Xx}x2.
4
4
15
于是
F (x ) P {X x }
P{X0} P {0 X x } x 2 .
不难看出，F (x)的图形是阶梯状的图形，
在 x0处,1,有2跳跃，其跃度分别等于
P X 0 ,P X 1 ,P X 2 。
8
P(X x) F(x)
1
12 13
16
O
0
16
O
1
分布函数图
1 2
O
2
x
概率函数图
9
例3 设汽车在开往甲地途中需经过 4 盏信 号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车 通过.令 X 表示首次停下时已通过的信号灯 盏数, 求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布 函数.
xn1 x xn
pn1 pn 1 x xn
pk P(X xk ) F(xk ) F(xk1)
其中 xk1 xk .
14
例4 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当x0时,
§2.3 随机变量的分布函数
对于连续型的随机变量，由于它的可能 取值不能一个一个地列举出来，因此就不 能像离散型随机变量那样可以用分布律来 描述它。另外，对于连续型的随机变量X 取某一值的概率为零，因此对于连续型的 随机变量，我们主要研究它的值落在某一 区间的概率，
即P{x1 <X≤x2}= P{X≤x2}− P{X≤x1} 为此我们引进了分布函数的概念.
P(a X b) P(X b) P(X a)
F(b) F(a)
（]
]
a
b
2
分布函数的性质
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2, F(x1) F(x2 )
0 F(x) 1 且
lim F (x) 1, lim F (x) 0
x
x
F ( x ) 右连续，即
F(x 0) lim F(t) F(x) tx0
1 x 2
0.6 0.6 0.4 0.6 0.42, 2 x 3
0.6(1 0.4 0.42 0.43), 3 x 4
1
x 4 11
F( x)
1
• o• o• o•
•o
o• • • • •
0 1234
x
12
从上面的例子可看出，若X 的概率分布为
p kP {Xxk} ,k 1 ,2 ,
解 P(X k) pk (1 p), k 0,1,2,3
P(X 4) p4,
k4
10
当 p 0.4
k0 1
2
3
4
pk 0.6 0.40.6 0.420.6 0.430.6 0.44
] •] ] • ] • • • x0 1 2 3 4
0,
x x0
F(x) 0.6,
0 x 1
P(X x) 0.6 0.6 0.4,
当x2时,
4
F (x ) P {X x }1.
故 X 的分布函数为
0,
F
(
x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2, x 2.
其图形为一连续曲线
16
例5 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标
必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目
标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独
k r
利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质
当 | x | 1
xk1
1
k 1
1 x
(k
k 2
1) x k 2
1 (1 x)2
(k
k 3
1)(k
2) x k 3
2 (1 x)3
C x 2 k3 k 1 k 3
1 (1 x)3
18
归纳地
C x r1 kr k 1 k r
1 (1 x)r
令 x 1 p
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需
轰击次数 X 的概率分布.
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次，
第 k 次击中目标)
C r1 k 1
p r 1 (1
p)kr
p
巴斯卡 分布
C r1 k 1
pr
(1
p)kr
k r,r 1,
17
注
C r1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
请 P(a X b) F(b) F(a 0) 填 P(a X b) F(b 0) F(a) 空 P(a X b) F(b 0) F(a 0)
6
离散型随机变量X 的分布函数
例2 X ~ 10
1 1
2 1
,
求F
(
x。)
3 6 2
解 由定义 F xP Xx
当x0时， Xx, 故 F(x)0
可以证明:若定义在实数域上的函数 F (x)满 足上述三条性质，则它必是随机变量的分布 函数.
3
例1
4
5
用分布函数表示概率
P(a X b) F(b) F(a)
P(X a) 1 P(X a) 1 F(a) P(X a) F(a 0) P(X a) F(a) F(a 0)
则X 的分布函数为
F(x) P( X x) P( ( X xk ))
xk x
P( X xk ) pk
xk x
xk x
上式中的和式是对所有满足 x k x
的k进行求和，即
13
0
p1
F(x)
p1
p2
p1
p2
p1 p2
x x1 x1 x x2
x2 x x3
pn1
C r1 k 1
(1
ห้องสมุดไป่ตู้
k r
p)kr
1 (1 (1
p))r
1 pr
C r1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
k r
19
离散型随机变量的分布律的求法： （1）利用古典概率、条件概率、独立性等 计算方法及其运算法则求出事件{X=xk}的概 率pk= P{X=xk}, k=1,2,… , 求法步骤为： 第一步：先确定 X 的全部可能取值 xk, k=1,2,…； 第二步：具体求出事件{X=xk}的概率，即pk。
当0x时1, FxPXxPX01
3
当1x时2， F xP X0P X1 111
362
当x时2 ， F x P X 0 P X 1 P X 2 1
7
故
0, x 0
F
(x)
1/ 1/
3, 2,
0 x 1 1 x 2
1, x 2
注意右连续
下面我们从图形上来看一看。
1
定义 设 X 为随机变量, x 是任意实数 ,
称函数 F(x) P(X x), x
为X 的分布函数.
可以看出:分布函数 F (x) 是普通函数,即x是 自变量,函数的值均为实数,通过它可以用数 学分析的方法研究随机变量.
由定义知 X 落在区间( a ,b ] 里的概率可
用分布函数来计算：
于 F ( x ) 是 P { X x } 0 ;
当 0x2时 ,P{0Xx}k2x ,k是常 . 数
由 P {0 X 2 } 1 ,得4k1,即 k 1 .
因P 而 {0Xx}x2.
4
4
15
于是
F (x ) P {X x }
P{X0} P {0 X x } x 2 .
不难看出，F (x)的图形是阶梯状的图形，
在 x0处,1,有2跳跃，其跃度分别等于
P X 0 ,P X 1 ,P X 2 。
8
P(X x) F(x)
1
12 13
16
O
0
16
O
1
分布函数图
1 2
O
2
x
概率函数图
9
例3 设汽车在开往甲地途中需经过 4 盏信 号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车 通过.令 X 表示首次停下时已通过的信号灯 盏数, 求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布 函数.
xn1 x xn
pn1 pn 1 x xn
pk P(X xk ) F(xk ) F(xk1)
其中 xk1 xk .
14
例4 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当x0时,
§2.3 随机变量的分布函数
对于连续型的随机变量，由于它的可能 取值不能一个一个地列举出来，因此就不 能像离散型随机变量那样可以用分布律来 描述它。另外，对于连续型的随机变量X 取某一值的概率为零，因此对于连续型的 随机变量，我们主要研究它的值落在某一 区间的概率，
即P{x1 <X≤x2}= P{X≤x2}− P{X≤x1} 为此我们引进了分布函数的概念.
P(a X b) P(X b) P(X a)
F(b) F(a)
（]
]
a
b
2
分布函数的性质
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2, F(x1) F(x2 )
0 F(x) 1 且
lim F (x) 1, lim F (x) 0
x
x
F ( x ) 右连续，即
F(x 0) lim F(t) F(x) tx0
1 x 2
0.6 0.6 0.4 0.6 0.42, 2 x 3
0.6(1 0.4 0.42 0.43), 3 x 4
1
x 4 11
F( x)
1
• o• o• o•
•o
o• • • • •
0 1234
x
12
从上面的例子可看出，若X 的概率分布为
p kP {Xxk} ,k 1 ,2 ,
解 P(X k) pk (1 p), k 0,1,2,3
P(X 4) p4,
k4
10
当 p 0.4
k0 1
2
3
4
pk 0.6 0.40.6 0.420.6 0.430.6 0.44
] •] ] • ] • • • x0 1 2 3 4
0,
x x0
F(x) 0.6,
0 x 1
P(X x) 0.6 0.6 0.4,
当x2时,
4
F (x ) P {X x }1.
故 X 的分布函数为
0,
F
(
x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2, x 2.
其图形为一连续曲线
16
例5 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标
必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目
标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独
k r
利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质
当 | x | 1
xk1
1
k 1
1 x
(k
k 2
1) x k 2
1 (1 x)2
(k
k 3
1)(k
2) x k 3
2 (1 x)3
C x 2 k3 k 1 k 3
1 (1 x)3
18
归纳地
C x r1 kr k 1 k r
1 (1 x)r
令 x 1 p
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需
轰击次数 X 的概率分布.
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次，
第 k 次击中目标)
C r1 k 1
p r 1 (1
p)kr
p
巴斯卡 分布
C r1 k 1
pr
(1
p)kr
k r,r 1,
17
注
C r1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
请 P(a X b) F(b) F(a 0) 填 P(a X b) F(b 0) F(a) 空 P(a X b) F(b 0) F(a 0)
6
离散型随机变量X 的分布函数
例2 X ~ 10
1 1
2 1
,
求F
(
x。)
3 6 2
解 由定义 F xP Xx
当x0时， Xx, 故 F(x)0
可以证明:若定义在实数域上的函数 F (x)满 足上述三条性质，则它必是随机变量的分布 函数.
3
例1
4
5
用分布函数表示概率
P(a X b) F(b) F(a)
P(X a) 1 P(X a) 1 F(a) P(X a) F(a 0) P(X a) F(a) F(a 0)
则X 的分布函数为
F(x) P( X x) P( ( X xk ))
xk x
P( X xk ) pk
xk x
xk x
上式中的和式是对所有满足 x k x
的k进行求和，即
13
0
p1
F(x)
p1
p2
p1
p2
p1 p2
x x1 x1 x x2
x2 x x3
pn1
C r1 k 1
(1
ห้องสมุดไป่ตู้
k r
p)kr
1 (1 (1
p))r
1 pr
C r1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
k r
19
离散型随机变量的分布律的求法： （1）利用古典概率、条件概率、独立性等 计算方法及其运算法则求出事件{X=xk}的概 率pk= P{X=xk}, k=1,2,… , 求法步骤为： 第一步：先确定 X 的全部可能取值 xk, k=1,2,…； 第二步：具体求出事件{X=xk}的概率，即pk。
当0x时1, FxPXxPX01
3
当1x时2， F xP X0P X1 111
362
当x时2 ， F x P X 0 P X 1 P X 2 1
7
故
0, x 0
F
(x)
1/ 1/
3, 2,
0 x 1 1 x 2
1, x 2
注意右连续
下面我们从图形上来看一看。
1
定义 设 X 为随机变量, x 是任意实数 ,
称函数 F(x) P(X x), x
为X 的分布函数.
可以看出:分布函数 F (x) 是普通函数,即x是 自变量,函数的值均为实数,通过它可以用数 学分析的方法研究随机变量.
由定义知 X 落在区间( a ,b ] 里的概率可
用分布函数来计算：