向量的共线

• 2.向量的数乘： • 实数λ与向量 a的积是一个 ，记作 ，长度与方向规定如下： • （1） a 。 • （2）λ＞0时，a的方向与 a的方向 ；当λ＜0时，a的方向与 a的方向 ；λ=0时， a 。
平面向量基本定理：
• 如果 a =λ b ,则 a // b; 反之,如果 a // b,且 b≠ 0 则存在唯一一个实数λ ,使得 a =λ .b
• 变训2 CB ＝ e2 是两个不共线向量， • 设 e1、 +me2 ， AB ＝2e1 e1 +3 e2 ，若A、B、C三点共线，则实数m的值为 。
• 例3．如图，MN是△ABC的中位线， 1 • 求证： MN BC 2 • 且 MN ∥ BC
A M N
B
C
•
AM 变训3．已知△ABC中，
证 MN ∥ BC 且 MN
1 BC 3
1 1 AB， AN AC ．求 3 3
当堂达标
a = e1 +2e2 ，b =3e1 -4 e2，且 e1 、 e2 不共线， • 1． 则 a与 b （ ）
• • • • • A．共线 B．不共线 C．可能共线，也可能不共线 D．不能确定 2.（c组）△ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点， 满足 ，则点 PA PB PC AB P与△ABC的关系是?
单位向量
定义：给定一个非零向量 a ,与 a 同方向且长度等于1
Fra Baidu bibliotek
如果 a 的单位向量记作 a , 由数乘向量的定
0
义可知 =| a |· 或 a0 a: a 0
=
a a
小练习
（1）以下说法正确的是 ①单位向量均相等 ②单位向量共线 ③共线的单位向量必相等 ④单位向量的模相等。 （2）把平面上一切单位向量平移到共同的始点，那么这些 向量的终点所构成的图形是（ ） A．一条线段 B．一段圆弧 C．两个孤立的 D．一个圆
• 想一想：条件 b ≠ 0的作用，为什么它不出现在 第一句话当中？
对定理的分析
这样我们给出的这个平行向量的基本定理,
根据它就可以判断两个向量是否共线了,实
际上, 给出的这种判断方法是一种代数的判
断方法, 后面在学习了坐标后我们在判断是
否共线时也是根据这种方法来判断的.
介绍一个特殊向量
的向量,叫做向量 a 的单位向量.
复习回顾
• 1.向量共线的定义：两个向量的基线是同一条直线 或两条平行直线时,向量都称为共线(或平行)向量。 • 注：我们要知道向量的共线和平行是同一个含义, 它与直线的平行、重合不同。想一想为什么？
（1）
由于零向量0 的方向不定，所以可以把零向量认为
成和任一向量平行的向量。
（2）
（3）
判断正误：
b
e2 不共线，欲 • 例2．已知非零向量e1 和 e2 ，且e1 ， 使 e1 k e2 与 ke1 e2 共线，试确定实数k的值．
e2 • 变训2．已知向量 e1 ≠ 0，λ∈R， a = e +λ ， 1 b = 2 e ，若向量 a 与 b 共线，则（ ） 1 e2 = 0 • A．λ＝0 B． C． e1 = e2 D． e1 ∥ e2 或λ＝0
• 1.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 （ ） • 2.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 （ ） • 3.若非零向量 AB, CD 是共线向量，则A、B、C、D四点共线； ( )
• 4.共线向量是在一条直线上的向量。（ ） • 5.若两向量不共线，则它们一定都是非零向量。（
）
• 6.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线 。（ ）
典例解析
• 例1．已知 a 3e, b 2e ，试问向量a 与 b 是否平 行？并求| a |:| b | ．
• 变训1．把下列向量表示为数乘向量的形 式． • （1）a 3e, b 6e （2）a 8e, b 16e 2 1 3 2 a e , b e a e , b e • （3） 3 （ 4 ） 3 4 3