第一章静电场资料

E •dl
q
ra
4 0
er
ra
• er dr r2
q
4 0 ra
（2）连续分布的电荷电位计算公式
指导思想：微分→点电荷公式→积分
体电荷分布 面电荷分布 线电荷分布
dq dV
V 4π0r V 4π0r
dq dS
S 4π0r S 4π0r
dq dl
l 4π0r l 4π0r
源自文库
2、分类
静态场
事变场
场量不随时间变化
场量随时间变化
1-1电场强度—电位
一、库仑定律 （1）内容：在无限大真空中，当两个静止的小带电体
之间的距离远远大于它们本身的几何尺寸时，改两 电体之间存在作用力。
q1
R12
F 12
q2 F 21
（2）表达式：
F12
q1q2
4π 0
e21 R2
（3）使用条件：真空、点电荷
第一章 静电场
本章的重点 1、 阐述静电荷产生的电场的分布情况 2、静电荷与电场强度之间的关系 3、在已知电荷分布或电位的情况下求解电场强度的各种计算方法 4、边值问题
本章难点 极化现象及镜像法（计算静电场分布问题的方法）
第一章 静电场
基本概念
1、静电场
由相对观察者静止且不随时间改变的电荷所形成的电场。
指导思想：微分→点电荷公式→积分
q +++++++++++++r
dE p
图3 体电荷的电场
体
电荷元产生的电场
dE
dq
4π 0 R 2
eR
E d E
dq
4π 0 R 2
eR
面
线
dq dq dq
dV
dl
dS
体电荷分布 面电荷分布 线电荷分布
dq dV
1 dV
E
4π 0
V
R2
F21 F12
思考 点电荷之间的作用 力靠什么来传递？
二、 电场强度 ( Electric Intensity )
1、定义：电场强度 E 等于位于该点处的单位正电荷所受的 电场力F
方向：正电荷受力方向。
表达式：E
(
x,
y,
z
)
lim qt 0
F
(
x, y, qt
z
)
V/m
（1）单个点电荷产生的电场强度
2、表达式 l E • dl 0
3、证明思路 1）借助电场强度与电场力之间的关系，等式两
边同乘于电荷量，将定理内容转换为电场力沿闭
合曲线做功的问题。
2）闭合曲线回路有特殊曲线推广到一般曲线。
3）场源由单个点电荷推广到任意连续分布的自由 电荷。 3、证明过程 1）单个点电荷
（1）一条沿着电场线并且往返的闭合路径。 电场力所做正功等于其所做的负功，因此其直线 往返运动时电场力闭合回路线积分为零。
eR
dq dS
E 1
4π 0
dS S R2 eR
dq dl
E 1
4π 0
l
dl R2 eR
例1 真空中有一长为L的均匀带电直导线，电荷线密度 为 ,试求P 点的电场。
解: 轴对称场，圆柱坐标系。 z
三、静电场的环路定理
1、内容 静电场中，电场强度E沿任何一条闭合曲线的
环路积分恒等于零。
5、结论
（1）静电场中的电位是个标量，反映场内各点电位能 的多少。
（2）静电场中的电场强度等于电位的负梯度，符号 表示电场力做正功时电位减少
（3）矢量恒等式：任意一个标量函数的梯度的旋度 恒等于零
0 E 0
即静电场中电场强度矢量E的旋度到处为零，静电场是无旋场。
例1-2：求电荷面密度为σ，半径为a的均匀带电圆盘轴线上 的电位和电场强度。（p.9例1-4）
l E d l S E d S 0
四、电位
1、定义 电场力从空间某一点将单位正电荷移至电位
参考点（通常为无穷远处）过程中所做的功。
2、物理本质 （1）单位正电荷在该点所具有的电位能，称为 该点的电位。 （2）电位是个标量，通常用Φ表示。
3、电位与电场强度之间关系
（1）推导过程
w a a
（2）以点电荷位置为圆心的一个圆形。
电场力的方向为电场线的方向，即
圆的矢量半径方向，与圆周切线时刻垂 直，因此在圆周上移动时电场力不做功。
（3）沿一任意形状闭合曲线
B
B
w Edl
q
B er d l
A
4 0 A r 2
rB r1 dl
E
dr r
q rB 1 dr
4 0 r rA 2
q
ra d
E •dl
ra E • dl
ra
d E • dl
d dx dy dz
x
y
z
d E • dl (EX dx Eydy Ezdz)
E
Ex ex
Ey ey
Ez ez )
( x
ex
y
ey
z
ez )
4、电位计算公式
（1）单独点电荷电位计算公式
a
ra
E •dl
0 2 0 r 2 z 2 2 0
a
r2 z2
0
2
0
a2 z2 1/2 z a2 z2 1/ 2 z
2 0
（Z＞0） （Z＜0）
由电荷分布的对称性可知，在轴线上，电场强度只有z向分量，即
E
Ez ez
z
ez
2
0
2 0
z
1e z
a2 z2
z
1e z
a2 z2
rA
A
q
4 0
1 rA
1 rB
4、结论
（1）场强沿着曲线的线积分只与曲线始末位置 有关，与曲线形状无关，且当此曲线闭合时，即 A、B两点重合，则沿任意闭合曲线的积分为零。 （2）依据之前证明过程可知，上述结论同样适 用于任意分布的静止电荷所形成的静电电场（体 分布、面分布、线分布）。 4、公式转换 应用斯托克斯定理： [书P.328式（20）]
解：如图所示，在圆盘上取一半径为r宽为dr的圆环，环上
元电荷dq=σ（2πr）dr，环上各点距离P点皆为
R
在轴线上一点P产生的电位为
r2 z2
dr
r a
o
ar O
P z
图1-5 均匀带电圆盘
d
dq
rdr
4 0 r 2 z 2 2 0 r 2 z 2
圆盘上全部电荷在P点所产生的电位
a
rdr
图1 点电荷的电场
Fq
E p (R) qt 4π0R2 eR
（2)n 个点电荷产生的电场强度 ( 矢量叠加原理 )
图图12.1矢.3量矢叠量加原叠理加原理
E(r)
n
Eqk q
k 1
1
4π 0
N k 1
qk Rk 2
ek
1
4π 0
N k 1
qk (r rk) r rk 2
（3）连续分布电荷产生的电场强度
圆盘中心（z=0）的电位
a 2 0
圆盘中心表面处的电场强度
E
2 0
2 0
ez ez
（Z=0+） （Z=0-）
圆盘面两侧电位φ连续而电场强度E不连续。
（Z＞0） （Z＜0）
例1-3：如图所示，两点电荷+q和-q相距为d。当r＞＞d时，