高等电磁理论第二章

结论：在时谐场中，无源区域赫兹矢量满足齐次亥姆霍兹方程。 理想介质：
⎧(∇ 2 + k 2 )Π e = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪(∇ + k 2 )Π m = 0 ⎩
⎧ 2 ~2 P (∇ + k )Π e = − ⎪ ε ⎨ ~ ⎪(∇ 2 + k 2 )Π = − M m ⎩
在有耗媒质中：
其中： k = ω
得：
∂Π ∂φ = με ∇ ⋅ e ∂t ∂t
φ = −∇ ⋅ Π e
高等电磁理论 电磁场表示为：
∂ ⎧ B = ∇ × A = με (∇ × Π e ) ⎪ ∂t ⎪ ⎨ ∂ 2Π e ⎪ E = ∇∇ ⋅ Π − με e ⎪ ∂t 2 ⎩
在无源区：
∇× H = ε
∂E ∂t 1 1 ∂ ∂ ∇ × B = ⋅ ( με ∇ × ∇ × Π e ) = ε (∇ × ∇ × Π e ) μ μ ∂t ∂t
(1) n
H
(2) n
2 j n − jkr r (kr r ) → j e π kr r
高等电磁理论 则标量Helmholtz方程的通解为：
ψ (r , ϕ , z ) = ∑∑ C (n, k z )Bn (kr r )h(nϕ ) h( k z z )
n kz
或：
⎛ cos nφ ⎞ j (ωt ± k z z ) ψ = ∑∑ C (n, k z )Bn (kr r ) ⎜ ⎟⋅e n kz ⎝ sin nφ ⎠
高等电磁理论 电场：
E = ∇∇ ⋅ Π e − ∇ 2 Π e = ∇ × ∇ × Π e
Am = με ∂Π m ∂t
2. 磁赫兹矢量位定义： 根据对偶原理：
Φ m = −∇ ⋅ Π m
⎧ ∂Π m E = −μ ∇ × ⎪ ⎪ ∂t ⎨ ∂ 2Π m ⎪ H = ∇∇ ⋅ Π − με m ⎪ ∂t 2 ⎩
再代入前式得：
r d dR(r ) 2 2 (r ) − kφ + ( k 2 − k z ) r 2 = 0 R(r ) dr dr
高等电磁理论
⎧ r ⎡ dR(r ) ⎤ 2 r + ( k r r ) 2 − kφ R ( r ) = 0 设 =k ⎪ dr ⎢ dr ⎥ ⎦ ⎪ ⎣ ⎪ d 2 Φ (φ ) 2 用分离变量法得方程组： ⎪ + kφ Φ = 0 ⎨ dφ 2 ⎪ ⎪ d 2 E( z) 2 ⎪ + kz Z = 0 ⎪ dz 2 ⎩
∇ 2φm + k 2φm = − ρ m μ
ε 矢量电位的解为： Am = 4π
J m ⋅ e − jk ( r − r ') ∫∫∫ r − r ' dV
高等电磁理论 可见，由磁荷和磁流产生的电磁场可用矢量电位表示： ∇∇ ⋅ Am Dm = −∇ × Am H m = − jω ( Am + ) 2 k 由电流源和磁流源共同产生的电磁场可表示为：
k r2
2
2 − kz
[
]
可见， 和 Z 满足波动方程（谐方程），它们的解用谐函数表示。 Φ 值得注意的是： Φ (φ ) 是以 2π 为周期的函数。 Φ (φ ) = Φ (2π + φ ) 即： 三角函数 sin(nφ ) 和 cos(nφ ) R(r)方程为n阶贝塞尔方程，其解用 Bn (k r r ) 表示。 其中：Bn (k r r ) = A J n (k r r ) + B N n (k r r )
∂B ∇ × Em = − J m − m ∂t ∇ ⋅ Bm = ρ m ∇ ⋅ Dm = 0 ∂ρ ∇ ⋅ Jm = − m ∂t
引入标量磁位：φm
H m + jω Am = −∇φm
H m = −∇φm − jω Am
洛仑兹条件： 类似可得：
∇ ⋅ Am + jωμεφm = 0
∇ 2 Am + k 2 Am = −ε J m
高等电磁理论
⎧ 1 d 2 Z ( x) 2 ⎪ Z ( x) dx 2 = − k x ⎪ ⎪ 1 d 2Y ( y ) ⎪ 2 = −k y 常微分方程： ⎨ Y ( y ) dy 2 ⎪ ⎪ 1 d 2 Z ( z) = − k z2 ⎪ 2 ⎪ Z ( z ) dz ⎩
亦称为特征方程。
2 其中： kx , k y , kz 称为特征值，且 kx2 + ky + kz2 = k 2
με e
（复数）
P = J jω
M = J m jωμ
高等电磁理论
三.标量波函数
1.在直角坐标系中：
⎧∇ 2 E + k 2 E = 0 根据麦克斯韦方程可导出：⎪ ⎨ 2 ⎪∇ H + k 2 H = 0 ⎩
称为矢量波动方程或 齐次矢量Helmholtz方程。
将直角坐标系中，三个分量满足的齐次标量Helmholtz方程如下：
高等电磁理论 则标量Helmholtz方程的通解为：
ψ ( x, y, z ) = ∑∑ C (k x , k y )h(k x x) h( k y y ) h( k z z )
kx ky
C 其中： (k x , k y ) 为系数，其大小和波函数的形式选择取决于给定的边界条件。
在电磁波中，选择行波状态时，令 A1 = B1 = C1 = 0
这几个方程形式相同，解的形式也相同，解的形式通常有三角函数、 指数函数等。这些解函数称为基本的波函数也称为谐函数。 常用 h ( k x x ) h( k y y ) h(k z z ) 表示，为直角坐标系的标量波函数。 则： ψ k = h( k x x ) h( k y y ) h( k z z )
1 d 2 Z ( z) 2 = −k z 令： Z ( z ) dz 2
将上式代入方程且两边乘 r
2
1 d 2 Φ(φ ) r d dR(r ) 2 (r )+ + (k 2 − k z ) r 2 = 0 得： Φ(φ ) dφ 2 R(r ) dr dr
令：
1 d 2Φ 2 = − kφ Φ (φ ) dφ 2
∇ 2 A + ω 2 με A = − μ J + ∇(∇ ⋅ A + jωμεφ )
洛仑兹条件：
∇ ⋅ A + jωμεφ = 0
设
k 2 = ω 2 με
矢量磁位满足方程： 同理可得： 矢量磁位的解为：
∇2 A + k 2 A = −μ J
∇ 2φ + k 2φ = − ρ ε
μ A= 4π
J ⋅ e − jk ( r − r ') ∫∫∫ r − r ' dV
ψ = A2 B2C2 e
− j ( kx x + k y y + kz z )
ˆ ˆ ˆ k = k x ax + k y a y + k z az 称为传播矢量，其单位矢量为传播方向。
传播矢径： r
ˆ ˆ ˆ = xa x + ya y + za z
= ψ 0 e− jk ⋅r
则： ψ
高等电磁理论 2.圆柱坐标系： 1 ∂
∂ 2Π e ∂E ∂ ε ) = ε (∇∇ ⋅ Π e − με ∂t ∂t ∂t 2
所以： 矢量运算：
∂ 2Π e ∇ × ∇ × Π e − ∇∇ ⋅ Π e + με =0 ∂t 2
∇ × ∇ × Π e = ∇∇ ⋅ Π e − ∇ 2 Π e
可见，电赫兹矢量位 ∂ 2Π e 2 =0 满足波动方程： ∇ Π e − με 2 ∂t
磁赫兹磁矢量位 也满足波动方程： 磁场：
∂ 2Π m ∇ Π m − με =0 2 ∂t
2
H = ∇ ×∇ × Πm
高等电磁理论 在有源均匀区域中：
⎧ ∂Π m E = ∇ × ∇ × Πe − μ ∇ × ⎪ ⎪ ∂t ⎨ ⎪ H = ε ∇ × ∂Π e + ∇ × ∇ × Π m ⎪ ∂t ⎩
可见，由电荷和电流产生的电磁场可用矢量磁位表示：
Be = ∇ × A
Ee = −∇φ − jω A = − j ∇∇ ⋅ A
ωμε
− jω A
高等电磁理论
2. 矢量电位和标量磁位
只有磁流源时： ∇ × H m =
∂Dm ∂t
引入矢量电位：Am
Dm = −∇ × Am
∇ × H m = jω Dm = − jω (∇ × Am ) ∇ × ( H m + jω Am ) = 0
(1) ( 2) 或： Bn (k r r ) = A1 H n (k r r ) + B1 H n (k r r )
高等电磁理论 上式中： J n ( k r r ) 为第一类 Besll 函数，
N n (k r r ) 为第二类 Besll 函数，
( H n1) (k r r ) 为第一类汉克尔函数， ( H n2) (k r r ) 为第二类汉克尔函数，
当自变量很大时，其渐近公式为： k r r → ∞
J n ( kr r ) →
2 mπ π − ) cos( kr r − π kr r 2 4
2 mπ π − ) N n (kr r ) → sin( kr r − π kr r 2 4
−2 j − n jkr r H (kr r ) → j e π kr r
设 ψ = R ( r ) Φ (φ ) Θ(θ )
sin 2 θ d 2 dR sin θ d dΘ 1 d 2Φ (r )+ (sin θ )+ + k 2 r 2 θ Φ dϕ
1 d 2Φ 同理： = −m 2 Φ dφ 2
其解为谐函数
（整数，因 Φ 为 2π 周期的函数）
h(nϕ ), h(k z z ) 称为圆柱坐标系的标量波函数。
其中： Bn ( k r r ),
高等电磁理论 3.球坐标系：
1 ∂ ∂ψ 1 ∂ ∂ψ 1 ∂ 2ψ (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 + k 2ψ = 0 r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 2 ∂θ
ψ k = ( A1 sin k x x + A2 cos k x x) ⋅ ( B1 sin k y y + B2 cos k y y ) ⋅ (C1 sin k z z + C2 cos k z z )
或： ψ k = ( A1e jkx x + A2 e− jkx x ) ⋅ ( B1e jk y y + B2 e− jk y y ) ⋅ (C1e jkz z + C2 e− jk z z )
1 1 ∇∇ ⋅ A) − ∇ × Am ε k2 1 1 H = − jω ( Am + 2 ∇∇ ⋅ Am ) + ∇ × A k μ E = − jω ( A +
二.赫兹矢量
1.电赫兹矢量位定义： A = με 已知：
∂Π e ∂t ∂φ ∇ ⋅ A + με =0 ∂t
∇ ⋅ A = − με
∇ 2ψ + k 2ψ = 0
⇒
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ + 2 + 2 + k 2ψ = 0 ∂x 2 ∂y ∂z
上式中的 ψ 表示 E ，H 的任一个分量。 用分离变量法求上述方程，设 ψ = Z(x)Y( y)Z(z)
1 ∂ 2 Z ( x) 1 ∂ 2Y ( y ) 1 ∂ 2 Z ( z) 则： + + + k2 = 0 Z ( x) ∂x 2 Y ( y ) ∂y 2 Z ( z ) ∂z 2
⇒ Ee + jω A = −∇φ ⇒ Ee = −∇φ − jω A
根据： ∇ × H e = J +
1
μ
∇ × ∇ × A = J + jωε Ee = J + jωε ( −∇φ − jω A)
高等电磁理论
∇ × ∇ × A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ 2 A = μ J − jωμε∇φ + ω 2 με A
高等电磁理论
第二章
一．电磁位函数
电磁场的辅助函数
1.矢量磁位和标量电位（时谐场
只有电流源时:
∇ × He = Jc + ∂B ∇ × Ee = − e ∂t ∇ ⋅ De = ρv ∇ ⋅ Be = 0 ∇ ⋅ Je = − ∂ρv ∂t
∂De ∂t
e jωt ）
Be = ∇ × A
∂De ∂t
∇ × Ee = − jω Be = − jω (∇ × A) ∇ × ( Ee + jω A) = 0
h(mφ ) ， sin( mφ ) 或 cos( mφ ) 或者二者组合
∂ψ 1 ∂ 2ψ ∂ 2ψ (r )+ 2 + 2 + k 2ψ = 0 r ∂r ∂r r ∂ϑ 2 ∂z
设 ψ = R ( r )Φ (φ ) Z ( z )
1 d dR (r ) 1 1 d 2 Z ( z) d 2 Φ (φ ) (r )+ 2 + + k2 = 0 得： rR (r ) dr dr Z ( z ) dz 2 r Φ (φ ) dφ 2