质数合数与因数分解

练习
• 10.试证明：形如111111+9×10n(n为 自然数)的正整数必为合数. • 11.若p、q为质数，m，n为正整数, p=m+n,q=mn，则(pp+qq)/(mn+nm)= 31/3 . • 12.若质数m、n满足5m+7n=129，则 m+n=19或25· (河北省竞赛题)
练习
15.机器人对自然数从l开始由小到大按 如下的规则进行染色：凡能表示为两 个合数之和的自然数都染成红色．不 合上述要求的自然数都染成黄色，若 被染成红色的数由小到大数下去，则 第1992个数是 2001 . (北京市“迎春杯”竞赛题)
质数知多少？
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18世纪，欧拉发现了当时 最大的质数231一1．20世纪 末人类借助超级计算机，发 现了最大的质数2859433一1 ， 现已知的最大素数是 13466917—1，位数超过400 2 万位
性质
•1不是质数，也不是合数； 2是惟一的偶质数． •若质数p|ab，则必有p|a或 p|b •若正整数a,b的积是质数p， 则必有a=p或b=p．
练习
• 13．已知三个质数m、n、P的积等 于这三个质数的和的5倍，则 m2+n2+p2= 78 . (2004年武汉市选拔赛试题) • 14.一个两位质数，将它的十位数 与个位数字对调后仍是一个两位 质数，我们称它为“无暇质数”。 则所有“无暇质数”之和等 429 于 .
练习
• 16.证明有无穷多个n，使多项式n2+n+41 (1)表示合数；(2)为43的倍数． • 17.已知正整数p ，q是质数，且7p+q与 pq+1l也都是质数，试求pq+qp的值.(湖北 省荆州市竞赛题)
练习
• 1.在l．2．3．…．n这n个自然数中， 已知共有p个质数，q个合数,k个奇数， m个偶数．则(q-m)+(p-k)= -1· • 2.p是质数．并且p6+3也是质数，则p1152= 1996 ·(北京市竞赛题) • 3.若a、b、c，d为整数．且 (a2+b2)(c2+d2)=1997， 则a2+b2+c2+d2= · • 4.已知a是质数,b是奇数，且a2+b=2001 则 则a+b= 1999 。 • (第16届江苏省竞赛题)
练习
• 7.超级计算机曾找到的最大质数是 2859433-1，这个质数的末尾数字是 ( A )· A．1 B．3 C．7 D．9 • 8.若正整数a、b、c满足a2+b2=c2，a 为质数，那么b、c两数( C )· A．同为奇数 B．同为偶数 C．一奇一偶 D．同为合数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习
• 9.设n为自然数，n+3与n+7都 是质数，求n除以3所得的余 数·
练习
• 5.以下结沦中( A )个结论不正确． (1)1既不是合数也不是质数；(2)大于0的偶数 中只有一个数不是合数；(3)个位数字是5的 自然数中．只有一个数不是合数；(4)各位数 字之和是3的倍数的自然数，个个都是合数． A．1 B．2 C．3 D．4 (2001年“五羊杯”竞赛题) • 6.若p为质数,p3+5仍为质数，p5+7为 ( )· C A．质数 B．可为质数也可为合数 C．合数 D．既不是质数也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛题)
练习
• 18.1与0交替排列，组成下面形式的一串数101， 10101·1010101，101010101，……请你回答： 在这串数中有多少个质数?并证明你的结论． (2001年北京市竞赛题) • 19.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…40,41 这41个自然数，问： (1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个 相邻运动员的号码之和是质数? (2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个 相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．
质数 合数与 因数分解
质数 合数
• 一个大于1的正整数，若除了1与 它自身，再没有其他的约数，这 质数． 样的正整数叫做质数 质数 • 一个大于1的正整数，除了l与它 1 l 自身，若还有其他的约数，这样 的正整数称为合数 合数． 合数
质数知多少？
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对于研究者来说．寻找最大质 数的精神，犹如物理学家在寻找 比原子更微小的粒子、或天文学 家在不断追寻未为人所知的星体 般。都须付出惊人的毅力。正是 这种单纯为满足求知欲的好奇心， 正好是人类突破知识领域动力。
例题求解
【例２】不超过100的所有质数的 乘积减去不超过60且个位数字为 ７的所有质数的乘积所得之差的 个位数字是（ D ） A.3 B.1 C.7 D.9
例题求解
【例3】求这样的质数，当它加上 10 和14时,仍为质数． （上海市竞赛题）
例题求解
【例４】（1）将1,2,…,2004这 2004个数随意排成一行，得到一 个数N．求证：一定是合数； (2)若是大于２的正整数， 求证：２n－１与２n＋１中至多有 一个是质数．
2,3,5,7,11,13,17,19 23,29,31,37,41,43,47,53, 59,61,67,71,73,79,83,89, 97
性质
• 算术基本定理：任意一个大于1 的整数N能分解成K个质因数的 乘积，若不考虑质因数之间的顺 序，则这种分解是惟一的．从而 N可以写成标准分解形式： a1 a2 ak N=p1 p2 …pk 其中p1<p2<…<pk，pi为质数。ai 为非负整数。(j=1，2，…,k)．
例题求解
【例l】 已知三个不同的 质数a，b，c满足 abbc+a=2000，那么a+b+c= 42 . (第15届江苏省竞赛题)．