可线性化的回归分析

分析： bx y ae 考虑函数 来拟合数据的变化关系，将其转
化成线性函数，两边取对数：ln y ln a bx 设 u ln y, c ln a ，则上式变为 u c bx， 即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为 x=2，‥变换后的数据如下表：
y e u e 5.056 e 0.138x
，
复习回顾
＊ 线性相关系数r及性质：
r
x y
i 1 i
n
i
nx y
x
i 1
n
2 i
nx
2
y
i 1
n
，其中 1 r 1 。
ny 2
2 i
＊ r 值越大，变量的线性相关程度就越高； r 值越接近于0，线性相关程度就越低。
＊ 当 r 0 时，两变量正相关； 当 r 0 时，两变量负相关； 当 r 0 时，两变量线性不相关。
y ax 1.幂函数：
b
(a 1, b 0)
(a 1, b 0)
作变换 u ln y , v ln x , c ln a , 得线形函数 u c bv 。
bx y ae 2. 指数曲线：
( a 0, b 0 )
(a 0, b 0)
作变换 u ln y , c ln a , 得线形函数 u c bx 。
课时小结：
建立回归模型的基本步骤：
(1)画出散点图，观察它们之间的关系(如是否
存在线性关系等)． (2)由经验确定回归方程的类型(如观察到数据 呈线性关系，则选用线性回归方程y＝a＋bx)． (3)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小 二乘法)． (4)得出结果后分析是否有异常，若存在异常， 则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
对U＝Aebt两边取对数得ln U＝ln A＋bt，令y 解： ＝ln U，a＝ln A，x＝t，则y＝a＋bx，得y与x 的数据如下表：
根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y 与 x 具有较强的线性相关关系，由表中数据求得 x ＝5， y ≈3.045，进而可以求得 b≈－0.313，a＝ y －b x ＝4.61，所 以 y 对 x 的线性回归方程为 y＝4.61－0.313x.
思考交流
3. 倒指数曲线：y ax
b x
(a 0, b 0)
(a 0, b 0)
作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？
4. 对数曲线：y a b ln x
b0
b0
作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？
动手做一做
下表是一组实验数据：
1 试分析 y 与 之间是否具有线性相关关系， x
t y
4 16
2 12
1 5
0.5 0.25 2 1
由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关
系，列表如下：
序号 1 2 3 4 5 ∑ ti 4 2 1 0.5 0.25 7.75 yi 16 12 5 2 1 36 t iy i 64 24 5 1 0.25 94.25 t2 i 16 4 1 0.25 0.062 5 21.312 5 y2 i 256 144 25 4 1 430
b x
交流与探讨：利用变量代换将下列函数模型化为线性函数模型： （） 1 y=axb；（2）y=aebx；（3）y=ae ；（4）y=a+blnx.
自主交流：常见非线性回归方程的回归模型
曲线方程
曲线图形
变换公 变换后的 式 线性函数
y＝axb
c＝ln a v＝ln x u＝ln y
u＝c＋bv
自主交流：
例2：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集 了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程
温度x 21 产卵数y 7 23 11
350 300
25 21
27 24
29 66
32 115
35 325
解:1)作散点图;
产卵数
250
200
150
100
50
0 20 22 24 26 28 温度 30 32 34 36
1．可线性化的回归分析 当两变量y与x不具有线性相关关系时，要借助 于散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数 函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函 数模型，利用变量代换转化为线性函数关系， 从而使问题得以解决．
2．解决非线性回归问题的方法及步骤： (1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y； (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数 (幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟 合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化 为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算相关指数或相关系 数等来判断拟合效果； (5)写出非线性回归方程．
i
8x y
a, b
x
8 x

2
1.345, a
．
53.191 y bx
线性回归方程为
y 53.191 1.345 x
新课讲解
下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易 量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我 国的出口贸易量么？
从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。 而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。
从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能 用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中 在一条指数曲线或二次曲线的附近。
解: 1)用y = c1ec2 x 模型; 令 z = lny 则z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换后数据表并画 出x与z 的散点图
yi 8 x y 154 155 163 166 8 159.25 161 80
所以：r
所以可以认为
，
80
59 .5 116 x 与 y之间具有较强的线性相关
0.963
的 关系．线性回归模型 y=a+bx 中 8
b
x y
i 1 8 i 2 i 1 i
远东二中：李建章
叙利亚战争陪葬品
还算和平的苦难童年
利比亚战争陪葬品
受苦的阿富汗童工
内乱中的叙利亚死难者
如今的叙利亚城镇
【课标要求】
会将非线性回归模型经过变换转化为线性回归
模型，进而进行回归分析．
【核心扫描】
学习本节后还应初步会将简单的非线性回归问
题转化为线性回归问题．(重点、难点)
课后反思：（1）本节课探讨可线性化的回归分析， 重点是会将四种非线性回归模型经过变换转化为线 性回归模型，进而进行回归分析；（2）由于学生 对必修1中的函数模型有些遗忘，所以需要对常见 函数模型进行复习回顾，可以将四种模型的图像画 在黑板上，特别是将非线性回归模型转化为线性函 数模型的方法与技巧需要作探讨交流，以加深学生 的印象；（3）可线性化的回归分析在现实生活中 有重要的实际意义，因此指导学生掌握可线性化的 回归分析方法非常重要；（4）本节课以学生动手 操作为主，教师引导即可，因为时间关系，未做练 习。
4. 对数曲线：y a b ln x
例1在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，
数值如下表： x y 0.25 0.5 16 12 1 5 2 2 4 1
试建立y与x之间的回归方程．
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
x2 i
2
y2 i
1
[错解] 由已知条件制下表： 序号 1 2 3 4 5 ∑ xi 0.25 0.5 1 2 4 7.75 yi 16 12 5 2 1 36 x iy i 4 6 5 4 4 23
本题的样本点恰好不是线性相关的．根据散点图可 k 以发现 y 与 x 近似地呈反比例函数关系， 即 y＝x的关系(如图)， 1 1 令 t＝x，则 y＝kt，即 y 与x 呈线性相关的关系．
[正解] 根据散点图可知 y 与 x 近似地呈反比例函数关系，设 1 k y＝x，令 t＝x ，则 y＝kt，原数据变为：
若有，求 y 与
x 之间的回归方程。
小结
＊ 非线性回归方程： 对某些特殊的非线性关系，可以通过变换，将非 线性回归转化为线性回归，然后用线性回归的方法进 行研究，最后再转换为非线性回归方程。 ＊ 常见非线性回归模型：
b y ax 1.幂函数：
bx y ae 2. 指数曲线：
b x
3. 倒指数曲线：y ax
8
y 155 156 166 8 161
x 154 157 163 8 159.25
x
i 1
8
2 2 2 2 2 y 8( y ) 155 166 8 161 116 i i 1
8 ，
i
∴ t ＝1.55， y ＝7.2.
i＝1
tiyi－5 t y
2 2 t － 5 t i 5
5
b＝
Fra Baidu bibliotek
≈4.134 4.
i＝1
a＝ y －b t ≈0.8.
∴y＝0.8＋4.134 t.
4.134 ∴y 与 x 的回归方程是 y＝0.8＋ x .

求回归方程，应注意首先对样本点是否线 性相关进行检验，因为对于任何一组样本点，都 可以根据最小二乘法求得一个线性回归方程，但 这条线性回归方程是否较好地反映了样本点的分 布呢，显然不一定，特别是对于不呈线性相关的 回归模型．可以通过散点图或求相关系数r首先作 出是否线性相关的检验，然后再选择恰当的回归 模型进行模拟.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 4. 4. 3. 3. 3. 2. 2. 2. 1. 1. y 6 3 0 7 4 0 7 3 3 6 6
由 y＝ln U，得 U＝e ，U＝e
y
4.61－0.313 x
＝e
4.16
· e
－0.313
x
，因
此电压 U 对时间 t 的回归方程为 U＝e4.61· e－0.313 x.
y＝a＋ bln x
【解题流程】
【练习】 电容器充电后，电压达到100
V，然后开 始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化 的规律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，现测得时 间t(s)时的电压U(V)如下表： t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 U/V 100 75 40 30 20 15 10 10 5 5 5 试求：电压U对时间t的回归方程． (提示：对公式两边取自然对数，把问题转化 为线性回归分析问题)
0.062 5 0.25 1 4 16 21.312 5
256 144 25 4 1 430
i＝1
xiyi－5 x y
2 － 5 x x2 i 5
5
∴ x ＝1.55， y ＝7.2. b＝
≈－3.53.
i＝1
a＝ y －b x . 所求的 y 与 x 之间的回归方程是 y＝12.67－3.53x.
对上表数据求线性回归方程得： c 5.056 , b 0.138 , 即： u 5.056 0.138x
u 5.056 0.138x y e e e 由此可得： ，曲线如图：
这样一来，预测2008年的出口贸易量就容易多了。
将下列常见的非线性回归模型转化为线性回归模型。
曲线方 程 曲线图形 变换公 变换后的 式 线性函数
y＝aebx
c＝ln a u＝ln y
u＝c＋bx
自主交流：
曲线方程 曲线图形 变换公式 变换后的 线性函数
c＝ln a 1 v＝ x u＝ln y
u＝c＋bv
自主交流：
曲线方程 曲线图形 变换公 变换后的 式 线性函数 v＝ln x u＝y
u＝a＋bv
复习回顾
n n ( xi x )( yi y ) xi yi nx y i 1 i 1 b n n 2 2 2 ( xi x ) xi n( x ) i 1 i 1 a y bx 1 n 1 n y yi x xi 其中 n i 1 n i 1
练习
1、下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试 根据这些数据探讨y与x之间的关系．
，
母亲身高 cm
154 157 158 159 160 161 162 163
，
女儿身高
cm 155 156 159 162 161 164 165 166
解
：
2 2 2 2 2 x 8( x ) 154 163 8 159.25 59.5 i i 1