复化梯形求积公式

第二章

1.1

复合梯形求积公式

复合梯形求积公式是复合求积法的一种，在本章中，将从其原理、概念等方面对它做一个详细介绍。在本章的最后，会对复合梯形求积法进行程序设计，使得可以从不同的方面对这种方法有更深的理解。

1.1.1 复合梯形求积公式的理论

当积分区间[a ，b]的长度较大，而节点个数1+n 固定时，直接使用Newton-Cotes 公式的余项将会较大。但是如果增加节点个数，即1+n 增加时，公式的舍入误差又很难得到控制。为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复化方法。

即将积分区间][b a ，

分成若干子区间，然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes 公，最后将每个小区间上的积分的近似值相加，这就叫做复合求

积法。而复合梯形求积公式就是复合求积法的一种。

1.1.2复合求积公式的原理

将区间[]b a ,划分为n 等分，分点,,,1,0,,n k n

a

b h kh a x k =-=

+= 在每个子区间[](),1,,1,0,1-=+n k x x k k 上采用梯形公式，则得

[])

()()(2)()(11

1

1

f R x f x f h dx x f dx x f I n k n k k b

a

n k x x k k

++===+-=-=∑⎰∑⎰

+

记

()[()]()[()()]∑∑-=+-=++=+=1

1

110222n k b k k n k k n x f x f a f h

x f x f h T ， （1.1）

称为复合梯形公式，其余项可由

)().

,(),(12

][''3

b a f a b f R ∈--

=ηη

得

()()()

11

0''3,12+-=∈⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=-=∑k k k n k k n n x x f h T I f R ηη

由于[],,)(2b a C x f ∈ 且

()(),max 1min 1010

'

''

'10-≤≤-=-≤≤≤≤∑n k k n k k n k f n f ηη

所以()b a ,∈∃η使

()()k n k f n f ηη∑-==10

'

''

'1

于是复合梯形公式的余项为

()()η'

'212

f h a b f R n --

= 可以看出误差是2h 阶，且由

()()η'

'212

f h a b f R n --

= 式立即得到，当][b a C x f ,)(2∈时，则

(),lim dx x f T b

a n n ⎰=∞

→

即复合梯形公式是收敛的.事实上只要设()[]b a C x f ,∈，则可得收敛性，只要把n T 改写成为

()()]∑∑=-=-+⎢⎣⎡-=n

k k n k k n x f n a b x f n a b T 1

1021

当∞→n 时，上式右端括号内的两个和式均收敛到积分()dx x f b

a ⎰，所以复合梯形

公式（1.1）

收敛.此外，n T 的求积系数为正，由定理可知复合梯形公式是稳定的。

1.2 复合梯形求积公式的实例

如果在区间(a ，b)上直接应用梯形公式则可得()a b h -=1：

()[()]()[()]b f a f a b b f a f h

T +-=+=

2

21 若在区间(a ，b)中，增加一个结点()2b a c +=，则把区间(()b a ,分成两个

小区间()c a ,与()b c ,，在两个小区间上分别应用梯形公式，然后相加就会得出新

的求积公式T 2：(其中()2212a b h

h -==）

()[()]()[()]b f c f h c f a f h T +++=2

22

22

＝)]()2(2)([22b f b

a f a f a

b +++⨯-

继续增加结点，把区间()b a ,分成4等分，()()()(),,,,,,,,332211b x x x x x x a 在每个小区间上分别应用梯形公式后再相加，就会得出新的求积公式：

()[()]()[()]()[()]()[()]b f x f h x f x f h x f x f h x f a f h T +++++++=

3432421414

42

222

(){()}b f b a f b a f b a f a f a b +⎥⎦

⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫

⎝⎛++⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛++⨯-=

43243242 ()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==4224a b h h 其中 其中()4,...,1,0,4=+=k kh a x k

同理，把区间(a ，b)分成8等分时，可得求积公式T 8：

(){()}b f b a f b a f b a f b a f b a f b a f b a f a f a b T +⎥⎦

⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭

⎫

⎝⎛++⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎢⎣⎡⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⨯-=

87862853844835826872828

上面我们将区间()b a ,分成k

2等分，是为了在计算后面的数值时，充分利用到前面的数据。在一般情况下，若把区间()b a ,(分成n 等分，记结点为

,,kh a x k +=，()()n a b h n k /,,...,2,1,0-==在每一个小区间[x k ，x k －1]上应用梯形公

式，则有：

()()dx

x f dx x f n k x x b

a

k k ∑⎰⎰-=+=101

()[()]112

+-=

+≈∑

k k n k x f x f h

()()()]b n k k x f x f a f +⎢⎣

⎡

+=∑-=1

122h

就可导出复合梯形公式

()()()]b n k k n x f x f a f n a b T +⎢⎣⎡+-=∑-=11

22 利用梯形公式的余项公式(5.2.3)，可得复合梯形公式的截断误差为：

()()()()(),''12''12

33

2ξξf n

a b f h a b T R n --=--= ()b ,a ∈ξ