浙江财经学院概率论与数理统计期末复习

P ( AB ) P ( A)P (B | A) P (B )P ( A | B )
P(A | B) P(AB ) P (B )
条件概率公式:
差 集 : P ( A B ) P ( AB ) P ( A) P ( AB )
全概公式:
A1 , A 2 , , A m 为 一 个 完 备 事 件 组 , B 为 任 意 事 件 ，
8%
9%
12% 9%
解 ： 设 A i表 示 任 取 一 件 , 该 件 产 品 由 甲 、 乙 、 丙 三 个 车 间 生 产 ,i=1,2,3； B： 任 取 一 件 ,该 件 产 品 不 合 格 .
2.由 贝 叶 斯 公 式 得 ：
P ( A1 | B ) P ( A1 ) P ( B | A1 )
1 . 事 件 A 与 B 满 足 P ( A ) 0 .5 , P ( B ) 0 .6 , P ( B | A ) 0 .8 , 则 P ( A B ) ________ .
P(A B) P(A B)
P ( A) P (B ) P ( AB )
P ( A) P (B ) P ( A)P (B | A)
7.某 厂 由 甲 乙 丙 三 个 车 间 生 产 同 一 种 产 品 ,它 们 的 产 量 之 比 为 3 : 2 : 1, 各 车 间 产 品 的 不 合 格 率 依 次 为 8 % , 9 % , 1 2 % . 现 从 该 厂 产 品 中 任 意 抽 取 一 件 ,求 ： 1.取 到 不 合 格 产 品 的 概 率 ;2.若 取 到 的 是 不 合 格 品 ,求 它 是 由 甲 车 间 生 产 的 概 率 ; 3.若 取 到 的 是 不 合 格 品 ,求 它 不 是 由 甲 车 间 生 产 的 概 率
x x1 x1 x x 2 x2 x x3 x k x x k 1
取值的判定：分段点
x 1， x 2， ， x n，
概率分布：求差
P{ X xk }
Leabharlann Baidu
j1
k
pj

k 1
pj
j1
8.随 机 变 量 函 数 g( X )
1 . y g ( x )的 概 率 分 布
解 ： 设 A i表 示 任 取 一 件 , 该 件 产 品 由 甲 、 乙 、 丙 三 个 车 间 生 产 ,i=1,2,3； B： 任 取 一 件 ,该 件 产 品 不 合 格 .
1.由 全 概 公 式 得 ：
P (B )

i1
3
P ( Ai ) P ( B | Ai )
1 3 1 6

1 2
2

f (x) 1
3.分 布 函 数
1 F ( x )是 连 续 函 数 ；
2 lim F ( x ) = 1 ；
x
3 lim F ( x ) = 0 ；
x
4.P {a X b } 5. E X

b a
f ( x )d x F ( b ) F ( a )
8.由 分 布 函 数 求 密 度 函 数
f ( x ) F ( x )
若 F ( x )在 ( , )上 表 达 式 唯 一 , 则
f ( x ) F ( x )
若 F ( x )在 ( , )上 表 达 式 不 唯 一 , 即
0 F ( x ) u( x ) 1 x a a x b x b
2
.
X

N ( 0 , 1 ).
7.由 密 度 函 数 求 分 布 函 数
若 f ( x )在 ( , )上 表 达 式 唯 一 , 则
F ( x) P{X x}

x
f ( t )d t
若 f ( x )在 ( , )上 表 达 式 不 唯 一 , 即
a x b 其他
u ( x ) 则 f ( x ) F ( x ) 0
9.随 机 变 量 函 数 g( X ) 1 . 由 X 的 密 度 函 数 f ( x ), 求 Y g ( X )的 密 度 函 数 v ( y ).
u( x ) f (x) 0 a x b 其他
AB C
P ( A B ) P (C )
P ( A ) P ( B ) P (C ) P ( A B ) P ( A) P (B ) P ( AB ) 1 P ( A ) P ( B ) 1 P (C )
5 . A、 B 为 随 机 事 件 , 1 < P ( A ) 1, 且 P ( B | A ) 1, 则 ( ). A .P ( A B ) 0


x f ( x )d x
6.几 种 常 见 的 连 续 型 分 布
1 X U [a , b ]
1 f (x) b a 0 a x b 其他
a b 2 (b a ) 12
2
0
EX
DX
2
0
X e( )
e f (x) 0
x
x 0 其他
EX
1

DX
1

2
3
0
X N ( , )
2
f (x)
1 2

(x ) 2
2
2
e
EX DX
2
1 f ( x )的 定 义 域 为 ( , );
2 f ( x )关 于 x 对 称 , 最 大 值 为 1 2 .
总 复 习
第一章 基本内容 互不相容 相互独立
AB
P ( AB ) P ( A)P (B )
若 n 个 事 件 A1 , A 2 , , A n 满 足 ：
完备事件组
A1 , A 2 , , A n 互 不 相 容 ； A1 A 2 A n =
加 法 公 式 : P ( A B ) P ( A) P (B ) P ( AB ) 乘法公式:
称 区 间 ( a , b )为 f ( x )的 非 零 区 间 . 类 一 ： g ( x )在 ( a , b )上 单 调 ； 求 出 g ( x ) 在 ( a , b ) 上 的 值 域 ( c , d )； 求 y g ( x ) 在 ( a , b ) 上 的 反 函 数 x h ( y )；
3 当 0,
2
1时 , 正 态 分 布 为 标 准 正 态 分 布 X N ( 0, 1),
1 2
x
2
其 密 度 函 数 为 (x)
e
2
.
1 2
4 若 X N ( 0 , 1 ), 则 f ( x ) 关 于 y 对 称 , 最 大 值 为
5 若 X N ( , ), 则 Y
3

P ( A1 ) P ( B | A1 ) P (B )

i1
P ( Ai ) P ( B | Ai )
8% 9%
5 9
1 2

4 9
3. P ( A1 | B ) 1 P ( A1 | B )
第二章 基本内容
离 散 型 随机变量 连 续 型
一、离散型X
1.定 义
0.5 0.6 0.5 0.8 0.7
2. 10件 产 品 中 有 4件 不 合 格 品 ， 从 中 任 取 两 件 ， 已 知 所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格 的 概 率 为 ______ .
A表 示 两 件 中 有 一 件 是 不 合 格 品 ,B表 示 另 一 件 也 是 不 合 格 P (B | A)
P (B )

i1
m
P ( A i )P ( B | A i )
贝叶斯公式:
A1 , A 2 , , A m 为 一 个 完 备 事 件 组 , B 为 任 意 事 件 ，
P(Aj | B) P ( A j )P (B | A j )

i1
m
P ( A i )P ( B | A i )
0
P {Y y j } P { g ( x ) y j }

k :g ( xk y j )
pi
2 . y g ( x )的 期 望 E Y
0
EY Eg( x)

i1

g ( x i ) pi
二、连续型X
1.定 义
X f (x)

2.密 度 函 数
1 f ( x ) 0
A P ( A) 0
P ( A) 0 A
4 .当 事 件 A 与 B 同 时 发 生 时 事 件 C 也 发 生 , 则 ( ). A .P (C ) P ( A ) P ( B ) 1 C .P (C ) P ( A B ) B .P (C ) P ( A ) P ( B ) 1 D .P (C ) P ( A B )
P(AB ) P(A)
C 4 C 10 C 4 C 4 C 6 C 10
2 1 1 2 2 2

1 5
3 . A、 B 为 随 机 事 件 ， 且 P ( A B ) 0 , 则 ( ). A.AB C . A与 B 对 立 B .AB未 必 是 不 可 能 事 件 D .P ( A ) 0 P ( B ) 0
P{ X m } Cn p q
E X n p D X n pq 3 泊松分布
0
X p ( ) , X : 0 , 1 , 2 , .
P{X m }

m
e

m!
EX DX
0 6.由 概 率 分 布 求 分 布 函 数 p1 P { X x i } p i , i 1, 2, . p1 p 2 F (x) x1 x 2 x n k p j j1 累加 区间为左闭右开 7.由 分 布 函 数 求 概 率 分 布
随机变量的取值为有限个或可列个.
P { X x i } p i , i 1, 2, .
2.概 率 分 布
3. P {a X b}

i :a x i b
pi .
2
4. E X

i1

xi pi ,
DX EX
( EX ) .
2 2
E ( aX b ) aE X b
此 密 码 的 概 率 都 是 0 . 2 5 , 则 密 码 能 被 译 出 的 概 率 为 ( ). A. 1 4 B. 1 64 C. 37 64 D. 63 64
设 A i： 密 码 分 别 被 甲 、 乙 、 丙 译 出 , i = 1 , 2 , 3 . B : 密 码 被 译 出 . P ( B ) P ( A 1 A 2 A 3 ) P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) P ( A1 A 2 ) P ( A1 A 3 ) P ( A 2 A 3 ) P ( A1 A 2 A 3 ) 3 3 1 1 37 64 64 4 16 64
u( x ) f (x) 0 a x b 其他
则 F (x) P{X x}

x
0 x f ( t )d t f ( t )d t a 1
x a a x b x b
F ( x )的 分 段 区 间 与 f ( x ) 保 持 一 致 .
D ( aX b ) a D X
5.几 种 常 见 的 离 散 型 分 布
1 0 1分 布
0
P { X 1} p , P { X 0} 1 p
E X p D X pq 2 二项分布
0
X B(n,p)
m m nm
X : 0, 1, , n . m 0, 1, , n .
P (B | A)
B.AB
P (AB ) P(A)
C .B A

D .P ( B ) 1
1

P(A AB ) P(A)
P(A) P(AB ) P(A)
P ( A) P ( AB ) P ( A) 即 P ( A B ) 0. 6 .甲 乙 丙 三 人 独 立 地 破 译 一 份 密 码 ， 他 们 每 人 译 出