盾构隧道开挖面稳定极限理论研究

第33卷 第1期 岩 土 工 程 学 报 Vol.33 No.1 2011年1月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Jan. 2011 盾构隧道开挖面稳定极限理论研究
吕玺琳1，2，王浩然1，2，黄茂松1，2
（1. 同济大学岩土与地下工程教育部重点实验室，上海 200092；2. 同济大学地下建筑与工程系，上海 200092）
摘要：基于村山氏极限平衡法和极限分析上限法研究了盾构隧道开挖面稳定性，推导了维持开挖面稳定的最小极限支护压力计算公式。

类似于Terzaghi地基承载力的叠加原理，将极限支护压力表示为土体黏聚力、地表超载和土体重度三项贡献的叠加，并对各自影响系数进行了分析。

分析结果表明，极限平衡法得到的黏聚力影响系数随土体内摩擦角增大而增大，随隧道埋深比增加而减小, 地表超载和土体重度影响系数均随土体内摩擦角增大而减小，地表超载影响系数随隧道埋深比增加而减小，土体重度影响系数随隧道埋深比增大而增大。

当内摩擦角较小时，极限分析法得到的三项系数与土体内摩擦角和隧道埋深比的关系表现出与极限平衡相同的规律，但当土体摩擦角达到一定值时，土体黏聚力和土体重度的影响系数则不再随隧道埋深比而变化，地表超载影响消失。

极限分析法得到的极限支护压力及三项系数均低于极限平衡法，但更接近现有文献中的有限元数值模拟结果。

关键词：盾构隧道；开挖面稳定；支护压力；极限平衡；极限上限分析
中图分类号：TU91 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2011)01–0057–06
作者简介：吕玺琳(1981–)，男，重庆大足人，博士，讲师，从事岩土力学与工程方面研究。

E-mail: xilinlu@。

Limit theoretical study on face stability of shield tunnels
LÜ Xi-lin1，2, WANG Hao-ran1，2, HUANG Mao-song1，2
(1.Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2.
Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)
Abstract: Based on the limit equilibrium of Murayama and the upper bound limit analysis method, the face stability of shield tunnels is studied. Formulas for calculating the least support pressure at collapse are deduced. Analogous to Terzaghi’s superposition method commonly used in bearing capacity analysis, the least support pressure is expressed by the summation of the cohesion c, surcharge load q and gravity γmultiplied by the corresponding influence numbers N c, N q, Nγ. In the limit equilibrium, N c increases with the increase of the friction angle and the decrease of the ratio of tunnel depth C to diameter D, N q and Nγdecrease with the increase of the friction angle N q decreases and Nγincreases with the increasing value of C/D. In the upper bound limit analysis, the three stability numbers show the same trends only when the friction angle is less than an appropriate value which depends on C/D; otherwise N c and Nγ keep constant, and N q turns to be zero for any value of C/D. The three stability numbers obtained from the upper bound limit analysis are less than the results of the limit equilibrium and fit to the results obtained by the FE numerical simulation in the literatures.
Key words:shield tunnel; face stability; support pressure; limit equilibrium; upper bound limit analysis
0 引 言
由于城市土地资源的稀缺，各大中城市纷纷通过修建地铁来缓解城市人口日益增长带来的交通压力。

盾构施工技术由于对周围环境影响较小，已成为软土地区城市地铁隧道施工的主要方法。

在软土中进行盾构施工时，开挖面常自身不能维持稳定而需施加支护。

在盾构掘进时维持开挖面稳定是保证施工安全的关键，一旦开挖面失稳，将造成土体过度变形甚至塌陷，导致周围建筑物破坏等一系列严重后果。

盾构隧道开挖面稳定研究的关键在于支护压力的确定，支护压力过小将导致开挖面土体坍塌，支护压力过大则将导致开挖面土体隆起破坏。

当前对于支护压力的研究较少，仅有的一些研究也大多建立在经验公式和简单分析基础上的。

如Broms等[1]最早提出了黏土不排水条件下开挖面稳定系数法。

Comejo等[2]基于简单的极限平衡分析，给出了黏土隧道开挖面稳定性系数公式。

Jancsecz等[3]采用楔形体极限平衡模型对盾───────
基金项目：国家自然科学基金青年科学基金项目（50908171）；国家杰出青年科学基金项目（50825803）；上海市学科带头人计划项目（09XD1403900）
58 岩 土 工 程 学 报 2011年
构隧道开挖面最小极限支护力进行了研究。

极限分析法也被用于开挖面稳定研究，如Davis 等[4]在不排水条件下研究了最小（坍塌破坏）和最大（隆起破坏）极限支护压力的上下限解。

Leca 等[5]通过三维极限分析，在排水条件下研究了最小和最大极限支护力。

为改进计算结果，Soubra 等[6]通过采用多块体破坏模式，得到的极限支护压力的上限解与Chambon 等[7]离心试验结果接近，Mollon 等[8]在其基础上作了进一步改进，得到了更优的结果。

Augrade 等[9]基于极限分析有限元，在不排水条件下研究了平面应变隧道开挖面稳定性。

然而这些分析较复杂，不能得到极限支护压力具体表达式，因而无法应用于工程。

另一方面，数值模拟方法也被用于开挖面稳定分析，如Vermeer 等[10]采用有限元技术模拟了开挖面稳定，并研究了黏聚力、土体重度和地表超载对极限支护压力的影响。

朱伟等[11]通过FLAC 3D 对支护压力与开挖面土体变形的关系进行了模拟。

Maynar 等[12]则采用离散元技术模拟了隧道开挖面稳定。

虽数值模拟对于破坏机制及极限支护压力研究具有重要参考价值，但由于其本身的复杂性，同样难以在工程中推广。

本文正是针对这些不足，基于极限平衡和极限分析上限法对开挖面土体稳定进行了简化分析，推导了防止开挖面坍塌的最小极限支护压力的计算公式。

最后将得到的计算公式转化为类似Terzaghi 地基承载力分析的三项叠加形式，并分别对三系数随隧道埋深比和土体内摩擦角的变化特性进行了探讨。

1 开挖面稳定极限理论分析
1.1 极限平衡法
随隧道横截面形状及施工方式影响，开挖面形状
有多种，如矿山隧道的开挖宽度往往大于其高度，因而可在平面应变状态下分析。

然而盾构隧道开挖面多为圆形，严格地说需在三维情况分析，但由于三维分析的复杂性，为便于工程应用，往往将其转化为二维情形进行分析。

根据村山公式基本原理[13]，假定开挖面前方滑动面形状为一对数螺线tan 0e R R θϕ=，该对数螺旋线在盾构顶端为竖直，底面与水平方向夹角为π/ 4 +φ / 2（φ为土体内摩擦角），如图1所示，其几何形状参数为
0ππcos exp tan sin 4242D
R ϕϕϕϕ=⎡⎤⎛⎞
⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦
， (1)
0ππsin exp tan 4242a l R ϕϕϕ⎡⎤⎛⎞
⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦
， (2)
0cos b a l R l ϕ=−。

(3)
考虑开挖面前方ABC 滑动区域土体的力矩平衡条件，可得
w q l c 0M M M M +−−= 。

(4)
图1 极限平衡法 Fig. 1 Limit equilibrium method
由于直接计算ABC 区域土体重力对O 点的力矩较为复杂，这里进行叠加计算为
w OAC OAB OBC M M M M =−− 。

(5)
OAC 区域微元体的重力对O 点的力矩为
221d cos d 32OAC M R R θγθ⎛⎞⎛⎞
=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ， (6)
式中，00exp[()tan ]R R θθϕ=−，ϕθ=0。

对式（6）积分可得
1
3
01d d OAC OAC M M R f θθθγ==∫ ， (7)
式中，1π/4/2θϕ=+，111[(3tan cos sin )exp f ϕθθ=+
21000[3()tan ]3tan cos sin ]/[3(19tan )]θθϕϕθθϕ−−−+。

三角形OBC 区域土体重力对O 点的力矩为
02OBC M R f γ= ， (8) 式中，20(2)sin 6a b b f l l l θ=+。

三角形OAB 区域土体重力对O 点的力矩为
2
13
OAB a M Dl γ= 。

(9)
上覆土松动土压力产生的力矩为
()v 2Q b a b M l l l σ=+ ， (10) 式中，松动土压力v σ为[14]
00v 0tan tan 1exp exp tan CK CK B c q K B B ϕϕγσϕ′⎡⎤−−⎛⎞⎛⎞
=−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟′′⎝⎠⎝⎠
⎣⎦，(11)
其中，[1tan(π42)]/2B D ϕ′=+−，q 为地表超载，侧压力系数00.95sin K ϕ=−。

支护压力产生的阻力矩为
第1期 吕玺琳，等. 盾构隧道开挖面稳定极限理论研究 59
l t 0sin 2D M D R σϕ⎛
⎞=+⎜⎟⎝
⎠ 。

(12)
最后，还需计算土体抗力矩M c 。

假设滑动面上土
体强度同时得到发挥，根据莫尔–库伦强度准则，滑动面上土体抗剪强度为
f tan c τσϕ=+ 。

(13)
类似土坡稳定计算的条分法将滑动体划分为n 个土条，第i 个土条受力如图2所示。

图2 土条力的平衡 Fig. 2 Force equilibrium of a slice
根据土条i 的受力平衡条件有：
v cos sin 0 sin cos tan i i i i i i i i i i T F N l w T N T cl N αασααϕ+−=⎫
⎪
+=+⎬⎪=+⎭
，，， (14)
式中，i i l R d θ=，π/2i αθ=−。

第i 个土条的重力为
001cos sin sin sin 2i i i i i w l R R l γαθθα⎛⎞
=−−⎜⎟⎝⎠。

(15)
式中，[]00exp ()tan i i R R θθϕ=−。

联立式（13）～（15），即可得
v v sin tan sin cos sin tan tan sin cos i i i i i i i i i l w cl N l w cl T cl σαϕαασαϕϕαα+−⎫=⎪+⎪
⎬+−⎪=+⎪+⎭
，。

(16)
滑动面上阻力产生的微力矩为
cT cN d cos d sin i i i i M T R M N R ϕϕ=⎫
⎬=⎭
，。

(17)
由图2可知cT M 和cN M 的方向相反，因而滑动面
上阻力的总力矩为
1
0c cT cN (cos sin )i i i i M M M T R N R θθϕϕ=−=−∫ 。

(18)
积分式（18）后，得
1
22010c {exp[2()tan ]1}cos cos d 2tan i
R c M cR θθθθϕϕ
ϕθϕ
−−==∫。

(19)
最后，将式（5）、（7）～（10）、（12）、（19）代
入式（4）
，即可得到支护压力的表达式，将其转换为类似于Terzaghi 地基承载力三项叠加的形式，支护压力表示为
t c q cN qN DN γσγ=++ ， (20) 式中，N c ，N q ，N γ分别为黏聚力、地表超载和土体重度对支护压力的影响系数，
()000tan 1exp sin /2tan c CK B N K D R D ϕϕϕ
⎛⎞−−⎜⎟′⎝⎠=−
−+ ()20100{exp[2()tan ]1}cos 2sin /2tan R D R D θθϕϕ
ϕϕ−−+ (21)
()
200tan exp 2sin /2b a b q CK l l l B N D R D ϕϕ⎛
⎞−⎛⎞+⎜⎟
⎜⎟′⎝⎠⎝⎠=
+ ， (22)
()
3
20010202
0tan 11exp 3tan sin /2a CK B R f R f Dl K B N D R D γϕϕϕ′⎡⎤⎛⎞−−+−−⎜⎟⎢⎥′⎝⎠⎣⎦=+ (23)
1.2 极限上限分析
采用极限上限法对盾构隧道开挖面稳定进行研
究。

极限上限分析的关键在于一个合理破坏模式的构造，类似Terzaghi 关于地基承载力计算时采用的破坏模式，假定开挖面的破坏模式由两个刚性块体a ，c 和一个剪切区b 构成。

如图3所示，参照Leca 等[5]的破坏模式，块体a 为一顶角为2ϕ的三角形O OB ′，其底边为线OB ，其顶角的平分线保持竖直。

块体c 为一等腰三角形OAE ，AE 线与水平方向夹角为π/4+φ/2。

剪切区b 为一以对数螺旋线BE 围成的剪切区OBE ，点O 为对数螺线中心点，点B 和点E 分别为对数螺线的起点和终点。

破坏面几何尺寸为
02sin(π/4/2)exp[(π/4/2)tan ]
D
r ϕϕϕ=++ ， (24)
0/(2tan )h r ϕ= ， (25)
0)2()tan (0)B h C l h C h C ϕ−≤⎧=⎨−−>⎩
( 。

(26)
按照关联流动法则，滑动面相对速度方向与速度间断面夹角应为土体内摩擦角φ，各滑块相应速度场如图3所示。

于是，块体a 重力所做的功率为
[]01()2
a W a B P v r h l h C γ=
−− 。

(27) 剪切区b 为一曲边三角形（如图3），考虑微元土体重力所做的功为
2w 0d exp(3tan )cos d 2
a b v
P r γθϕθθ= 。

(28)
60 岩 土 工 程 学 报 2011年
图3 极限分析法 Fig. 3 Limit analysis method
对式（28）积分，得到剪切区b 重力所做的功率为
2
π/4/20w w 20
d 2(19tan )
a b b v r P P ϕγϕ+==
⋅+∫
ππsin 3tan cos 4242ϕϕϕ⎧⎡⎤⎛⎞⎛⎞+++⋅⎨⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠
⎝⎠⎣⎦⎩
πexp 3tan 3tan 42ϕϕϕ⎫⎡⎤
⎛⎞+−⎬⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎭
； (29)
块体c 重力所做的功率为
2w ππtan cos 44242c a P D v γϕϕ⎛⎞⎛⎞=−+⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
exp[(π/4/2)tan ]ϕϕ+ 。

(30)
地表超载所做的功率为
q B a P ql v = ； (31)
支护压力所做的功率为
t t πexp[(π/4/2)tan ]sin 42a P Dv ϕσϕϕ⎛⎞
=++⎜⎟⎝⎠。

(32)
块体a 在OO B ′间断面上耗损的功率为
(2cot )a B a D h l cv ϕ=− ； (33)
块体c 在AE 间断面上耗损的功率为
exp[(π/4/2)tan ]cos 2sin(π/4/2)c a D D cv ϕϕϕϕ+=+ ； (34)
剪切区OBE 内及边界BE 上的塑性能量耗散的功率[15]为 01
cot {exp[(π/2)tan ]1}2
b BE a D D cv r ϕϕϕ==
+−。

(35) 根据极限分析上限定理，令外功率与能量耗损率
相等，则有
w w w q t a b c a b c BE P P P P P D D D D +++−=+++。

(36)
将式（24）～（27）、（29）～（35）代入式（36），即可得到支护压力的表达式。

同样地，将式（36）写为式（20）的形式，则可得到黏聚力、地表超载和土体重度对支护压力的影响系数分别为
1
(2cot )ππexp tan sin 4242c B N h l D ϕϕϕϕ⎧⎪
=−−+
⎨⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎪++⎜⎟⎜⎟⎩
⎢⎥⎝⎠⎝⎠
⎣⎦0πexp tan cos 42πcot exp tan 1π22sin 42D r ϕϕϕϕϕϕϕ⎫⎡⎤
⎛⎞+⎜⎟⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎡⎤⎛⎞⎝⎠⎣⎦++−⎬⎨⎬⎜⎟⎢⎥⎛⎞⎝⎠⎣⎦⎪⎩
⎭+⎜⎟⎪⎝⎠
⎭
，
(37)
ππexp tan sin 4242B
q l N D ϕϕϕ=
⎡⎤⎛⎞⎛⎞
++⎜⎟⎜⎟
⎢⎥⎝⎠⎝⎠
⎣⎦， (38)
02
1
()ππ2exp tan sin 4242B N r h l h C D γϕϕϕ⎧
⎪
=−−+
⎨⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎪++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎩
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦2πππexp 3tan 3tan cos sin 3tan 4
2424
2(19tan )
ϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞++++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠
⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣
⎦
⋅
+220
πππtan cos exp tan 2424242D r ϕϕϕϕ⎫⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞−++⎬⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎭。

(39)
2 极限支护压力影响因素分析
2.1 极限支护压力
根据上一节建立的极限平衡和极限分析模型对盾构隧道开挖面稳定进行研究。

计算得到的极限支护压力与土体黏聚力和内摩擦角的关系如图4所示，极限分析法计算结果低于极限平衡法，两种方法计算结果均随黏聚力增大而减小。

极限平衡法计算结果随内摩擦角增大而减小，随隧道埋深比增大而增大。

极限分析法计算结果随内摩擦角增大而减小，但只有当内摩擦角φ较小时(φ<20°)隧道埋深比才对支护压力有影响，而当φ>20°时，支护压力则不再受隧道埋深比影响，这与Vermeer 等[10]通过有限元分析所得结论是一致的。

这也即表明，当隧道埋深达到一定值时，由于土体的成拱效应，其破坏面不能再向地表延伸，因而上覆土厚度的增加并不会导致支护压力的增加。

第1期吕玺琳，等. 盾构隧道开挖面稳定极限理论研究 61
图4 土体强度参数对支护压力的影响(γ=17 kN/m3, D=10 m) Fig. 4 Influence of soil strength parameters on support pressure (γ=17 kN/m3, D=10 m)
2.2 极限支护压力影响系数分析
类似于地基承载力分析的三项叠加法，分别对土体黏聚力、地表超载和土体重度对支护压力的影响系数N c，N q，Nγ进行分析。

与地基承载力分析结果不同的是，土体黏聚力对极限支护压力的影响系数N c为负值。

如图5所示，N c随土体内摩擦角φ的增大而增大，随隧道埋深比C/D的增大而减小。

通过对比可以看出，在相同C/D条件下，极限平衡法计算结果高于极限分析。

Vermeer等[10]通过总结大量数值模拟结果，提出当隧道埋深大于2倍隧道直径或土体内摩擦角φ>35°时，可通过N c=cotφ来计算黏聚力影响系数。

由图5可看出，在当隧道埋深比较大（C/D=2.0），且土体内摩擦角较大（φ>10°）时，极限分析结果和该公式几乎完全相同，而极限平衡所得结果则偏高。

在当内摩擦角小到一定值（φ=10°）时，极限分析得到的N c 线存在一个拐点，该点即对应于图3中土体破坏模式是否发展到地表的临界点。

而计算公式N c=cotφ并不能反映这种特性，说明在当土体内摩擦角较小时并不适用。

图5 N c随内摩擦角的变化规律(γ=17 kN/m3, D=10 m) Fig. 5 Relationship between N c and friction angle (γ=17 kN/m3, D=10 m)
地表超载对极限支护压力的影响系数N q如图6所示，极限平衡和极限分析所得结果均随着土体内摩擦角ϕ和隧道随埋深比C/D的增大而减小。

与极限平衡法所得结果不同的是，极限分析得到的N q在当内摩擦角达到一定值时变为零，此时即对应于土体破坏能否发展到地表的临界点，从图还可进一步看出，随着C/D的增大，N q在较小内摩擦角条件下即变为零。

图6 N q随内摩擦角的变化规律(γ=17 kN/m3, D=10 m) Fig. 6 Relationship between N q and friction angle (γ=17 kN/m3, D=10 m)
土体重度对极限支护压力的影响系数Nγ如图7所示，在隧道埋深比C/D一定的条件下，极限平衡结果随土体内摩擦角φ增大而减小，随埋深比C/D增加而增大。

与极限平衡计算结果不同的是，只有当土体内摩擦角较小时，隧道埋深比C/D增大才会使Nγ减小，而当土体内摩擦角达到一定值时(φ>20°)，Nγ不再随C/D变化而变化。

Vermeer等[10]通过总结大量有限元数值模拟结果，得到土体重度影响系数的计算公式为Nγ=1/(9tanφ)-0.05，通过对比表明，极限平衡计算结果比该解高，极限分析计算结果则与之符合较好，特别是当内摩擦角较大时。

但由于该公式没有考虑隧道埋深比的影响，因而只能在土体内摩擦角较高时计算的结果才符合实际。

图7 Nγ随内摩擦角的变化规律(γ=17 kN/m3, D=10 m) Fig.7 Relationship between Nγand friction angle (γ=17 kN/m3, D=10 m)
62 岩土工程学报2011年
3 结 语
通过村山氏极限平衡法和极限分析上限法对盾构隧道开挖面稳定进行了研究，得到了保持开挖面稳定的最小极限支护压力。

对比表明，极限分析法得到的支护压力低于极限平衡法。

极限分析上限法得到的土体黏聚力、地表超载和土体重度对支护压力的影响系数均低于极限平衡法，且得到的三项系数更能合理反映土体内摩擦角及隧道埋深与隧道直径比值的影响，并与数值模拟结果得到的公式更接近。

因此，极限分析上限法比村山氏极限平衡法更能合理估计维持开挖面稳定的最小极限支护压力。

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