工程力学8-1-课件
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M 0 A 对杆OA： O F fD F l cos 30 P l 0 F ND ND
O XO
P
F fD
M
D
3 3
P
2
YB
B X B
P
FND
D
对杆BD：
M
l 2
B
0
M F ND l cos 30 P
工程力学（A）
(8-1)
北京理工大学理学院力学系
韩斌
22+3/II
思考题
F
F
若主动力 F
P
FN
Ff
的作用线向上移，结果如何？
F
F F
P
Ff
P
FN
Ff
FN F
N
2
5、滚动摩阻力偶 考虑圆轮置于不光滑的水平路面上， 设轮子与路面均是刚性的 (不变形) ， A处为点接触（理想状态！）。 由
F fD f S F ND
P 4
M 3 2 3 8 Pl
YO
O XO
FND
P
F fD
M
D
A F fD
D
(1
3 2
)P
2M l
P 4
YB
B X B
P
FND
(1
3 2
)P
2M l
P 4
M
52 3 8
Pl
A
F
C
W
D
O
（4）仅C处摩擦因数不满足条件，轮子相对于地面纯滚 动，而C处连滚带滑。 （5）若仅D处摩擦因数不满足条件，轮子相对于杆AB纯 滚动，而D处连滚带滑。 （6）若C、D处均不满足条件，轮相对地面、杆均为连滚 带滑向右运动。
25
F fC f SC F NC F fD f SD F ND
F fC
sin 1 cos
F NC f SC F NC
B
f SC
sin 1 cos
C F fC
FNC
O
/2
A
F fD
W
FND
D
21
例题
例 题 13
F fC F fD
max 2 2
f
x
1
A
F fA
故杆平衡的条件为 2 f 2 f y F x C C FNB A F fB F W B 2 W
NA
fA
FNB
B
F fB
15
例题
例 题 12
§7 力系的平衡
两均质杆长度都为l ，重量都为P，两杆接触处D的 静滑动摩擦因数为 f 3 / 4 ，施加在杆BD上的主动力 偶矩M使得系统在图示位置保持平衡，求M的值。
f SC sin
A
F
C
结论 C,D两处的摩擦因数应满足
1 cos
(1 aW Fl aW
D
W
O
f SD
Fl sin ( Fl aW )( 1 cos )
)
sin (1 cos )
（1）C，D处摩擦因数均满足条件时轮子才能 保持静止。
12
例题
例 题 11
A C
§7 力系的平衡
解： 1.受力分析 B 题中所求的平衡状态，
角应有一个范围，
临界状态是其平衡范 围的边界。
分析杆的滑动趋势，
min
和
max
是两个临界平衡状态。
13
例题
例 题 11
§7 力系的平衡
2.当杆处于B点下滑，A点上滑的临界状态时 1 min A Fix 0 F NA F fB W sin 0 ① C
3
原因：轮子与地面实际上都会发生变形，形成面接触， 因此地面对轮子的约束力为一分布力系。
F
A
C
P
F
h
C
P
Ff
或
h
f
F
Ff
C
P
A
将该力系向A点简化为法向约束力
FN
AM
FN 和切向约束力 F f
f
FN
外，还应有一约束力偶，其力偶矩为 M
。
Fh
由于 M f 阻碍轮子的滚动，称为滚(动摩)阻力偶。
3.当杆处于A点下滑、B点上滑的临界状态时， 2 max 同理，列出平衡方程 F 0 , F 0 , M 0 和物理条
ix iy iC
件F fA
y
FNA
F fA , max tan f F NA , F fB F fB , max tan f F NB 可得：
10
6.考虑摩擦的平衡问题的分析要点
3)同一物体在多个接触点处存在摩擦的，注意判断运 动趋势时各接触点的滑动趋势之间的相容性。
（2）静摩擦力的大小： 物体仅处于平衡状态时:摩擦力Ff 大小未知，是独立 未知量，且满足不等式： F f F f S N 物体处于临界平衡状态时: 摩擦力不独立,满足等式
sin
FNC
C F fC
FAx
/2
A
F fD
W
f SC
FND
D
22
1 cos
例题
例 题 13
sin f SD
§7 力系的平衡
l F Fl sin ( Fl aW )( 1 cos )
f SC
sin 1 cos
F f F f , max f S F N
（3）考虑摩擦的物体系处于平衡时（包括静摩擦力
达到其最大值的临界平衡状态），平衡方程仍满足。
11
例题
例 题 11
A C
§7 力系的平衡
B
重W，长2l 的细长均质 杆，放于直角槽内，已 知杆与槽壁间的摩擦角 为m，求平衡时杆与左 槽壁的夹角。
S
16
两均质杆长度为l，重量为P，接触处D 的静滑动摩擦因数为 f S 3 / 4 ，施加 在杆BD上的主动力偶矩M使得系统在 图示位置保持平衡，求M的值。 解：杆受重力P及主动力偶M，D点可 能有两个方向的相对运动趋势。
FND
YO
1）假设BD杆有顺时针转动的趋势， 故设D点摩擦力方向如图：
cos 30 F fD l sin 30 0
3 2 )P 2M l
17
F fD (1
F ND F ND
3 3
P
F fD (1
3 2
)P
2M l
2）物理条件：由于D点摩擦力方向 不确定，故
F fD f S F ND 3 4 3 3 P P 4
1 cos a l F W a
f SD
Fl sin ( Fl aW )( 1 cos )
B
F
FNC
O
Bห้องสมุดไป่ตู้
C
FAy
A
F fC
FNC
C F fC
/2
A
F fD
W
FAx
FND
D
23
例题
例 题 13
B
§7 力系的平衡
sin 1 cos l a F
sin 1 cos
F fD f SD F ND f SD (
F fD sin l l
l a
B
F W )
C
F
FNC
O
B
F f SD ( F W ) 1 cos a a
FAy
A
F fC
19
例题
例 题 13
§7 力系的平衡
解：以轮为对象， 轮有向右运动的趋势。 故C、D处的摩擦力方向如图。 (1)对轮子列平衡方程：
M
iO
0
F fC r F fD r 0
F fC F fD
C F fC
FNC
O
F ix 0
M iA
F NC sin F fC cos F fD 0 sin F fC F NC 1 cos 0
（2）C处是否打滑（摩擦因数的条件 （3）D处是否打滑（摩擦因数的条件 则与 、F、W有关。
24
f SC
sin 1 cos
）， ）
只与角有关，与力F、轮子重量W无关。
f SD Fl sin ( Fl aW )( 1 cos )
例题
例 题 13
B
§7 力系的平衡
(F , Ff )
由平衡条件：F N P ， F f F
，M
f
组成的力偶称为主动力偶，其力偶矩为 Fh
4
滚阻力偶与主动力偶大小相等，方向相反，随主动力偶 的增大而增大(故此时轮子的滚动并未发生)。但滚阻力 偶不可能无限制的增大。其力偶矩的最大值为：
M
f , max
FN
称为滚动摩阻系数。
a.可先任意假定一个运动的方向及摩擦力指向，求解时
摩擦力的范围应为： f S F N F f f S F N 求解后根据摩擦力的正负号可判断摩擦力的真实方向。 b.也可分两种情况讨论，即按摩擦力的两种可能方向 分别进行计算，并综合两个结果得出结论。 按摩擦力的两种可能方向分别 F f F f S N 进行计算时摩擦力的范围应为
f
5
解题指导:带摩擦的系统平衡问题
求解带摩擦的系统平衡问题,关键是判断各接触点 的摩擦力的方向和大小(或大小的范围)。 注意：带摩擦的系统平衡问题,若系统仅处于 平衡状态，则满足平衡条件的主动力大小多在 一个范围之内，若系统处于临界平衡状态，则 主动力应为某个确定的值。
9
考虑摩擦的平衡问题的分析要点 （1）静摩擦力方向的判断： 1)画出受力图，由主动力判断其相对运动趋势而定。 2)若相对运动趋势可有两种选择：
矩Fh大于滚阻力偶最大值 F N ，轮子即可滚动。
的量纲为长度，通常 很小，只要主动力偶的力偶
的几何意义：使法向约束力FN向前进方向平移的最
大距离。
轮子不发生滚动的物理条件：
主动力偶 M
f , max
F
h
C
Ff
FN
滚动摩阻系数 只与接触面的变形程度有关
FN
P M A
3 2 3 8
Pl M
52 3 8
Pl
18
例题
例 题 13
§7 力系的平衡
B
带摩擦圆轮的滚动问题：
C
F
A
W
D
O
设轮的重量为W , 半径为r，不计重量的AB杆长 l ,轮 与杆及轮与地面的摩擦因数分别为fSC , fSD ，试求： 保证轮子静止时fSC 和 fSD 应满足的条件 ？
B
F ND a W a F NC a 0
/2
A
F fD
W
F ND F NC W
FND
D
20
例题
例 题 13
F fC F fD
F ND F NC W
§7 力系的平衡
F fC
sin 1 cos
F NC
(2)物理条件：由于C,D两处摩擦力已判断为如图方向
F ND F NC W
§7 力系的平衡
M iA 0
F fC
sin 1 cos
F NC
(3)以杆AB为对象：
F NC F NC
F fD F fC
F NC a F l 0
l a F W
l a
F
F NC
F ND F NC W
B
F fB
F fB F fB , max f S F NB tan f F NB F fA f S F NA tan f F NA
④
⑤
14
例题
例 题 11
§7 力系的平衡
min 1 2 f
①、②、④、⑤联立求出 F NA , F NB , F fA , F fB 后代入③得：
F
h
C
P
Ff
A FN
n
M A ( F i ) Fh
i 1
因此，无论 F 值多小，轮子都会滚动。
当 F f S F N 时，轮子作纯滚动。 F f S F N 时，轮子会连滚带滑。 而实际情况：F 需大于某一值时，轮子才会滚动。 因此，路面不仅有阻碍轮子滑动的静摩擦力 F f 存在， 而且还有阻止轮子滚动的阻力，称为滚动摩阻。
F
B
iy
0
F NB F fA W cos 0
iC
② ③
M
0
F NA l cos 1 F fA l sin 1
y
A
FNA
x
1
C
W
F NB l cos 1 F fB l cos 1 0
F fA
FNB
物理条件要求：
O XO
P
F fD
M
D
3 3
P
2
YB
B X B
P
FND
D
对杆BD：
M
l 2
B
0
M F ND l cos 30 P
工程力学（A）
(8-1)
北京理工大学理学院力学系
韩斌
22+3/II
思考题
F
F
若主动力 F
P
FN
Ff
的作用线向上移，结果如何？
F
F F
P
Ff
P
FN
Ff
FN F
N
2
5、滚动摩阻力偶 考虑圆轮置于不光滑的水平路面上， 设轮子与路面均是刚性的 (不变形) ， A处为点接触（理想状态！）。 由
F fD f S F ND
P 4
M 3 2 3 8 Pl
YO
O XO
FND
P
F fD
M
D
A F fD
D
(1
3 2
)P
2M l
P 4
YB
B X B
P
FND
(1
3 2
)P
2M l
P 4
M
52 3 8
Pl
A
F
C
W
D
O
（4）仅C处摩擦因数不满足条件，轮子相对于地面纯滚 动，而C处连滚带滑。 （5）若仅D处摩擦因数不满足条件，轮子相对于杆AB纯 滚动，而D处连滚带滑。 （6）若C、D处均不满足条件，轮相对地面、杆均为连滚 带滑向右运动。
25
F fC f SC F NC F fD f SD F ND
F fC
sin 1 cos
F NC f SC F NC
B
f SC
sin 1 cos
C F fC
FNC
O
/2
A
F fD
W
FND
D
21
例题
例 题 13
F fC F fD
max 2 2
f
x
1
A
F fA
故杆平衡的条件为 2 f 2 f y F x C C FNB A F fB F W B 2 W
NA
fA
FNB
B
F fB
15
例题
例 题 12
§7 力系的平衡
两均质杆长度都为l ，重量都为P，两杆接触处D的 静滑动摩擦因数为 f 3 / 4 ，施加在杆BD上的主动力 偶矩M使得系统在图示位置保持平衡，求M的值。
f SC sin
A
F
C
结论 C,D两处的摩擦因数应满足
1 cos
(1 aW Fl aW
D
W
O
f SD
Fl sin ( Fl aW )( 1 cos )
)
sin (1 cos )
（1）C，D处摩擦因数均满足条件时轮子才能 保持静止。
12
例题
例 题 11
A C
§7 力系的平衡
解： 1.受力分析 B 题中所求的平衡状态，
角应有一个范围，
临界状态是其平衡范 围的边界。
分析杆的滑动趋势，
min
和
max
是两个临界平衡状态。
13
例题
例 题 11
§7 力系的平衡
2.当杆处于B点下滑，A点上滑的临界状态时 1 min A Fix 0 F NA F fB W sin 0 ① C
3
原因：轮子与地面实际上都会发生变形，形成面接触， 因此地面对轮子的约束力为一分布力系。
F
A
C
P
F
h
C
P
Ff
或
h
f
F
Ff
C
P
A
将该力系向A点简化为法向约束力
FN
AM
FN 和切向约束力 F f
f
FN
外，还应有一约束力偶，其力偶矩为 M
。
Fh
由于 M f 阻碍轮子的滚动，称为滚(动摩)阻力偶。
3.当杆处于A点下滑、B点上滑的临界状态时， 2 max 同理，列出平衡方程 F 0 , F 0 , M 0 和物理条
ix iy iC
件F fA
y
FNA
F fA , max tan f F NA , F fB F fB , max tan f F NB 可得：
10
6.考虑摩擦的平衡问题的分析要点
3)同一物体在多个接触点处存在摩擦的，注意判断运 动趋势时各接触点的滑动趋势之间的相容性。
（2）静摩擦力的大小： 物体仅处于平衡状态时:摩擦力Ff 大小未知，是独立 未知量，且满足不等式： F f F f S N 物体处于临界平衡状态时: 摩擦力不独立,满足等式
sin
FNC
C F fC
FAx
/2
A
F fD
W
f SC
FND
D
22
1 cos
例题
例 题 13
sin f SD
§7 力系的平衡
l F Fl sin ( Fl aW )( 1 cos )
f SC
sin 1 cos
F f F f , max f S F N
（3）考虑摩擦的物体系处于平衡时（包括静摩擦力
达到其最大值的临界平衡状态），平衡方程仍满足。
11
例题
例 题 11
A C
§7 力系的平衡
B
重W，长2l 的细长均质 杆，放于直角槽内，已 知杆与槽壁间的摩擦角 为m，求平衡时杆与左 槽壁的夹角。
S
16
两均质杆长度为l，重量为P，接触处D 的静滑动摩擦因数为 f S 3 / 4 ，施加 在杆BD上的主动力偶矩M使得系统在 图示位置保持平衡，求M的值。 解：杆受重力P及主动力偶M，D点可 能有两个方向的相对运动趋势。
FND
YO
1）假设BD杆有顺时针转动的趋势， 故设D点摩擦力方向如图：
cos 30 F fD l sin 30 0
3 2 )P 2M l
17
F fD (1
F ND F ND
3 3
P
F fD (1
3 2
)P
2M l
2）物理条件：由于D点摩擦力方向 不确定，故
F fD f S F ND 3 4 3 3 P P 4
1 cos a l F W a
f SD
Fl sin ( Fl aW )( 1 cos )
B
F
FNC
O
Bห้องสมุดไป่ตู้
C
FAy
A
F fC
FNC
C F fC
/2
A
F fD
W
FAx
FND
D
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例题
例 题 13
B
§7 力系的平衡
sin 1 cos l a F
sin 1 cos
F fD f SD F ND f SD (
F fD sin l l
l a
B
F W )
C
F
FNC
O
B
F f SD ( F W ) 1 cos a a
FAy
A
F fC
19
例题
例 题 13
§7 力系的平衡
解：以轮为对象， 轮有向右运动的趋势。 故C、D处的摩擦力方向如图。 (1)对轮子列平衡方程：
M
iO
0
F fC r F fD r 0
F fC F fD
C F fC
FNC
O
F ix 0
M iA
F NC sin F fC cos F fD 0 sin F fC F NC 1 cos 0
（2）C处是否打滑（摩擦因数的条件 （3）D处是否打滑（摩擦因数的条件 则与 、F、W有关。
24
f SC
sin 1 cos
）， ）
只与角有关，与力F、轮子重量W无关。
f SD Fl sin ( Fl aW )( 1 cos )
例题
例 题 13
B
§7 力系的平衡
(F , Ff )
由平衡条件：F N P ， F f F
，M
f
组成的力偶称为主动力偶，其力偶矩为 Fh
4
滚阻力偶与主动力偶大小相等，方向相反，随主动力偶 的增大而增大(故此时轮子的滚动并未发生)。但滚阻力 偶不可能无限制的增大。其力偶矩的最大值为：
M
f , max
FN
称为滚动摩阻系数。
a.可先任意假定一个运动的方向及摩擦力指向，求解时
摩擦力的范围应为： f S F N F f f S F N 求解后根据摩擦力的正负号可判断摩擦力的真实方向。 b.也可分两种情况讨论，即按摩擦力的两种可能方向 分别进行计算，并综合两个结果得出结论。 按摩擦力的两种可能方向分别 F f F f S N 进行计算时摩擦力的范围应为
f
5
解题指导:带摩擦的系统平衡问题
求解带摩擦的系统平衡问题,关键是判断各接触点 的摩擦力的方向和大小(或大小的范围)。 注意：带摩擦的系统平衡问题,若系统仅处于 平衡状态，则满足平衡条件的主动力大小多在 一个范围之内，若系统处于临界平衡状态，则 主动力应为某个确定的值。
9
考虑摩擦的平衡问题的分析要点 （1）静摩擦力方向的判断： 1)画出受力图，由主动力判断其相对运动趋势而定。 2)若相对运动趋势可有两种选择：
矩Fh大于滚阻力偶最大值 F N ，轮子即可滚动。
的量纲为长度，通常 很小，只要主动力偶的力偶
的几何意义：使法向约束力FN向前进方向平移的最
大距离。
轮子不发生滚动的物理条件：
主动力偶 M
f , max
F
h
C
Ff
FN
滚动摩阻系数 只与接触面的变形程度有关
FN
P M A
3 2 3 8
Pl M
52 3 8
Pl
18
例题
例 题 13
§7 力系的平衡
B
带摩擦圆轮的滚动问题：
C
F
A
W
D
O
设轮的重量为W , 半径为r，不计重量的AB杆长 l ,轮 与杆及轮与地面的摩擦因数分别为fSC , fSD ，试求： 保证轮子静止时fSC 和 fSD 应满足的条件 ？
B
F ND a W a F NC a 0
/2
A
F fD
W
F ND F NC W
FND
D
20
例题
例 题 13
F fC F fD
F ND F NC W
§7 力系的平衡
F fC
sin 1 cos
F NC
(2)物理条件：由于C,D两处摩擦力已判断为如图方向
F ND F NC W
§7 力系的平衡
M iA 0
F fC
sin 1 cos
F NC
(3)以杆AB为对象：
F NC F NC
F fD F fC
F NC a F l 0
l a F W
l a
F
F NC
F ND F NC W
B
F fB
F fB F fB , max f S F NB tan f F NB F fA f S F NA tan f F NA
④
⑤
14
例题
例 题 11
§7 力系的平衡
min 1 2 f
①、②、④、⑤联立求出 F NA , F NB , F fA , F fB 后代入③得：
F
h
C
P
Ff
A FN
n
M A ( F i ) Fh
i 1
因此，无论 F 值多小，轮子都会滚动。
当 F f S F N 时，轮子作纯滚动。 F f S F N 时，轮子会连滚带滑。 而实际情况：F 需大于某一值时，轮子才会滚动。 因此，路面不仅有阻碍轮子滑动的静摩擦力 F f 存在， 而且还有阻止轮子滚动的阻力，称为滚动摩阻。
F
B
iy
0
F NB F fA W cos 0
iC
② ③
M
0
F NA l cos 1 F fA l sin 1
y
A
FNA
x
1
C
W
F NB l cos 1 F fB l cos 1 0
F fA
FNB
物理条件要求：