第八章最短路问题
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P
称P0是从vs到vt的最短路。路P0的权称为从vs到vt 的路长。记为ust。
第二节
最短路的标号算法
当所有 wij ≥0 时，本算法是用来求给定点vs到 任一个点vj 最短路的公认的最好方法。 事实：如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一 个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到 vi的最短路。 最短路的子路也是最短路。 vs 到vi 计算过程中可采用标号方法。 的最短路长度已求出，相应的点记“永久”标 号；
v3
2
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1,1
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4,11
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1, ∞
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图上标号法: 1, ∞ 2 6 1,3 6 4 3
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图上标号法: 1, ∞ 2 6 1,3 6 4 3
v2
6
------floyd算法
④多个点对之间最短路？
例 2 某台机器可连续工作4年，也可于每年末卖掉， 换一台新的。已知于各年初购置一台新机器的价格 及不同役龄机器年末的处理价格如下表。新机器第 一年运行及维修费为0.3万元，使用1-3年后机器每年 的运行及维修费用分别为0.8，1.5，2.0万元。试确定 该机器的最优更新策略，使4年内用于更换、购买及 运行维修的总费用为最省。
2 8 4 7 C
6
D
6
A
1
3
1
3 E
F
最短路问题 给定有向网络D=（V，A，W），任意有向边
aij∈A，有权w（ aij ）=wij，给定D中的两个顶点vs，
vt。设P是D中从vs到vt的一条路，定义路P的权（长度） 是P中所有有向边的权之和，记为w（P）。最短路问 题就是要在所有从vs到vt的路中，求一条路P0 ，使
w(P0 ) minw(P)
1, ∞
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图上标号法: 1, ∞ 2 6 1,3 6 4 3
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从v1到v8：
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P1=（v1，v2，v5，v8）
费用 6+1+6=13
P2=（v1，v3，v4， v6， v7， v8） 费用 3+2+10+2+4=21
P3= …… 从v1到v8的旅行路线 பைடு நூலகம்v1到v8的路。 最短路问题中，不考虑有向环、并行有向边。
旅行路线总费用 路上所有有向边权之和。
vs 到vi 的最短路长度尚未求出,相应的点记“临时”标 号。 前点标号j: 表示点vs到vj的最短路上vj的前一点。 如j=m，表示vs到vj的最短路上vj前一点是vm。
图上标号法:
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j
年初购置价 使用j年的机器处理价
第一年 第二年 第三年 第四年
2.5 2.0
2.6 1.6
2.8 1.3
3.1 1.1
例 3 某公司在六个城市c1, …,c6中有分公司，从ci到cj 的直接航程票价记在下述矩阵中的 (i,j) 位置上。（∞
表示无直接航路），请帮助该公司设计一张任意两城
市间的票价最便宜的路线表。
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0 50 ∞ 40 25 10
50 0 15 20 ∞ 25 ∞ 15 0 10 20 ∞ 10 0 55 0 25 ∞ 20
10 25 ∞ 25 55
例 4 已知有6个村子，相互间道路的距离如下图示。 拟合建一所小学，已知A处有小学生50人，B处40 人，C处60人，D处20人，E处70人，F处90人，问 小学应建在哪一个村子，使学生上学最方便（原则 ①所有人走的总路程最短；②尽可能公平。）。 B
第八章
最短路问题
第一节 最短路问题引例
例 下图为单行线交通网，每有向边旁的数字表示通过 这
交 条线所需的费用。现在某人要从v1出发，通过这个
v 9 通网到v 去，求使总费用最小的旅行路线。
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问题：①本例中，v1到v9的最短路？
②无向网络: vi wij vj wij
wij 无向网络中，最短路 →v 最短链。 vj i
③负权有向边时。 1 v1 v2 2 v3 -3
Dijkstra算法失效
称P0是从vs到vt的最短路。路P0的权称为从vs到vt 的路长。记为ust。
第二节
最短路的标号算法
当所有 wij ≥0 时，本算法是用来求给定点vs到 任一个点vj 最短路的公认的最好方法。 事实：如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一 个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到 vi的最短路。 最短路的子路也是最短路。 vs 到vi 计算过程中可采用标号方法。 的最短路长度已求出，相应的点记“永久”标 号；
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图上标号法: 1, ∞ 2 6 1,3 6 4 3
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------floyd算法
④多个点对之间最短路？
例 2 某台机器可连续工作4年，也可于每年末卖掉， 换一台新的。已知于各年初购置一台新机器的价格 及不同役龄机器年末的处理价格如下表。新机器第 一年运行及维修费为0.3万元，使用1-3年后机器每年 的运行及维修费用分别为0.8，1.5，2.0万元。试确定 该机器的最优更新策略，使4年内用于更换、购买及 运行维修的总费用为最省。
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最短路问题 给定有向网络D=（V，A，W），任意有向边
aij∈A，有权w（ aij ）=wij，给定D中的两个顶点vs，
vt。设P是D中从vs到vt的一条路，定义路P的权（长度） 是P中所有有向边的权之和，记为w（P）。最短路问 题就是要在所有从vs到vt的路中，求一条路P0 ，使
w(P0 ) minw(P)
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从v1到v8：
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P1=（v1，v2，v5，v8）
费用 6+1+6=13
P2=（v1，v3，v4， v6， v7， v8） 费用 3+2+10+2+4=21
P3= …… 从v1到v8的旅行路线 பைடு நூலகம்v1到v8的路。 最短路问题中，不考虑有向环、并行有向边。
旅行路线总费用 路上所有有向边权之和。
vs 到vi 的最短路长度尚未求出,相应的点记“临时”标 号。 前点标号j: 表示点vs到vj的最短路上vj的前一点。 如j=m，表示vs到vj的最短路上vj前一点是vm。
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年初购置价 使用j年的机器处理价
第一年 第二年 第三年 第四年
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2.8 1.3
3.1 1.1
例 3 某公司在六个城市c1, …,c6中有分公司，从ci到cj 的直接航程票价记在下述矩阵中的 (i,j) 位置上。（∞
表示无直接航路），请帮助该公司设计一张任意两城
市间的票价最便宜的路线表。
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图上标号法: 2,6 2 6 1,3 6 4 3
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例 4 已知有6个村子，相互间道路的距离如下图示。 拟合建一所小学，已知A处有小学生50人，B处40 人，C处60人，D处20人，E处70人，F处90人，问 小学应建在哪一个村子，使学生上学最方便（原则 ①所有人走的总路程最短；②尽可能公平。）。 B
第八章
最短路问题
第一节 最短路问题引例
例 下图为单行线交通网，每有向边旁的数字表示通过 这
交 条线所需的费用。现在某人要从v1出发，通过这个
v 9 通网到v 去，求使总费用最小的旅行路线。
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问题：①本例中，v1到v9的最短路？
②无向网络: vi wij vj wij
wij 无向网络中，最短路 →v 最短链。 vj i
③负权有向边时。 1 v1 v2 2 v3 -3
Dijkstra算法失效