第五章++大数定律与中心极限定理

第五章 大数定律与中心极限定理

§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理

三、计算题

1. 设在每次实验中事件A 以概率5.0发生.是否可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A 出现的次数在400与600范围内？

解： 设X 表示1000次试验中A 出现的次数，

则 250)( ,500)( ),5.0 ,1000(~==X D X E B X ，由切比雪夫不等式有

2

250

{400600}{|500|100}10.975100

P X P X <<=-<≥-

= 所以可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A 出现的次数在400与600范围内. 2. 将一颗骰子连续掷四次，其点数之和记为X ，估计概率{1018}P X <<。 解：设i X 为掷一次骰子出现的点数，则其分布律为：1

234561/61/61/61/61/61/6i X P ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

所以 121()(123456)66i E X =

+++++=， 2191

()(149162536)66

i E X =+++++=，

2

22912135

()()()6612

i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭；

依题意 4

1

7

35

35

,

()414,()

42

123

i i X X E X D X ==

⇒

=⨯

==⨯=∑

，所以 {1018}{1014141814}P X P X <<=-<-<-

{|14|4}P X =-<2

35/3

10.2714

≥-

≈. 3. 设(1,2,,50)i X i = 是相互独立的随机变量, 且服从参数03.0=λ的泊松分布,记50

1

i

i Z X

==∑，利用中

心极限定理，求{3}P Z >。

解：{}{

}313110.1112P Z P Z P >=-≤=-≤≈-=Φ.

4．设某部件由10个部分组成，每部分的长度i X 为随机变量，1210,,,X X X 相互独立同分布，()2i E X =

0.5=毫米，若规定总长度为（20±1）毫米是合格产品，求产品合格的概率。 解：设总长度为10

1

i i T X ==

∑，

则 10

1

()()21020i i E T E X ==

=⨯=∑，10

21

()()(0.5)10 2.5i i D T D X ===⨯=∑，

由林德贝格—列维中心极限定理，知 (20,2.5)

T N 近似

，所以合格的概率为： 0

20{201201}{

21}9})()

.5

P T P T P T -<<+=<-<=-ΦΦ

212(0.63)120.735710.4714

=-=-=⨯-=ΦΦ. 5．有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的，规定选择正确得1分，选择错误得0分，假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过35分的概率。

解：设i X 为选择第i 题所得到的分数，由题设，i X 服从分布01,(1,2,,100)3/41/4i

X i P ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，

另设总得分为X ，则12100X X X X =+++ ，且175~(100, ), ()25, ()44

X B E X D X ==， 由德莫弗–拉普拉斯定理

{}{}3513511

P X P X P >=-≤=-≤===-近似Φ，

查正态分布表可得

{}()351 2.1310.98960.0104P X >===-=-=近似

Φ.

6.（1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知系统运行至少需要85个元件正常工作，求系统可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系统假如由n 个相互独立的元件组成，至少80%的元件正常工作，才能使系统正常运行，问n 至少多大才能保证系统可靠度为0.95？

解：（1）设X 为系统中正常运行完好的元件数，

则~(100, 0.9), ()90, ()9X B E X D X ==，由德莫弗—拉普拉斯定理，

5{85}1{85}11()0.952

3P X P X P ≥=-<=-<≈--=Φ. （2）已知 (0.8)0.95P X n ≥=，求满足条件的n ， 其中 ~(,0.9), (

)0.9, (X B n E X n D X n ==，同（1）解法，

{}{}0.810.810.95

P X n P X n P ≥=-<=-<==Φ，

查正态分布表可得：

1.65, 24.5n =⇒=，取25n =即可. 7. 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20 %，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。 （1）写出X 的概率分布；

（2）用德莫弗–拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户不多于30户的概率的近似值. 解：（1）X 服从二项分布，参数：100,0.2n p ==，即~(100,0.2)X B ，其概率分布为

100100()0.20.8

, 0,1,,100k

k

k

P X k C k -=== ；

（2）()20, ()(1)16E X np D X np p ===-=， 根据德莫弗–拉普拉斯定理 {}1420203020201430 1.5 2.54444X X P X P P ----⎧⎫⎧⎫

≤≤=≤≤=-≤≤⎨

⎬⎨

⎬⎩⎭⎩⎭

(2.5)( 1.5)(2.5)[1(1.5)]≈--=--ΦΦΦΦ (2.5)(1.5)10.9940.93310.927=+-=+-=ΦΦ.

8．某运输公司有500辆汽车参加保险，在1年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50 000元，试利用中心极限定理计算，保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率。

解：设X 为500辆参加保险的汽车中出事故的车辆数，则X 服从二项分布(500,0.006)B ，由题设，保险公司1年的收益为 50080050000Y X =⨯-⨯，故保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率为

{200000}{50080050000200000}P Y P X P X ≥=⨯-⨯≥=≤，

从而由德莫弗－拉普拉斯定理