全等三角形的判定-边边边
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AAS
?
一个条件
(1)有一条边对应相等的三角形 (2)有一个角对应相等的三角形
两个条件
(1) 三角形的一个角 ,一条边对应相等 (2)三角形的两条边对应相等 (3)三角形的两个角对应相等
只给出一 个或两个条 件时,都不 能保证所画 的三角形一 定全等.
三个条件
(1)三角形的两条边和一个角对应相等。 ①两边及夹角 SAS ②两边和其中一边的对角 (2) 三角形的两个角和一条边对应相等。 ①两角及夹边 ASA②两角和其中一角的对边 (3) 三角形的三个角对应相等。 (4) 三角形的三条边对应相等。
AB=A’B’
∠B=∠B’
ΔABC ≌
∆A’ B’ C’(ASA)
A
A’
B
C
B’
C’
在△ABC和△ A'B'C'中 ∠A=∠A’ ∠B=∠B’
AC=A’C’
ΔABC ≌
∆A’ B’ C’(AAS)
总结
上题中应用了哪些性质及定理
性质一:等腰三角形的两底角相等 性质二:等腰三角形的中线、角平分线、高线互相重合。 定理三:在两个三角形中,如果有三条边相等,那么这两个三角形全等。 定理四:在两个三角形中,如果有两个角相等及一条边相等,那么这两个三角形 全等。 定理五:在两个三角形中,如果有两个角相等及所夹的边相等,那么这两个三角 形全等。 定理六:在两个三角形中,如果有两条边相等及所夹的角相等,那么这两个三角 形全等。
AAS
?
一个条件
(1)有一条边对应相等的三角形 (2)有一个角对应相等的三角形
两个条件
(1) 三角形的一个角 ,一条边对应相等 (2)三角形的两条边对应相等 (3)三角形的两个角对应相等
只给出一 个或两个条 件时,都不 能保证所画 的三角形一 定全等.
三个条件
(1)三角形的两条边和一个角对应相等。 ①两边及夹角 SAS ②两边和其中一边的对角 (2) 三角形的两个角和一条边对应相等。 ①两角及夹边 ASA②两角和其中一角的对边 (3) 三角形的三个角对应相等。 (4) 三角形的三条边对应相等。
解: △ABC≌△DCB 理由如下: 在△ABC和△DCB中 AB = CD
AC = BD
∴
A
D
B
C
BC = CB ( 公共边 ) △ABC ≌ △DCB (
SSS
)
练习:如图,已知点B、E、C、F在同一条直线上, AB=DE,AC=DF,BE=CF。试说明∠A=∠D的 理由。
证明: ∵BE=CF(已知)
D
C
(1)
在△ABE和△ ACE中 AB=AC( 已知) ∠1=∠2(角平分线) AE=AE(公共边)
在△ABD和△ ACD中
BE=CE
∴ △ABE≌ACE( SAS ) (2) 在△ABD和△ ACD中 AB=AC( 已知)
BD=CD(等腰三角形三线合一) ∠1=∠2(角平分线)
ED=ED(公共边)
A O C 证明:连接BD
在△ABD和△CDB中,
B
D
AB=CD BC=AD BD=BD
∴ △ABD≌△CDB(S.S.S.)
自主 合作 探究 互动
拓展: 如图
A 12
E
已知:AB=AC,AE是角平分 线。试问图中有对全等三角形?
答:图中有△ABE≌ACE,
△ABD≌ACD。△BDE≌CDE
B
(3) ∵ △ABE≌ACD ∴ BE=CE
∴ BE+EC=CF+EC
A
D
即 BC=EF 在△ABC和△DEF中 AB=DE(已知)
BC=EF(已证)
B
E
C
F
AC=BF(已知) ∴△ABC≌△DEF(SSS) ∴∠A=∠D(全等三角形对应角相等)
例1、如图,已知AB=CD,AD=CB,
新知运用
试说明∠B=∠D的理由
证明:连结AC
在△ABC和△ CDA中
∴ △BDE≌CDE ( SSS )
AD=AD(公共边)
∴ △ABD≌ACD(SAS)
作业:课后习题
A
A’
B
C
B’
C’
在△ABC和△ A'B'C'中
AB=A’B’ ∠A=∠A’ AC=A’C’
ΔABC ≌ ∆A’ B’ C’(SAS)
A
A’
B
C
B’
C’
在△ABC和△ A'B'C'中
∠A=∠A’
定理的引入 A F
E
C
B D
思考
已知:AC=DE AB=DF BC=FE
求证:△ABC≌ △DFE
定理的引入 A
已知:AC=DC AB=DB 求证:△ABC≌ △DBC 证明:连接AD, ∵AC=DC B ∴∠CAD=∠CDA 同理, ∠BAD= ∠BDA ∴ ∠BAC= ∠BDC
C
D
在△ABC和△DBC中 AC=DC ∠BAC= ∠BDC AB=D ∴△ABC≌ △DBC(SAS)
AAS
?
用刻度尺和圆规画一个ΔABC, 使AB=4cm,BC=6cm,CA=5cm。 画 法: 1. 画线段AB=4cm. 2. 分别以A、B为圆心,5cm、 6cm长为半径画两条圆弧, 交于点C. 3. 连结CA、AB.
∴ΔABC就是所求的三角形
问题设计: 1、你所画的三角形能与同桌的重合吗? 2、若它们重合,则它们满足了什么条件?
回顾
SAS 定理:在两个三角形中,如果有两条 边相等及其夹角相等,那么这两个三角形全 等。(边角边定理) AAS定理:在两个三角形中,如果有两个角 相等及其一条边相等,那么这两个三角形全 等。(角角边定理) ASA定理:在两个三角形中,如果有两个角 相等及其夹边相等,那么这两个三角形全等。 (角边角定理)
19.2.4 全等三角形的判 定
SSS(边边边定理)
一个条件
(1)有一条边对应相等的三角形 (2)有一个角对应相等的三角形
两个条件
(1) 三角形的一个角 ,一条边对应相等 (2)三角形的两条边对应相等 (3)三角形的两个角对应相等
只给出一 个或两个条 件时,都不 能保证三角 形一定全等.
三个条件
(1)三角形的两条边和一个角对应相等。 ①两边及夹角 SAS ②两边和其中一边的对角 (2) 三角形的两个角和一条边对应相等。 ①两角及夹边 ASA②两角和其中一角的对边 (3) 三角形的三个角对应相等。 (4) 三角形的三条边对应相等。
A B
D
C
AB=CD(已知) 能说明∠A=∠C吗? CB=AD(已知) D A AC=CA(公共边) ∴ △ ABC≌ △ CDA(SSS) B C ∴ ∠B=∠D(全等三角形对应角相等)
小结:要说明两个角相等,可以利用它们所在的 两个三角形全等的性质来说明。
如图,小明在做数学作业时,遇到这样一个问题: AB=CD,BC=AD,请说明∠A=∠C的道理。小明 动手测量了一下,发现∠A确实与∠C相等,但他 不能说明其中的道理,你能帮助他吗?
如果两个三角形三条边分别对应相等,那么这两个 三角形全等(简写成“边边边” 或“SSS”)
A
A′
B
C
Baidu Nhomakorabea
B′
C′
在△ABC和△ A'B'C'中 AB=A'B' BC=B'C' AC=A‘C’
∴ △ ABC≌ △ A'B'C'(SSS)
尝试练习:
如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等? 试说明理由。
AAS
?
一个条件
(1)有一条边对应相等的三角形 (2)有一个角对应相等的三角形
两个条件
(1) 三角形的一个角 ,一条边对应相等 (2)三角形的两条边对应相等 (3)三角形的两个角对应相等
只给出一 个或两个条 件时,都不 能保证所画 的三角形一 定全等.
三个条件
(1)三角形的两条边和一个角对应相等。 ①两边及夹角 SAS ②两边和其中一边的对角 (2) 三角形的两个角和一条边对应相等。 ①两角及夹边 ASA②两角和其中一角的对边 (3) 三角形的三个角对应相等。 (4) 三角形的三条边对应相等。