定积分的计算与应用

定理 （ 牛顿一 莱布尼 兹公式 ） ： 设 函数 ， （ ） 在闭区间上连续 ， 且
是它在该 区间上 的一个原函数 ， 则：
ｒ ｂ
定积分的概念是从许多实 际问题中抽象 出来 的，所 以它的应
用是多方面的． 几何上 的应用包括求体 积 、 弧长 、 面积 ； 物理上的应 用将包括计算 力所 做的功 ， 静压力 、 引力等等 ； 及其在经济上的一
例３ ． 设 ） 是周期为 的周期 函数 ， 且连续 ， 则：
Ｊ ／ （ ） ＝ Ｊ ） （ ｎ 是 任 意 常 数 ）
ｒ叶 ｌ ｒ 口 ｒ ｄ Ⅱ
证 明 ： 由 于Ｊ Ｊ ａ ） 令 ＋ Ｊ ￡ Ｕ ＋ ） ｄ 拉 Ｊ Ｕ ￡ ） ｄ ￡ ＝ Ｊ Ｕ ） ，
这 就 称 为 不定 积 分 ．
而相对 于不定积分 的 ， 就是定 积分． 所谓定 积分 ， 就是 以平 面
图形 的面积 问题引 出的． ｙ ＿ 厂 （ ） 为定 义在 ［ ｏ ， ｂ ］ 上的 函数 ， 为求 由
＝ 。 ， ｘ ＝ ｂ ， ｙ ＝ ０ ， ） 所 围图形 的面积 ， 采用 古希腊人 的穷举 法 ，
“
＝
１
２ ． 周期 函数 的定积分
ｒ ｂ
则称， 为 ） 在ａ ， ｂ ］ 上的 定积分， 记作 Ｊ ． ， （ ） ， ［ 。 ， ｂ ］ 称为
积分 区间 厂 （ ） 称为被积函数 ， ａ ， ６ 分别称 为积分 的下限和上限． 当
） 的原函数存在时 ， 定积分的计算可转化为求 ） 的不定 积分．
先在小范围内以直代 曲， 求 出 ｓ的近似值 ， 再取极限得 到所求 面积 ｓ ， 为此 ， 应 先将 ［ 口 ， ｂ ］ 分 成 ｎ等 份 ： Ⅱ 。 ＜ … ＝ ６ ， 取 Ｅ［ ，
］ ， 记 ， 则 为 Ｓ的近似值 ， 当ｎ 一＋ 。 。 时， 的极 限可作 ） ， 作分划 ０ 。 ＜ … ６ ， 为面积 Ｓ ． 把这一类 问题 的思想方 法抽 象出来 ， 便得定 积分的概念 定义 ： 对于定义在［ ｎ ， ｂ ］ 上的函数 ｙ
函数的导数 ， 而积分是 已知一 函数的导数 ， 求这一 函数． 所以， 微 区间 ， 记Ａ ｘ 。
分与积分互为逆运算．
实际上 ， 积分还 可以分为两部分 ． 第一种是 单纯 的积分 ， 也就
是已知导数求原 函数 ， 而若 Ｆ （ ｘ ） 的导数是 ， （ ） ， 那么 常量） 的导 数也 是 ｆ （ ） ， 也 就 是说 ， 把 ） ＋ Ｃ （ ｃ是 ） 积 分 不一 定 能得 到
关键 词 ： 定 积分 ； 计算； 应用
众所周知 ， 微积分 的两大部分是微分与积分． 微分实际上是求
一
解： 设 ） ＝ １ ， 用分 点 ａ － ｘ 。 ＜ … ＝ ６把 区间分割 为 ｎ个小
Ａ ｇ ＝ ｍ ａ ｘ ｛ ｝ ， 在Ｉ ｘ 瓤 ］ 上任取一点 ‘ ， 有 玉 ） ，
些应用．
．
ｆ， 【 ） ＝ ｂ ） 一 ａ ）
Ｊ ０
，６
也常写成： ｝ ｘ ） ｄ ｘ ＝ Ｆ （ ｘ ） ② ｌ
贝 ４ １ １ ＝ ｌ ｉ ｍ — 、 ｃ ｈ ～ 。 ） ： ｂ — ｏ ．
因 此， ｆ ｄ ｘ ＝ ｂ 一 ０ ．
（ 二） 简化的定积分计算方法 １ ． 关于原点 对称 区间上函数 的定积分
） 积分的结果有无 数个 ， 是不确定 的． 我们一律用 Ｆ （ ） ＋ ｃ代替 ，
例２ ． 计 算ｆ （ Ｉ ｆ 慨 ） 。 ｄ ｘ
‘ ’ 为奇函数 所 以 ： 解： 由于Ｉ ｌ ｅ － ｌ Ｘ ｌ 为偶函数 ， 。
一
，
Ｉ
。 ｄ ｘ ＝ ２
＝
１ ｅ 。 ｄ ｘ ： ２
啵
若存在一个与分划及 ∈［ 札 ］ 的取法都无关的常数 ， ， 使得 ：
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２ ０ １ ３年 ３月 ８日
足 积 分 的 对 并 与应 用
文／ 见际问题 中抽象 出来 的一个重要的基本 概念． 主要讨论定积分 的计算及其应用 ， 对 一些 常用 的方法
和技巧进行 了归纳和总结， 并较为深入地探讨 了定积分在几何 、 经济等领域都有着非常广泛的应用．
其实定积分也 叫黎曼积分． 定积分和积分看起来风马牛不相及 ，但是 由于一个数学上重 要理论的支撑 ， 使得它们有 了本质上 的密切联系． 把一个 图形无 限 细分再累加 ， 这似乎是不可能 的事情 ， 但是 由于这个理论 ， 可 以转化 为计算积分． 这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿—莱布尼兹公式．
ｒ计 ｒ ，０ ｒ ｒ ｒ叶 ｒ
又 ， Ｊ 。 ） ： Ｊ ） ＋ Ｊ 。 ） ｄ ｘ ＋ Ｊ ） ，
ｒ ａ ＋Ｔ ｒ ｒ ｒ
所 以 ： Ｊ 。 ） ｄ ｘ —Ｊ ） ＋ Ｊ 。 ） ｄ ｘ ＋ ｊ ） ．
二、 定积 分 的 应 用
＝
．
２ Ｊ 。 ｄ （ ） ＝ ２ ［ 叫 ｅ Ｉ ２ ０ ＋ Ｊ 。 ｅ 咄］
２ ［ 一 ２ ｅ － ２ ｅ ｌ ２ ｎ ］ ＝ ２ ［ 一 ２ ｅ 一 ｅ ＋ １ ］ ＝ ２ 一 — 鱼 ．
， －
ｎ
， ＿ 』 ／ （ ） ＝ Ｅ ｆ （ ￣ ｉ ） Ａ ｘ ①
作 积 分 和： Ｓ ＝ Ｅ ｙ （ ￣ ） Ａ ｘ ＝ ∑Ａ ｘ
＝
（ Ｉ — ｏ ） ＋ （ ２ Ｉ ） ＋ …＋ （ ＿ ｌ — ） ＋ （ ％咄 ， 卜 Ｉ ）
＝ ｘ ， ， － ｘ ｏ ＝ｂ —ａ，
Ｆ（ ｘ ） ， 因为 Ｆ （ ｘ ） ＋ ｃ的导数 也是 ） ， Ｃ是无穷无尽 的常数 ， 所 以