自适应控制(2)

第二章 基于优化控制策略的自校正器
• PID控制器：广泛应用于各种过程控制， 但难以进行在线参数调整 • 自校正调节/控制器：自动调整参数
• 最小方差控制：被控过程结构和参数已 知，系统处于随机扰动和干扰之中，使 系统输出的稳态方差为最小
2.1 最小方差调节器
2.1.1 被控过程随机干扰的描述 研究单输入/单输出、线性、定常离散系 统的调节问题 ，被控过程由下列差分方程 描述：




2）容许控制律 • 控制律u(k) :k时刻及其以前所有输出y(k), y(k1), ...，与所有过去时刻的控制序列u(k-1), u(k2), ...的函数 • 最小方差调节的基本思想 :系统中信号传递存 在d步延迟 ，对输出量中的可控干扰部分提前d 步进行预测，根据预测值来设计最小方差调节 律u(k)，以补偿可控部分的随机扰动在(k+d)时 刻对输出的影响。 • 实现最小方差调节的关键在于预测。
2.1.4最优预测器
输出量的d步预测估计 ： 预测误差 ：
(k d / k ) y
~ ˆ (k d / k ) y (k d ) y (k d ) y
y 2 (k d ) 最小化来 通过使性能指标 J1 E~
求方差最小的d步最优预测 ：
J1 E y 2 ( k d ) E [ y( k d ) ˆ y( k d / k )] 2
1
E [ F (q
)v( k d )] 2 E [ y *( k d / k ) y r ( k d )] 2



上式右边第一项不可控，所以欲使J最小， 必须使
y *( k d / k ) y r ( k d )
(2.11)
由(2.9)式可得：
C(q 1 ) y *( k d / k ) G(q 1 ) y( k ) B(q 1 ) F (q 1 )u( k )


(2.10)
其中， 2 为v(k)的方差。 方程(2.9)称为最优预测器方程，方程(2.6)称为丢番 B(q 1 ) ， C(q 1 ) 和d已知时， (Diophantine)方程。当 A(q 1 ) ， 可由它解出 F (q 1 ) 和 G(q 1 ) 。
2.2 最小方差控制律
(2.12)
整理后可得最小方差控制律为：
B(q 1 ) F (q 1 )u( k ) yr ( k d ) [C(q 1 ) 1] y *( k d / k ) G(q 1 ) y( k )
(2.13a)
从以上推导过程可以看出，最小方差控制 律实际上是令(k+d)时刻的最优输出预测值 为期望输出时所得到的控制。
假设 C(q 1 ) 多项式是Hurwitz多项式，将最优 预测器(2.9)式，代入预测模型(2.8)式中， 可得：
y( k d ) F (q 1 )v( k d ) y *( k d / k )
所以有：
J E [ F (q 1 )v( k d ) y *( k d / k ) y r ( k d )] 2
由于v(k+1)，v(k+2)，... , v(k+d)与测量数据 ( k d / k ) 是测量数据的线性组合， 独立，而 y
(k d / k ) 所以v(k+1)，v(k+2)，... , v(k+d) 与 y 也是独立的，v(k)具有零均值，所以上式右 边最后一项为0值。 另外上式右边第一项是不可预测的，所以欲 使J1最小，只有使上式右边第二项为0，此时 有：
n f nb

i 1
fibiu (k i)]
最小方差控制问题的设计步骤：
1）设被控过程的差分方程为：
A(q 1 ) y( k ) B(q 1 )q d u( k ) C(q 1 )v( k )
其中，v(k ) 是独立高斯 序列，假定B和C的零点都落在单位圆内， 那么，最小方差控制律为：
之所以要求 C(q1 ) 和 B(q1 ) 的零点全在单位圆外， 与闭环系统的稳定性有关。
2.1.2 性能指标和最小方差控制律问题 的提法
1）性能指标 性能指标 ：输出y的方差 对于调节器 ：参考输入为零 ， 即 y r ( k ) 0 ，则y的方差就是y的均方值 ：
E e 2 ( k ) E [ y r ( k ) y( k )]2 E y 2 ( k )
y (k ) a1 y(k 1) ana y(k na ) b0u (k d ) b1u (k d 1) bnb u (k d nb ) v(k ) c1v(k 1) cnc v(k nc )
（2.1）
式中：
y ( k ) ：k时刻输出；
y( k d ) C(q 1 ) A(q )
1
v( k d )
B(q 1 ) A(q )
1
u( k )
(2.5)
干扰滤波器
C ( q 1 ) A( q
1
)
必须被分成两部分：
与以前所测量输出y(k), y(k-1), ...线性无关以 及线性相关两部分
C ( q 1 )
或
B(q 1 ) A(q )
1
y( k )
q q u( k )
C(q 1 ) A(q )
1
v( k )
式中：
A(q 1 ) 1 a1q 1 a na q na 1 1 nb B(q ) b0 b1q bnb q (2.2b) C(q 1 ) 1 c1q 1 cnc q nc
3）问题提法 实际上性能指标应表示为 ：
J1 E y 2 ( k d )


(2.4)
最小方差控制问题 ：对(2.2)式描述的系统 求使(2.4)为极小时的容许控制律，该控制 律被称为最小方差控制律。
2.1.3 d步预测模型
自适应预测 ：用给定的直到当前时刻k的 数据调整预测器中参数，使得过去预测值 接近相应的观测值，然后用这些参数产生 未来的预测值。 由式(2.2)可得下式：
对于调节器问题，可以设
yr (k d ) 0
，此时
B(q 1 ) F (q 1 )u( k ) G(q 1 ) y( k )
最小方差控制律可以简化为：
u( k )
ng
G (q 1 ) B(q 1 ) F (q 1 )
y( k )
(2.14)
或
1 u ( k ) [ gi y ( k i ) b0 i 0
(k d / k ) y *( k d / k ) y
G(q 1 ) C(q )
1
y( k )
B(q 1 ) F (q 1 ) C(q )
1
u( k ) (2.9)
最小预测方差为：
J min E [ F (q 1 )v( k d )]2 (1 f 12 f d21 ) 2
F (q ) 是
C ( q 1 ) A( q
1
的商式， q )
d
G(q 1 ) 是
C ( q 1 ) A ( q 1 )
的余式。 如果 F (q 1 ) v(k+d)为y(k)，y(k-1)，... 独立的 1 F ( q ) 的nf阶次就应当是(d-1)，而 部分，则 G(q 1 ) 的阶次应当等于(na-1)，即有：
n f d 1 n g na 1
将(2.6)式代入(2.5)式，可得将v(k+d)分解后的结果为：
y ( k d ) F (q 1 )v ( k d ) F (q 1 )v ( k d ) (q d )G (q 1 ) A(q )
1 1
v( k d ) B(q 1 ) A(q )
-1
u(k)
+
y(k)
要使最小方差自校正调节器的解存在，必须满足下 列假设： (1)受控系统的时延d及延迟算子多项式A,B和C的阶 次及系数都是已知的；
1 1 复平面单位 q B ( q ) 的所有零点都位于 (2)多项式
圆外；
1 q 复平面单位 (3)多项式 C(q ) 的所有零点都位于
1
1
B(q 1 ) A(q )
1
u( k )
G (q 1 ) A(q )
v( k )
u( k )
另一方面，假定 F (q 1 ) 多项式的所有零点都在单位圆内， 则(2.2)式可以改写成：
A(q 1 ) (q d ) B(q 1 ) v( k ) y (k ) u (k ) 1 1 C (q ) C (q )
u( k ) G (q 1 ) B(q ) F (q )
1 1
N (0, 2 ) 随机白噪声
y( k )
1 F ( q )和 G(q 1 ) 的阶分别为d-1 其中，多项式
和 n a 1 ，多项式的系数可通过求解下列 丢番方程来确定：
圆外； (4) v ( k ) 为白噪声序列， E[ v2 ( k )] 2 。
如果 B(q1 ) 的零点全在 q 1 复平面单位圆外，则称 该系统为最小相位系统，否则为非最小相位系统。 有时称 B(q1 ) 的零点全在 q 1 复平面单位圆外的
系统为逆稳定系统，否则为逆不稳定系统。
)v( k d )]
2

1 B( q1 )F( q1 ) G( q ) 2 E [ y( k ) u( k ) ˆ y( k d / k )] 1 C( q 1 ) C( q )
G( q 1 ) B( q 1 )F( q 1 ) 1 2E F( q )v( k d )[ y( k ) u( k ) ˆ y( k d / k )] C( q 1 ) C( q 1 )
(2.7)
将(2.7)式代入上面的式中可得：
y( k d ) F (q 1 )v( k d ) G(q 1 ) C(q )
1
y( k )
B(q 1 ) F (q 1 ) C(q )
1
u( k )
(2.8) 我们称(2.8)式为预测模型 。
对比(2.8)式和(2.5)式，(2.8)式是将(2.5) 式的干扰项中的可预测部分分解出后所 得到输出预测模型。利用此预测模型， 就可以利用最小方差求得消除可控干扰 后的最优预测器，或利用最小方差，求 出消除可控干扰的控制律。
1
被分解成 一个恒等式 ： A( q )
C(q 1 ) A(q )
1
F (q 1 )
(q d )G(q 1 ) A(q )
1
(2.6)
其中：
1
F (q 1 ) 1 f 1q 1 f n f q
n f ng
G(q 1 ) g 0 g1q 1 g ng q
u( k ) ：k时刻控制输入；
v(k )
：零均值白噪声序列，且有：E v 2 ( k ) 2
d ：响应滞后拍数。
令ห้องสมุดไป่ตู้
q 1
为单位后向平移算子，于是(2.1)式可写成：
A(q 1 ) y( k ) B(q 1 )q d u( k ) C(q 1 )v( k )
(2.2a)



1 1 1 G( q ) B( q )F( q ) 1 2 ˆ E [ F( q )v( k d ) y( k ) u( k ) y( k d / k )] 1 1 C( q ) C( q )
E [ F( q

1
由(2.2)式可见随机扰动对过程的影响等效为n(k)：
n( k ) C(q 1 ) A(q )
1
v( k )
(2.3)
v(k ) 是高斯平稳序列，具有有理谱密度，但它
已不再是白噪声序列。 (2.2)式称为CARMA模型， 即：被控自回归滑动平均模型。
被控过程的结构方框图
v(k) B(q-1) -d q -1 A(q ) C(q ) A(q-1) n(k)