坐标轴的平移

x' y' 1 4 9
2
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2
o x
O '(2,-1)
x'
(2)经过怎样的平移变换，可把抛物线方
程 （y+3)2=4(x+1) 化为最简形式？
解：令x ' =x+1,y ' =y+3
原方程可化简为y ' 2=4x '
y' y
（y+3)2=4(x+1) o
O'
由平移公式
x=x ' -1, y=y ' -3 可知新系原点在原系中坐 标为（-1，-3）,即把坐标 系平移到O '(-1,-3)
o'
3
x'
例1 、如图，把原点移到O '(3,-4) (2)若点D（x,y），则它的新坐标D（ x ',y ' ） 是什么？
y 略解： y'
D（x,y）
x ' =x-3,
y ' =y-4
o o'
D(x-3, y-4) x'
x
例1 、如图，把原点移到O '(3,-4)
（3）若把O '(3,-4)改为O’(h,k), 那么点D （x,y）
x
x'
y ' 2=4x '
1、抛物线y=x2-2x-1的顶点坐标是（ ） （A）（1，2） （B）（1，-2） （C）（-1，2） （D）（-1，-2）
2 ( y 1 ) 2 2.双曲线x 1的右焦点的坐标是 3
（A）（2，0） （C）（2，1）
（B）（0，2） （D）（-2，1）
已知抛物线y2=a（x+1）的准线 方程是x = -3，试确定此抛物线 的方程及其焦点坐标。
y'
B(x,y) y
C(1,3) A(-5,3)
o' o
x
x
例3：已知ΔABC周长为16，且点A、C的坐标 为A（-5,3）,C(1,3),求点B的轨迹方程。 分析：如图AC=6,AB+BC=10, 即点B到A,C的距离之和为10， 所以点B的轨迹是以A,C为两
y B(x,y)
焦点，10为长轴的椭圆。但 A,B,C三点不能共线。
练习：
平移公式 1、如图，把原点O移到O ' （3，-4）， x ' =x-h, 求各点的新坐标： y ' =y-k
A（3，-2）B（6，2）C（-3，-2） 解： x ' =x-h, y ' =y-k
h=3,k=-4 则x ' =3-3=0, y ' =-2+4=2 即A ' （0，2）同理得
C O A
(3,4)
O
x'
'
x
定义：坐标轴的方向和长度都不变，只改变原
注：1、坐标轴的平移不改变坐标轴的方向和长度单位； 2、坐标轴平移不改变曲线的大小和形状，只改变曲线 上点的坐标和曲线的方程； 3、坐标轴平移可以把对称轴平行于坐标轴的圆锥曲
点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移。 简称移轴。
线的方程化为标准方程形式，有利于研究曲线的性质；
O'
y y' B
x
B ' （3，6）C ' （-6，2）
2、点M的坐标为（x+2,y-1）,经过 移轴变为（x,y）问新坐标系原点 坐标是: (2,-1)
x'
例2：平移坐标轴，把原点移到O ' （2，-1），
( x 2)2 ( y 1)2 1 关于新坐标系的方程： Y 4 9 y'
4、利用条件求解曲线方程。
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例3：已知ΔABC周长为16，且点A、C的坐标 为A（-5,3）,C(1,3),求点B的轨迹方程。
分析：如图AC=6,AB+BC=10, 即点B到A,C的距离之和为10， 所以点B的轨迹是以A,C为两 焦点，10为长轴的椭圆。但 A,B,C三点不能共线。
该椭圆的标准方程是:
2 x '2 y ' 25 +16 =1 ( y ' ≠ 0)
的新坐标D ' （ x ' ,y ' ）是什么？ y y'
D（x ',y ' ） D（x,y）
o
x o' x'
略解：
x ' =x-h,
y ' =y-k
D(x-h, y-k)
平移公式
x x h ' y yk
'
(x,y) 是点在原坐标系中的坐标
（x ’,y ’ ）是点在新坐标系中的 坐标 (h,k)是新坐标系中的原点的坐标
4、新坐标系原点位置的选定是化简曲线方程的关键。
新旧坐标系之间点的坐标存在什么样的关系呢？
例1 、如图，把原点移到O’(3,-4)
（1）求各点的新坐标：A（6，2）、 （-3，-2）
y y' 解：设新坐标为
2 -3 6
B
A(6,2) o
6
（x′ ,y ′）
B(-3,-2)
x
-2
则 A（3，6） B（-6，2）
例3：已知ΔABC周长为16，且点A、C的坐标 为A（-5,3）,C(1,3),求点B的轨迹方程。
y
分析：如图AC=6,AB+BC=10, 即点B到A,C的距离之和为10，
B(x,y)
所以点B的轨迹是以A,C为两 焦点，10为长轴的椭圆。但 A,B,C三点不能共线。
A(-5,3) o
C(1,3) x
如图
（x-3)2+(y-4)2=25
y
(3,4)
O
'
x
如图
（x-3)2+(y-4)2=25
y'
y
(3,4)
O
x'
'
x
如图
（x-3)2+(y-4)2=25
y'
(3,4)
O
'
x'
（x-3)2+(y-4)2=25
x ' 2+y ' 2=25
如图
x ' 2+y ' 2=25
y
y'
（x-3)2+(y-4)2=25
该椭圆的标准方程是
C(1,3) A(-5,3) o x
2 x '2 y ' 25 + 16 =1 ( y ' ≠ 0) 因为O ' （-2，3），所以在原系中方程为
（x+2)2 (y-3)2 =1 ( y ≠ 3) + 25 16
小结
1、坐标轴平移的特征和作用；
2、坐标平移公式； 3、化简曲线方程；