第一章习题课(黄亨烨)

性质：
概率
1 P( A) 1 P( A)
2 若A B，则有 P(B A) P(B) P(A) P(B) P( A)
3 概率的加法公式：P( A B) P( A) P(B) P( AB)
# 3。的一般化如下：对任意n个事件A1,...,An ,令
Байду номын сангаас
s1 P( Ai ), s2
例：抛一枚硬币，观察试验结果；
§2 样本空间、随机事件
随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空 间，记为S={e}，称S中的元素e为基本事件或样 本点．
例：一枚硬币抛一次 S={正面，反面} 抛三次呢？
随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件 必然事件：每次试验中总是发生的，记为S. 不可能事件：每次试验中都不发生，记为 .
P( Ai Aj ), s3
P( Ai Aj Ak ),
i
1i jn
1i jkn
sn P( A1A2 An )
n
则有
P( Ai ) S1 S2 S3
i 1
(1)n1Sn
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：
① S中样本点有限(有限性)
A与B的积事件，记为 A B, A B, AB
A B { x | x A 且 x B }：A与B同时发生。
S AB
n
Ai：A1, A2 , An至少有一发生
i 1
n
Ai：A1, A 2 , An同时发生
i 1
事件的关系及运算
A B AB {x|xA 且 xB }
a+b个，试求所取的球恰含a个白球和b个黑球的概 率。
解：基本事件n为“从 个球中抽出a b个球”；
事件A所含k为“恰含a个白球和b个黑球”；
根据公式：P( A) k ，可知：
n
P( A)

Ca Cb C ab

（一）抽球问题（有序不放回）
例2：箱中盛有个白球和个黑球，从其中任意地
§3 频率与概率
2、概率：
定义1：fn ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p；
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 0 P( A) 1
2。 P(S) 1
3。 若A1, A2,? ,Ak ,? 两两互不相容，


则 P( Ai ) P( Ai )
称P(A)为事件A的概率i。1 i1
② 出现每一样本点的概率相等(等可能性)
P A
A所包含的样本点数 S中的样本点数
称这种实验为等可能概型（古典概型）.
概率的不同定义
古典定义（局限在有限个可能结果） 统计定义（大量重复试验） 主观定义（无法重复的试验）
统计定义也具有局限性，因为事实上很多现象无法 进行大量重复试验，特别是一些社会经济现象。
概率论与数理统计
第一章 习题课
第一章 概率论的基本概念
1
随机试验
2
样本空间、随机事件
3
频率与概率
4
等可能概型
5
条件概率
6
独立性
§1 随机试验
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验
它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
+
值得注意的是P(A)与k无关.
Cnk

n! k !(n k)!

Ank k!
（无序不放回抽样）
古典型随机试验中的概率计算Ⅰ
如何计算P(A),实际中许多问题可以大致归并为四 类，它们具有典型的意义：
（一）抽球问题 （二）分房问题 （三）随机取数问题 （四）几何型概率问题
（一）抽球问题（无序不放回）
例1：箱中盛有个白球和 个黑球，从其中任意取
预备知识：排列与组合
排列：
每次取一个，取后不放回（有序不放回抽样）
• 选排列（从n个中选k个排列）： Ank Cnk k !
• 全排列（从n个中选n个排列）： Ann n! 每次取一个，取后放回（有序放回抽样）
• n个中取k个排列： nk
组合：n个不同的元素选k个，不考虑其顺序
P( A) 0能否 A ； P( A) 1能否 A S；
事件的关系及运算
事件的关系（包含、相等）
1 A B：事件A发生一定导致B发生
2
A＝B

A B B A
S
B A
事件的关系及运算
事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
S AB
A B { x | x A 或 x B }：A与B至少有一发生。
S AB

A的逆事件记为A,

A A
A
A
S
,
若
A A
B
B
S
,称A,
B互逆、互斥
S
AA
“和”、“交”关系式
n
n
Ai Ai A1 A2
i 1
i 1
An；
已知 p( A) 0.3, p(B) 0.4 , p( AB) 0.5 ,求 p(B | A B).
接连取出k+1(k 1 ) 个球，如每球被取出后不 还原，试求最后取出的球是白球的概率。
解：与上题比较，该题由无序变为有序，注意如下
关系即可：A（nk 有序） C（nk 无序） k ! ，因此有
P(
A)

C1 Ck
(Ck
1
(k
1

k
!） =
1)!
§3 频率与概率

1、频率：fn
(
A)

nA n
反映了事件A发生的频繁程度.
性质：
1。 0 fn ( A) 1
2。 fn (S) 1
k
k
3。 若A1, A2, ,Ak ,两两互不相容，则 fn ( Ai ) fn (Ai )
i 1
i 1
且 fn ( A) 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．
主观概率的定义是：概率是一个决策者根据个人对 某个事件是否发生以及本人掌握的信息对该事件发 生可能性的判断，是工商活动中决策者常用的一种 判断方法。
计算古典型概率的三种方法
I. 直接用P(A)=k/n，这时必须算好基本事件的个 数n及A所含基本事件个数k，为此常常用到排 列与组合。
II. 利用一些重要的公式或定理（乘法公式、全概 率公式，贝叶斯公式、连续性定理等）。