专题14 数列中一类元素交并问题

n

专题 14 数列中一类元素交并问题

数列中一类元素交并问题，实际考查思想方法，如最小公倍数、余数分析法，二项式定理应用.

类型一 两个等差数列取交集数列问题

典例 1. 若数列{a } 的通项公式为 a = -

2n + 3

，数列{b } 的通项公式为b = -3n - 5 ．

n

n

2

n

n

4

设集合 A = {x | x = 2a , n ∈ N *} ， B = {y | y = 4b , n ∈ N *

} ．若等差数列{c } 任一项 c ∈ A B , c 是

n

n

n n 1

A B 中的最大数，且-265 < c 10 < -125 ，求{c n }的通项公式．

【答案】c n = 7 - 24n

【解析】对任意 n ∈ N *

， 2a = -2n - 3, 4b = -12n - 5 = -2(6n +1) - 3 ，∴ B ⊂ A ，∴ A B = B

n

n

∵ c 1 是 A B 中的最大数，∴ c 1 = -17 ，设等差数列{c n }的公差为 d ，则

∴ -265 < -17 + 9d < -125 ，即-27 5

< d < -12 ，又4b 是一个以-12 为公差等差数列，

9

n

∴ d = -12k (k ∈ N *

) ，∴ d = -24 ，∴ c = 7 - 24n ．

类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题

典例 2 已知数列{ a }的通项公式为 a = 7n + 2 ，数列{ b }的通项公式为b = n 2

．若将数列{ a }，{ b }

n

n

n

n

n n

⎪ ⎪ n n 2 2 2 2 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{ c n }，则数列{c n }的通项公式为

．

⎧⎛ 7n - 1⎫2

【答案】C n ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎨ ，n 为奇数

2

⎪⎛ 7n - 6 ⎫

，n 为偶数 ⎪ ⎩⎝

⎭

【解析】解：设7n + 2 = m 2 ，考察 m 模 7 的余数问题；

若 m = 7k - 6,7k - 5,7k - 4,7k - 3,7k - 2,7k - 1,7k 时经验证可得： 当 m = 7k - 4,7k - 3 时，存在满足条件的n 存在

故{ c n }中的项目依次为： b 3 , b 4 , b 10 , b 11 , b 17 , b 18 , b 24 , b 25 , b 31

⎧⎛ 7n - 1⎫2

可求得数列{ c n }的通项公式为： C n ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎨ ，n 为奇数

2

⎪⎛ 7n - 6 ⎫

，n 为偶数 ⎪ ⎩⎝

⎭

类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题

典例 3 已知数列{a }和{b }的通项公式分别为 a = 3n -19 ，b = 2n

.将{a }与{b }中的公共项按照从小

n

n

n

n

n n

到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }.

（1） 试写出c 1 ， c 2 ， c 3 ， c 4 的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式； （2）

证明你在（1）所猜想的结论.

【答案】（1） c = 2

2n -1

（2）见解析

【解析】解：（1） c = b = a = 21

， c = b = a

= 23 ， c = b = a

= 25 ， c = b = a = 27 ，

1

1 7

由此归纳： c = 2

2n -1

.

2

3

9

3

5

17

4

7

48

2m +19 2m +1 （2） 由a n = b m ，得 n = = + 6 ， 3 3

(3 -1)m +1

∴ n - 6 =

，由二项式定理得

3

C 0 3m + C 1 3m -1 (-1)1 + C 2 3m -2 (-1)2 + + C m -131 (-1)m -1 + C m (-1)m +1

∴ n - 6 = m

m m m m

， 3

= =

n n n n ⎨

6k - 2, n = 4k - 1 ⎪

∴当 m 为奇数时， n 有整数解， ∴ c n = b 2n -1 = 22n -1 .

1. 设数列{a n }的通项公式为 a n = 2n - 1 ，数列{b n }的通项公式为 b n ＝3n －2．集合 A

＝{x ∣x ＝a n ，n ∈N *}，B ＝{x ∣x ＝b n ，n ∈N *}．将集合 A ∪B 中的元素从小到大依次排列， 构成数列 c 1，c 2，c 3 ， …，则{c n }的通项公式为

.

⎧3n - 1

, n = 2k - 1

⎪ ⎪ 【答案】c n = ⎨ ⎪ 2 3n

, n = 4k - 2 2 3n - 2 ⎪ , n = 4k ⎩

⎪ 【解析】解：因为 2 a 3k -2 = 2(3k - 2) - 1 = 6k - 5 ， a 3k -1 = 2(3k - 1) - 1 = 6k - 3

a 3k

b 2 k = 2 ⋅ 3k - 1 = 6k - 1 ；

b 2k -1 = 3(2k - 1) - 2 = 6k - 5 = a 3k -2

= 3 ⋅ 2k - 2 = 6k - 2 ∉ A

所以 a 3k -2 = b 2k -1 < a 3k -1 < b 2k

< a 3k

k = 1,2,3, ，

即当 n = 4k - 3(k ∈ N *

) 时， c = 6k - 5 ；当 n = 4k - 2 (k ∈ N *

)

c = 6k - 3 ，当 n = 4k - 1(k ∈ N * ) 时， c = 6k - 2 ，

当 n = 4k (k ∈ N *

) 时， c = 6k - 1

⎧6k - 5, n = 4k - 3 ⎪6k - 3, n = 4k - 2

所以{c n }的通项公式是c n = ⎪

⎛

⎪ 6k - 1, n = 4k