保险精算 第4章2 人寿保险的精算现值

k 0 n 1
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为 1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险 业 经验生命表 （2000-2003年）非养老业务男表和利率 6%计算趸缴纯保费。 4 d 55k 1 k 1 1000 v 解：A55: 5| l k 0
55
vd55 v d 56 v d 57 v d 58 v d 59 1000 l55
2 3 4 5
26.981485(元)
注：
令n 1, 在符号Ax1: n|中， Ax1: 1| 在人寿保险中又称为自然保费， 或记作符号 c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预 定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。 1 dx cx vqx 1 i lx “均衡保费制”
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系 记 K ( x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
v , Z bK vK 0,
K 1
K 0,1,, n 1 其他
A1 x:n 表示其趸缴纯保费。
则
E ( Z ) v k p x q xk
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险 责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。 假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。 基本函数关系 0, t m 0 , t m bt t 1, t m z b v v , m t m n
1
t
1
m
T
A
1 x:n
v n n px
1 x:n 1 x:n
Ax:n A A
1
m|
Axm： Ax : n| Ax： m| n|
4.2 死亡年末给付的人寿保险
死亡年末赔付的含义
指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内 的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末 给予保险赔付。 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末， 所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量， 它距保单生效日的时期长度等于被保险人签约时的 整值剩余寿命加一。 这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供 的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算 师在厘定趸缴保费时通常假定的理赔方式。
0.0431
各种死亡即付趸缴纯保费的公式归纳
A x: n|
1
v fT (t )dt v t t px xt dt
t 0 0
n
n
A x v p dt
t 0 t x xt

m|
m|
Ax v fT t dt
t m
1
mn

)dt A x: n| A x： m| x：mvn | f(tA
保险金在死亡的保单年度末给付。按中国人寿保险业经
验生命表（2000-2003年）非养老业务男表，年利率
i=6%,计算其趸缴纯保费。
解： A A1 A 1 35: 5| 35: 5| 35: 5|
v k 1 k p35 q35k v 5 5 p35
k 0
4
A35: 5| 7478.06(元) 代入公式得 A35: 5| 0.74780x
生存函数： t px
1 t qx
qx S '( x t ) f x (t ) s( x t ) 1 tqx t px
死亡力： x t
t
px x t
qx (1 t qx ) qx 1 tqx
同理，
A x： n|
定义 被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内 的死亡，则在死亡年末给付保险金；如果被保险人 生存满n年，则在第n年末支付保险金的保险。 等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。 基本函数关系 k 1 v , k 0,1,, n 1 bk 1, k 0,1, vk n k n, n 1, v ,
d 35k v v 5 5 p35 l35 k 0
4 k 1
延期寿险的趸缴纯保费
延期m年定期保险 基本函数关系 1， k m, m 1,, m n 1 v v , k 0,1,, n m 1 bk 0, 其他 保险金给付在签单时的现值随机变量为 K 1 v , K m, m 1,, m n 1 Z bK vK 0, 其他 表示其趸缴纯保费。
0 t 1
s ( x) s ( x t ) 1、 t qx s ( x) s( x) [(1 t ) s( x) ts( x 1)] s( x) s( x 1) t s ( x) s ( x)
t qx
。
密度函数：f x (t ) Fx (t ) t q x
T
Z bT vT [T 1]v , T 0
T
( IA ) x表示其趸缴纯保费。
死亡即付型
②一年递增m次：每次增加1/m的终身寿险。
[Tm 1] bT , T 0 [Tm 1] T m Z b v v , T 0 T T m vT vT , T 0
保费。设A13 5： 0.0380546 25 | 解： i 6%, ln(1 0.06) 0.058 2689
A 35：25|
1
i

i
A 35：25| A 35：25|
1 1
1 200 000A3 50 649.24(元) 5： 25 |


A135：25|
签单时保险金给付现值随机变量为
0, T n Z bT vT n 离散型 v , T n 1 Ax:n 表示 n年期生存保险的精算现值。
n Ex
方差为
A
Var(Z )
1 x:n
E(Z )
n年定期两全保险
定义 被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围 内 的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生 存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。 等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。 假定(x)投保n年定期两全保险，保额1元。 t 基本函数关系 v , t n t vt n v , tn v , t n zt bt vt n v , t n bt 1 , t 0
终身寿险的趸缴纯保费
n年定期保险的趸缴纯保费
v k 1 k p x q xk
k 0 n 1
n n年定期寿险即成为终身寿险。
Ax 表示终身寿险的趸缴纯保费。
方差为 Var(Z ) E(Z 2 ) [ E(Z )]2 2Ax ( Ax ) 2
两全保险的趸缴纯保费
签单时保险金给付现值随机变量为
T v , T n Z bT vT n v , T n 表示n年期两全保险的精算现值。
T 0, T n v , T n Z Z1 Z 2 其中Z1 , Z2 n v , T n 0, T n
Ax:n A A
v , K 0,1,, n 1 Z bK vK n v , K n, n 1,
K 1
表示n年期两全保险的精算现值。
Ax: n1|
n
Ex
方差为
Var(Z )2Ax: n| ( Ax: n| )2
例7
设（35 ）投保5年期两全保险，保险金额为10000元，
(I( m) A) x表示其趸缴纯保费。
死亡即付型
③一年递增无穷次（连续递增）
bT T , T 0 vT vT , T 0
练习：P67 3.
4.3 死亡即付人寿保险与死亡年末付 人寿保险的精算现值的关系
假设死亡于各年龄内是均匀分布（ UDD假设），
令s t k
v
1 k 0 0

k s
sk px xk s ds
补充： 非整数年龄的生命分布假设
年龄内死亡均匀分布假设（UDD假设）
令：S ( x t ) (1 t )s( x) ts( x 1)
1
i

A x： n|
1
对于两全保险有
Ax： Ax： Ax： n| n| n|
1 1

i

A x：n| A x：n|
1 1
例8
设（35）投保25年期两全保险，保险金额为200 000
元，在死亡或满期时立即给付。用中国人寿保险业经 验生命表（2000-2003年）非养老业务男表及年利率
i=6%，在死亡服从均匀分布的假设下，计算其趸缴纯
4.1.5 生存保险与两全保险的趸缴纯保费
n 年定期生存保险
定义 被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n 年末支付保险金的保险。 假定: (x) 投保n年定期生存保险，保额1元。
基本函数关系 vt v n , t 0
1 , t n bt 0 , t n
v n , t n zt bt vt 0 , t n
k 1 k
E(Z )
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
Ax1：n| v k 1 k p x q xk
k 0 n 1
Ax v k 1 k p x q xk
k 0

1 Ax:n A1 A x:n x:n
1 A A A x m x x:m
1 1 1 A A A m x:n x:m n x:m 1 1 1 A A A A x:m Ax m:n m x:n m x:n m x:n
1
v m px Axm： n|
m
例5（例1续）
设
x S ( x) 1 100 i 0.1 , 0 x 100
计算
解：由例1已知
(2) Var(Z )
Var(Z1 ) 0.055
答案
(2) Var(Z 2 )
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z 2 ) A31 0：1 0| A3 0： 1 0|
l60 (1.06) 25 0.253 246 2 l35
4.4 递增型人寿保险与递减型人寿保险
4.4.1 递增型寿险
1.死亡时立即给付的递增型终身寿险的趸缴纯保费 ①一年递增一次：第一年内死亡，给付保险金1元；第 二年内死亡，给付保险金2元，……，则
bT [T 1], T 0 vT v , T 0
1 x:n
1 x:n
v t px xt dt v n px
t n 0
n
方差？
方差
Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z 2 ) Cov(Z1 , Z 2 ) Var(Z1 ) Var(Z 2 ) E(Z1 Z 2 ) E(Z1 ) E(Z 2 )
v , m t mn vt mn v , t m n
t
t
t
t
v mn , t m n
表示延期m年的n年期两全保险的精算现值。 A m| x : n|
看成是x岁的被保险人生存m年后，到x+m岁 时再获得一个n年期的两全保险。
m|
Ax : n|
Ax： Axm： m| n|
k 1 k 0
n 1
方差为 其中
n1 l d d xk k 1 k 1 xk x k v v l x l xk k 0 lx k 0
n1
Var(Z ) E(Z 2 ) [ E(Z )]2
v 2 ( k 1) k p x q xk