第5讲 电磁场的能量
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流入体积V 的 电磁功率 （新物理量） 体积V 内增加 的电磁功率 体积V内损耗 的电磁功率
P入
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于
d W dt
P耗
体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
若回路为单回路系统，则
1 2 Wm LI 2
若回路为双回路系统，则
1 1 1 1 2 Wm L11 I1 L12 I1 I 2 L21 I 2 I1 L22 I 2 2 2 2 2 2 1 1 L11 I12 L12 I1 I 2 L22 I 2 2 2 2
第五讲 电磁场的能量
D(r ) (r ) dS 0 S
1 We D(r ) E (r )dV we dV 式中： V 为整个电场空间 V 2 V 1 1 电场能量密度 we D (r ) E ( r ) E 2 2 2
第五讲 电磁场的能量
二、恒定磁场的能量
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
坡印廷定理描述了有限区域内的电磁能量守恒关系。
dW dt
S
V
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
问题：数学表示？
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
区域V内电磁场能量密度： 单位体积中电磁场的能量，为电场能量和 磁场能量之和。
dW dt
1 w we wm E 2 H 2 2
体积V内总能量：
S
V
1 1 W wdV ( E D H B)dV V V 2 2
启示：围绕体积内储能随时间 的变化来描述能量关系
只要电、磁场不为零的空间，均存在电磁能量分布。
第五讲 电磁场的能量
一、静电场的能量
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。
1、分布电荷静电场能量
设系统从零开始充电，最终的电荷分布为 ρ、电位为。电荷增 加系数为
(0 1)
( d )
体积元 dV 中增加电荷 d d V
第五讲 电磁场的能量
磁场能量密度公式推导：
( A B) ( A) B ( B) A
1 Wm J AdV 1 H AdV 2 V 2 V 1 1 (H A)dV ( A) HdV 2 V 2 V 1 1 (H A) dS B HdV 2 S 2 V 1 1 A H 2 dS R 2 R ( H A) dS 0 R R 1 Wm B HdV 2 V
坡印廷矢量描述了时变电磁场中电磁能量传输（流动）的特性
第五讲 电磁场的能量
பைடு நூலகம்
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
3、坡印廷矢量 平均坡应廷矢量 Sav
瞬时坡印廷矢量反映某时刻的电磁能量流动情况。 平均坡印廷矢量反映一个时间周期内的电磁能量传递情况。 平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。
两式相减，得 Ε H H Ε Ε J Ε
D B H t t
1 ( H B) 2 t
1 ( Ε D) 2 t
1 1 ( Ε H ) Ε J ( Ε D H B) t 2 2
——坡印廷定理微分形式
第五讲 电磁场的能量
电磁场与电磁波
第五讲 电磁场的能量
电子工程学院 陈其科
第五讲 电磁场的能量
问题一：为什么说电磁场具有能量？
电场对位于场域中电荷有作用力，磁场对位于场域中电流
有作用力，说明电磁场具有能量。
问题二：电磁场能量来源于何处？
建立电磁场的过程中，外源做功转换为电磁场能量。
问题三：电磁场能量分布于何处？
第五讲 电磁场的能量
四、典型例题
(续前) 解法二:利用We 1
2
V
dV计算
根据高斯定理求得电场强度 r a3 E1 er (r a ) E2 er (r a) 2 3 0 3 0 r 3 a r a a dr dr 1 E1 dr E2 dr r 2 a r a 3 0 3 0 r 2 2 r (a ) (r a) 2 0 3 2 2 a 1 r 2 2 1 ( a )4 π r dr 故 We d V 1 0 2 2 0 3 2 V
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
3、坡印廷矢量
重要概念：坡印廷矢量
( E H ) dS ——流入体积V 的电磁功率
S
坡印廷矢量定义： S (t ) E (t ) H (t )
注：上式与时间有关，故也称瞬时坡印廷矢量。
E
O
S
H
能流密度矢量
物理含义：通过垂直于能量传输方向单 位面积的电磁功率（功率流密度）。
第五讲 电磁场的能量
电场能量密度公式推导：
1 1 We (r ) (r )dV D(r ) (r )dV 2 V 2 V 1 A ( A) A D(r ) (r ) D( r) (r ) dV 2 V 1 1 D(r ) (r ) dS D(r ) E (r )dV S 2 2 V 1 考查第一项： 1 1 2 D ( r ) ( r ) dS D dS r 2 r r r 在上式中，V 为整个空间，即S为包围整个空间的闭合面， r
荷分布的区域，所以被积函数
1 不表示能量密度 2
第五讲 电磁场的能量
一、静电场的能量
4、电场能量密度
• 电场能量密度： we
1 D(r ) E (r ) 2
推证
1 • 电场总能量： We D EdV 2 V
• 对于线性、各向同性介质，有：
积分区域为电场 所在的整个空间
1 1 1 2 we D E E E E 2 2 2 1 1 1 We D EdV E EdV E 2dV 2 V 2 V 2 V
(r ) (r )
第五讲 电磁场的能量
一、静电场的能量
2、多点电荷静电场能量
对N个点电荷组成的系统，电荷体密度为 r
q r r
i i i
We
式中 ri 为其他电荷在i电荷位置处产生电位，不含i电荷在自身 处产生电位
1 1 r r dV qi V r r ri dV V 2 2 i 1 qi ri 利用函数的选择性 2 i
式中 ri 为所有带电导体(含i导体)在i导体处产生电位
第五讲 电磁场的能量
一、静电场的能量
关于静电场能量表达式的说明
讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场 积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域 积分为零，所以积分也可以为整个空间 能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电
得：磁能密度为
wm
1 1 1 2 B H H 2 B Wm we dV V 2 2 2
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
1、电磁能量
电磁能量密度：单位体积中电磁场的能量。为电场能量和磁场
能量之和。
1 1 2 E ( r ) w D ( r ) E ( r ) • 电场能量密度： e 2 2 1 1 1 2 • 磁场能量密度： wm B(r ) H (r ) H (r ) B (r ) 2 2 2 2 1 • 电磁场能量密度： w we wm E 2 H 2 2 1 1 • 体积V内总能量： W wdV ( E D H B)dV V V 2 2
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
坡印廷定理微分形式：
1 1 ( Ε D H B) ( Ε H ) Ε J t 2 2
推证
坡印廷定理积分形式：
d 1 1 ( E H ) dS ( E D H B)dV E JdV S V dt V 2 2
二、恒定磁场的能量
3、磁场能量密度
• 磁场能量密度： wm 1 B H 2
• 磁场能量：
推证
1 Wm B HdV 2 V
积分区域为电场 所在的整个空间
•
对于线性、各向同性媒质，则有
1 1 1 wm B H H H H 2 2 2 2
1 1 1 Wm B HdV H HdV H 2dV 2 V 2 V 2 V
1 T 1 T Sav S (t )dt E (t ) H (t )dt T 0 T 0
注：Sav 与时间t无关。
第五讲 电磁场的能量
四、典型例题
【例1】 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试
求总静电场能量（球内外介质均为真空）。
1 解法一:利用 We D EdV 计算 2 V 根据高斯定理求得电场强度 r a3 E1 er (r a ) E2 er (r a) 2 3 0 3 0 r 故 1 1 1 2 2 We D EdV 0 E1 dV 0 E2 dV V V V 2 2 1 2 2 2 2 2 6 a r a 1 4π 2 5 2 2 0 ( 4π r dr 4π r dr ) a 2 2 4 0 a 2 15 0 9 0 9 0 r
坡印廷定理推导：
D H J t Ε B t
( A B) B A A B
D Ε H Ε J Ε t H Ε H B t
1
J A不代表能量密度
第五讲 电磁场的能量
二、恒定磁场的能量
2、多电流回路系统的磁场能量 N个回路系统，i回路自感为 Lii ，i回路与j回路间互感为 L ，i回路 ij 电流为 I ，则磁回路系统的磁场能量为: i 1 N N Wm Lij I i I j 2 i 1 i 1 关于电流回路系统磁场能量的讨论
在某一 时刻：电荷分布为 、电位分布为 。 当α 增加为
外电源对dV做功为:( ) d d V 外电源所做的总功
1
外电源所做的功转换为电场能量We ，即
1 WS d d V d V V 0 2 V 1 We WS d V 2 V
恒定磁场能量来源于建立电流过程中外源提供的能量。 恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给能量，全 部转化成磁场能量。
1、体电流的磁场能量
若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：
Wm
1 J AdV 2 V
式中： A 为体电流 J 在dV处产生的磁位。 V为整个空间。 上式只适用于恒定磁场 被积函数
1 多点电荷静电场能量： We qi i 2 i
点电荷相互作用能
第五讲 电磁场的能量
一、静电场的能量
3、多带电导体系统静电场能量
导体带电时，电荷均分布于导体表面——面电荷。 N个带电导体组成的系统的总电场能量为：
i导体电荷面密度
1 1 We S dS Si i dS 2 S 2 i Si i导体电荷电位 1 i Si dS Si 2 i 1 We qi i ——多带电导体系统静电场能量 2 i
P入
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于
d W dt
P耗
体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
若回路为单回路系统，则
1 2 Wm LI 2
若回路为双回路系统，则
1 1 1 1 2 Wm L11 I1 L12 I1 I 2 L21 I 2 I1 L22 I 2 2 2 2 2 2 1 1 L11 I12 L12 I1 I 2 L22 I 2 2 2 2
第五讲 电磁场的能量
D(r ) (r ) dS 0 S
1 We D(r ) E (r )dV we dV 式中： V 为整个电场空间 V 2 V 1 1 电场能量密度 we D (r ) E ( r ) E 2 2 2
第五讲 电磁场的能量
二、恒定磁场的能量
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
坡印廷定理描述了有限区域内的电磁能量守恒关系。
dW dt
S
V
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
问题：数学表示？
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
区域V内电磁场能量密度： 单位体积中电磁场的能量，为电场能量和 磁场能量之和。
dW dt
1 w we wm E 2 H 2 2
体积V内总能量：
S
V
1 1 W wdV ( E D H B)dV V V 2 2
启示：围绕体积内储能随时间 的变化来描述能量关系
只要电、磁场不为零的空间，均存在电磁能量分布。
第五讲 电磁场的能量
一、静电场的能量
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。
1、分布电荷静电场能量
设系统从零开始充电，最终的电荷分布为 ρ、电位为。电荷增 加系数为
(0 1)
( d )
体积元 dV 中增加电荷 d d V
第五讲 电磁场的能量
磁场能量密度公式推导：
( A B) ( A) B ( B) A
1 Wm J AdV 1 H AdV 2 V 2 V 1 1 (H A)dV ( A) HdV 2 V 2 V 1 1 (H A) dS B HdV 2 S 2 V 1 1 A H 2 dS R 2 R ( H A) dS 0 R R 1 Wm B HdV 2 V
坡印廷矢量描述了时变电磁场中电磁能量传输（流动）的特性
第五讲 电磁场的能量
பைடு நூலகம்
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
3、坡印廷矢量 平均坡应廷矢量 Sav
瞬时坡印廷矢量反映某时刻的电磁能量流动情况。 平均坡印廷矢量反映一个时间周期内的电磁能量传递情况。 平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。
两式相减，得 Ε H H Ε Ε J Ε
D B H t t
1 ( H B) 2 t
1 ( Ε D) 2 t
1 1 ( Ε H ) Ε J ( Ε D H B) t 2 2
——坡印廷定理微分形式
第五讲 电磁场的能量
电磁场与电磁波
第五讲 电磁场的能量
电子工程学院 陈其科
第五讲 电磁场的能量
问题一：为什么说电磁场具有能量？
电场对位于场域中电荷有作用力，磁场对位于场域中电流
有作用力，说明电磁场具有能量。
问题二：电磁场能量来源于何处？
建立电磁场的过程中，外源做功转换为电磁场能量。
问题三：电磁场能量分布于何处？
第五讲 电磁场的能量
四、典型例题
(续前) 解法二:利用We 1
2
V
dV计算
根据高斯定理求得电场强度 r a3 E1 er (r a ) E2 er (r a) 2 3 0 3 0 r 3 a r a a dr dr 1 E1 dr E2 dr r 2 a r a 3 0 3 0 r 2 2 r (a ) (r a) 2 0 3 2 2 a 1 r 2 2 1 ( a )4 π r dr 故 We d V 1 0 2 2 0 3 2 V
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
3、坡印廷矢量
重要概念：坡印廷矢量
( E H ) dS ——流入体积V 的电磁功率
S
坡印廷矢量定义： S (t ) E (t ) H (t )
注：上式与时间有关，故也称瞬时坡印廷矢量。
E
O
S
H
能流密度矢量
物理含义：通过垂直于能量传输方向单 位面积的电磁功率（功率流密度）。
第五讲 电磁场的能量
电场能量密度公式推导：
1 1 We (r ) (r )dV D(r ) (r )dV 2 V 2 V 1 A ( A) A D(r ) (r ) D( r) (r ) dV 2 V 1 1 D(r ) (r ) dS D(r ) E (r )dV S 2 2 V 1 考查第一项： 1 1 2 D ( r ) ( r ) dS D dS r 2 r r r 在上式中，V 为整个空间，即S为包围整个空间的闭合面， r
荷分布的区域，所以被积函数
1 不表示能量密度 2
第五讲 电磁场的能量
一、静电场的能量
4、电场能量密度
• 电场能量密度： we
1 D(r ) E (r ) 2
推证
1 • 电场总能量： We D EdV 2 V
• 对于线性、各向同性介质，有：
积分区域为电场 所在的整个空间
1 1 1 2 we D E E E E 2 2 2 1 1 1 We D EdV E EdV E 2dV 2 V 2 V 2 V
(r ) (r )
第五讲 电磁场的能量
一、静电场的能量
2、多点电荷静电场能量
对N个点电荷组成的系统，电荷体密度为 r
q r r
i i i
We
式中 ri 为其他电荷在i电荷位置处产生电位，不含i电荷在自身 处产生电位
1 1 r r dV qi V r r ri dV V 2 2 i 1 qi ri 利用函数的选择性 2 i
式中 ri 为所有带电导体(含i导体)在i导体处产生电位
第五讲 电磁场的能量
一、静电场的能量
关于静电场能量表达式的说明
讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场 积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域 积分为零，所以积分也可以为整个空间 能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电
得：磁能密度为
wm
1 1 1 2 B H H 2 B Wm we dV V 2 2 2
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
1、电磁能量
电磁能量密度：单位体积中电磁场的能量。为电场能量和磁场
能量之和。
1 1 2 E ( r ) w D ( r ) E ( r ) • 电场能量密度： e 2 2 1 1 1 2 • 磁场能量密度： wm B(r ) H (r ) H (r ) B (r ) 2 2 2 2 1 • 电磁场能量密度： w we wm E 2 H 2 2 1 1 • 体积V内总能量： W wdV ( E D H B)dV V V 2 2
第五讲 电磁场的能量
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
坡印廷定理微分形式：
1 1 ( Ε D H B) ( Ε H ) Ε J t 2 2
推证
坡印廷定理积分形式：
d 1 1 ( E H ) dS ( E D H B)dV E JdV S V dt V 2 2
二、恒定磁场的能量
3、磁场能量密度
• 磁场能量密度： wm 1 B H 2
• 磁场能量：
推证
1 Wm B HdV 2 V
积分区域为电场 所在的整个空间
•
对于线性、各向同性媒质，则有
1 1 1 wm B H H H H 2 2 2 2
1 1 1 Wm B HdV H HdV H 2dV 2 V 2 V 2 V
1 T 1 T Sav S (t )dt E (t ) H (t )dt T 0 T 0
注：Sav 与时间t无关。
第五讲 电磁场的能量
四、典型例题
【例1】 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试
求总静电场能量（球内外介质均为真空）。
1 解法一:利用 We D EdV 计算 2 V 根据高斯定理求得电场强度 r a3 E1 er (r a ) E2 er (r a) 2 3 0 3 0 r 故 1 1 1 2 2 We D EdV 0 E1 dV 0 E2 dV V V V 2 2 1 2 2 2 2 2 6 a r a 1 4π 2 5 2 2 0 ( 4π r dr 4π r dr ) a 2 2 4 0 a 2 15 0 9 0 9 0 r
坡印廷定理推导：
D H J t Ε B t
( A B) B A A B
D Ε H Ε J Ε t H Ε H B t
1
J A不代表能量密度
第五讲 电磁场的能量
二、恒定磁场的能量
2、多电流回路系统的磁场能量 N个回路系统，i回路自感为 Lii ，i回路与j回路间互感为 L ，i回路 ij 电流为 I ，则磁回路系统的磁场能量为: i 1 N N Wm Lij I i I j 2 i 1 i 1 关于电流回路系统磁场能量的讨论
在某一 时刻：电荷分布为 、电位分布为 。 当α 增加为
外电源对dV做功为:( ) d d V 外电源所做的总功
1
外电源所做的功转换为电场能量We ，即
1 WS d d V d V V 0 2 V 1 We WS d V 2 V
恒定磁场能量来源于建立电流过程中外源提供的能量。 恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给能量，全 部转化成磁场能量。
1、体电流的磁场能量
若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：
Wm
1 J AdV 2 V
式中： A 为体电流 J 在dV处产生的磁位。 V为整个空间。 上式只适用于恒定磁场 被积函数
1 多点电荷静电场能量： We qi i 2 i
点电荷相互作用能
第五讲 电磁场的能量
一、静电场的能量
3、多带电导体系统静电场能量
导体带电时，电荷均分布于导体表面——面电荷。 N个带电导体组成的系统的总电场能量为：
i导体电荷面密度
1 1 We S dS Si i dS 2 S 2 i Si i导体电荷电位 1 i Si dS Si 2 i 1 We qi i ——多带电导体系统静电场能量 2 i