高中数学选修1-1 导数及其应用第一节变化率与导数 新课标人教B版 .ppt
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高中数学选修1课件：3.1.1变化率与导数
r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
V2 V1
x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化，
从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f (x x) f (x)
量 f 的平均变化率为
f f (x x) f (x)
x
x
令 x 0，则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率. （数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
t
0.2
药物浓度的 瞬时变化率
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
v s 2g 1 gt
t
2
(1) 将 t=0.1代入上式，得
O s(2)
v 2.05g 20.09(m / s) (2) 将 t=0.01代入上式，得
s(2+t) s
v 2.005g 19.65(m / s)
( 3) 当t 0,2 t 2
平均速度 v 的极限为:
x0
x
T
P
f (x 0 )
o
x0
x 即 kPT tan f (x 0 )
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 )在几何上表示 曲线y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率。
曲线y f (x)在点M (x0 , f (x0 ))处
的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )
0.01 -13.149
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
第三章 §3.1 导 数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
人教新课标版数学高二选修1-1课件 变化率问题导数的概念
答案
知识点二 瞬时速度
思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段 时间内的平均速度. 答 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， v ＝ΔΔst＝10＋5Δt. 思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一 速度？ 答 当Δt趋近于0时，ΔΔst 趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.
解
∵f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
3x0＋ΔΔxx2－3x20＝Δlixm→0
(6x0＋3Δx)＝6x0，
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
解析答案
返回
课堂检测
解析答案
5.已知函数f(x)＝ 1 ，则f′(1)＝__－__12____. x
f1＋Δx－f1
解析 f′(1)＝lim Δx→0
Δx
＝ lim Δx→0
＝ lim Δx→0
1＋1 Δx－1 Δx
－1 1＋Δx1＋
1＋Δx＝－12.
1 2345
解析答案
小结作业
利用导数定义求导数三步曲：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
即 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
返回
合作探究
类型一 求函数的平均变化率
例1 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率ΔΔyx ；
(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率
知识点二 瞬时速度
思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段 时间内的平均速度. 答 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， v ＝ΔΔst＝10＋5Δt. 思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一 速度？ 答 当Δt趋近于0时，ΔΔst 趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.
解
∵f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
3x0＋ΔΔxx2－3x20＝Δlixm→0
(6x0＋3Δx)＝6x0，
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
解析答案
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课堂检测
解析答案
5.已知函数f(x)＝ 1 ，则f′(1)＝__－__12____. x
f1＋Δx－f1
解析 f′(1)＝lim Δx→0
Δx
＝ lim Δx→0
＝ lim Δx→0
1＋1 Δx－1 Δx
－1 1＋Δx1＋
1＋Δx＝－12.
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解析答案
小结作业
利用导数定义求导数三步曲：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
即 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
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合作探究
类型一 求函数的平均变化率
例1 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率ΔΔyx ；
(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率
人教选修1-1A 变化率与导数 说课ppt1
课外思考 思考：关于田亮跳水的例子，当我们计算田 亮在某一段时间里的平均变化率分别为正数， 负数，0的时候，其运动状态是怎样的？能不 能用平均变化率精确的表示田亮的运动状态 呢？ 小结 让学生再次巩固变化率的概念，并发 现生活中和变化率有关的例子
教学反思
这节课主要是让学生体会平均变 化率，让学生感受数学。高中正是学 生人生观形成的重要时期，我觉得不 仅要引导学生对数学的学习兴趣，让 他们主动的学习数学，学会学习数学， 如果还能在吸收知识的过程中教会他 们学习做人 ，那真的是一箭双雕、一 石二鸟的教学模式
观察：气球变大的速度 思考：每次吹入差不多大小的气体 气球变大的速度一样吗？ 为什么？
对思考的问题给一个科 学的回答，就需要把这 个生活现象从数学的角 度，用数学语言进行描 述，解决问题
对一种生活现象的数学解释
引导： 1 这一现象中，哪些量在改变？ 2 变量的变化情况？ 3 引入气球平均膨胀率的概念
教法分析
适宜采用启发式讲解，互教学气氛
教学过程
一 引入 介绍导数背景
谁是导数概念的 第一发明人？ 豁达的心态 学习交流
二 传授新课
学习活动：每人配备一个气球，以学习 小组的形式，吹气球，观察， 并思考：
吹气球：每次都吹入差不多大小的一口气
重点：在实际背景下直观地实质地去理解平均变化率 难点：对生活现象作出数学解释
教学目标
知识目标：了解导数的实际背景，理解平均 变化率的概念
能力目标：体会平均变化率的思想及内涵
情感目标：使学生拥有豁达的科学态度，互 相合作的风格，勇于探究， 积极思考的学习精神
学生现状分析
由于新教材是以模块的形式进行展开教学 的，文科学生选修这一系列。文科学生的数学 一直都是弱项，他们的感性思维比较强，理 性思维比较弱，如果没有掌握好概念性的问题， 他们极容易在解题时钻牛角尖。而对导数，他 们是充满好奇却又一无所知的状态下开始学 习的，因此若能让学生主动参与到导数学习过 程中，让学生体会到自己在学“有价值的数 学”，激发学生的学习数学的兴趣，树立学 好数学的自信心。
人教课标版高中数学选修1-1《变化率与导数(第3课时)》名师课件
点
时，割线PPn的变化趋势是什么？
我们发现，当点Pn沿着 曲线无限接近点p即 时，割线PPn趋近于确定 的位置，这个确定位置 的直线PT称为曲线在点 P处的切线.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
问题探究二 导数有怎样的几何意义？重点、难点知识★▲ 想一想：（1）割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ （2）切线PT的斜率k为多少？
预习下节任务并完成 《变化率与导数（第4课时）》预习自测
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
点击“互动训练” 选择“《变化率与导数（第3课时）》随堂检测”
配套课后作业： 《变化率与导数（第3课时）》基础型 《变化率与导数（第3课时）》能力型 《变化率与导数（第3课时）》探究型 《变化率与导数（第3课时）》自助餐
有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；
③曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚
至可以无穷多个.
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 即
处的切线的斜率，
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
问题探究三 如何求切线在某点处的切线方程？
●活动一 初步运用导数几何意义
3.1 变化率与导数 (第3课时)
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
（1）函数f(x)从x1到x2的平均变化率为
（2）函数y=f(x)在x=x0处的导数是:
（3）两点
, 连线的斜率
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
问题探究一 曲线的切线是指什么
●活动一 分析实例
如下图，当
沿着曲线f(x)趋近于
●活动二 结合实例，深化运用
例2.在曲线y=x2上切线倾斜角为45°的点是（ ）
数学：选修1-1人教版精品课件3.1.1变化率与导数
解析：分别写出 x＝x0 和 x＝x0＋Δx 对应的函数值 f(x0) 和 f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量 Δy＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，故应选 D.
答案：D
8
2．若一质点按规律 s＝8＋t2 运动，则在时间段 2～2.1 中，平均速度是( ) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
答案：3－Δx
12
5．求函数 y＝x2 在点 x＝1 处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx) －1＝2Δx＋(Δx) ， Δy ∴ ＝2＋Δx.y′|x＝1＝ lim (2＋Δx)＝2. Δx Δx→0
2
2
13
14
1.函数的平均变化率的理解 定义中的 x1，x2 是指其定义域内不同的两个数，记 Δx fx2－fx1 Δy ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当 Δx≠0 时， ＝ Δx x2－x1 称作函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，理解平均变化率 应注意以下几点：
24
练 1 求函数 y＝2x2＋5 在区间[2,2＋Δx]上的平均变化 1 率；并计算当 Δx＝ 时，平均变化率的值． 2
[ 解 ] 因为 Δy＝ 2×(2 ＋ Δx) ＋ 5 － (2×2 ＋ 5)＝ 8Δx ＋ Δy 2 2(Δx) ，所以平均变化率为 ＝8＋2Δx. Δx 1 1 当 Δx＝ 时，平均变化率的值为 8＋2× ＝9. 2 2
18
注意：令 x＝x0＋Δx，得 Δx＝x－x0， fx－fx0 于是 f′(x0)＝ lim x x0 x－x0 fx0＋Δx－fx0 与定义中的 f′(x0)＝ lim 意义相同. Δx Δx→0
19
函数的平均变化率 2 例 1 已知函数 f(x)＝2x ＋3x－5. Δy (1)求当 x1＝4，且 Δx＝1 时，函数增量 Δy 和平均变化率Δx； Δy (2)求当 x1＝4，且 Δx＝0.1 时，函数增量 Δy 和平均变化率Δx； (3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
人教版高中数学选修1-1课件：3.1.3 导数的几何意义
备课素材
1．导数的几何意义 (1)导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k ＝lim f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时 速度． (2)导数与切线的关系：f′(x0)>0 时，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0 时，切线 的倾斜角为钝角；f′(x0)＝0 时，切线与 x 轴平行．f(x)在 x0 处的导数不存在， 则切线垂直于 x 轴或不存在．
∆������
(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法．
三维目标
2．过程与方法 通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、总结，发现问题，解决问题，从而达 到培养学生的学习能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的． 3．情感、态度与价值观 通过在探究过程中渗透逼近和“以直代曲”思想，使学生了解近似与精确间的辩证 关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值．
备课素材
(3)求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以 该点为由点的由线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则设出切 点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点． 2．“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的 极限，它是一个数值，不是变数．
备课素材
(2)“导函数”：如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说 f(x)在开区间(a，b)内
可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个导数 f′(x0)，这样就在开
(人教)2015高中数学选修1-1【精品课件】3-1 变化率与导数
0
(2)已知函数 f(x)=3x,则 f'(x)= 提示:3
.
3.1
目标导航
变化率与导数
预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
3.导数的意义 (1)导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即 k= lim
学习 目标
3.1
目标导导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
1.函数的平均变化率及其意义 (1)平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1). (2)几何意义: 平均变化率的几何意义是表示函数 y=f(x)图象上割线 P1P2 的斜率 (其中 P1(x1,f(x1)), P2(x2,f(x2)),即 ������������1 ������2 =
y=f(x)在 x=x0 处的导数,
记作 f'(x0)或 y'|������ =������ ,即 f'(x0)= lim
0
= lim
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) . Δ������ Δ������ →0
(2)当 x 变化时,f'(x)是 x 的一个函数,我们称 y=f'(x)为 f(x)的导函数 (简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作 y',即 f'(x)=y'= lim
������(������+Δ������)-������(������) . Δ������ Δ������ →0
(2)已知函数 f(x)=3x,则 f'(x)= 提示:3
.
3.1
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变化率与导数
预习导引
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3.导数的意义 (1)导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即 k= lim
学习 目标
3.1
目标导导学
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课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
1.函数的平均变化率及其意义 (1)平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1). (2)几何意义: 平均变化率的几何意义是表示函数 y=f(x)图象上割线 P1P2 的斜率 (其中 P1(x1,f(x1)), P2(x2,f(x2)),即 ������������1 ������2 =
y=f(x)在 x=x0 处的导数,
记作 f'(x0)或 y'|������ =������ ,即 f'(x0)= lim
0
= lim
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) . Δ������ Δ������ →0
(2)当 x 变化时,f'(x)是 x 的一个函数,我们称 y=f'(x)为 f(x)的导函数 (简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作 y',即 f'(x)=y'= lim
������(������+Δ������)-������(������) . Δ������ Δ������ →0
高中数学选修1-1导数及其应用第一节变化率与导数新课标人教B版-2022年学习资料
如果上述两个问题中的函数关系用y=fx表示-那么问题中变化率可狱了-f表-X2-X1-示，我们把这个式子称 数fx从x到x,的-平均变化率averagerate of change.习惯上-用△x表示x2-x,即△ =x2-x,-△x是一个整体符号而不是△与x相乘-可把△x看作是相对于x的一个"增量"，可用x+-△x代替 2;类似地，△y=fx2-fx-于是，平均变化率可表示为
例题分折-例3.经过曲线fx=x2+1上A、B两点作-割线，求割线的斜率-1xA=1,xB=2;-kAB 3-2x4=1,xB=15;-kAB =2.5-3xA=1,cB=1.1.-kAB =2.1
练习-①质点运动规律为s=t2+3,则在时间-3,3+△中相应的平均速度为6+△-2物体按t=3t2+t+ 的规律作直线运动-求在4s附近的平均变化率25+3△t-3过曲线=fx=x3上两点P1,1和-Q1+△c, +△y,做曲线的割线，求出当-△r=0.1时割线的斜率
你看过高台跳水比赛嗖-照片中锁定了运动员比-赛的瞬间已知起跳1s后，-运动员相对于水面的高-度h单位：m可 函数-hd=-4.9t2+6.5t+10表-示.如何求他在某时刻的-cnsphoto-速度？他距水面的最大 高度是多少？
1.1变化率与导数-丰富多彩的变化率问题随处可见-让我们从其中的两个题，开始变-化率与导数的学习吧
问题3：舜时速度-物体自由落体的运动方程是：-St=2gt2,-如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？-解：取一 段时间：[3,3+△t]-△S=-283+△t2--76+△8
问题3：舜时速度-解：取一小段时间：[3,3+△t]-△S=-9-2g3+△2--6+△t-当人t→0时， 7>3g=29.4-平均速度的极限为瞬时速度
高二数学人教B版选修1-1全册课件3-1-1平均变化率、瞬时速度与导数
5．已知函数 y＝x3－2，当 x＝2 时，ΔΔyx＝__________.
[答案] (Δx)2＋6Δx＋12
人
[解析] Δy＝(Δx＋2)3－2－23＋2
教 B
版
＝Δx3＋6Δx2＋12Δx，
数 学
∴ΔΔyx＝Δx2＋6Δx＋12.
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版
数
学
＝liΔxm→0
2 2(x＋Δx)＋1＋
2x＋1＝
1 2x＋1 .
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
一、选择题
1．在曲线 y＝x2＋1 的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1
＋Δx,2＋Δy)，则ΔΔyx为 A．Δx＋Δ1x＋2
如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体现导数在
解决实际问题中的作用．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
2．情感目标
通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的
联系，感受和体会导数在解决实际问题中的作用，提高学
人 教
B
生学习兴趣，感受导数在解题中的作用和威力，自觉形成
版 数
学
将数学理论和实际问题相结合的思想，在解题过程中，逐
人
()
教 B
版
数
B．Δx－Δ1x－2
学
C．Δx＋2
D．2＋Δx－Δ1x
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
[答案] C
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－12－1 人
教
＝Δx2＋2Δx.
B 版
数
∴ΔΔyx＝Δx＋2.
高中数学 导数及其应用第一节变化率与导数人教版选修1-1.ppt
瞬时速度，那么如何求函数f(x)在
x=x0点的瞬时变化率呢？
可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：
lim
△x 0
f(x0+△x)－f(x0)
△x
=
lim
△x 0
△f △x
导数
函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：
lim
△x 0
f(x0+△x)－f(x0)
△x
lim
= △x 0
△f △x
我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数．
解：y (1 x)2 12 2x (x)2
y 2x (x)2 2 x
x
x
lim y lim (2 x) 2
x x0
x0
y' |x1 2
小结：
１．平均速度
瞬时速度；
２．平均变化率
瞬时变化率；
３．导数
f’(x0)=
lim
△x 0
f(x0+△x)－f(x0)
△x
问题2 高台跳水
人们发现, 在高台跳水运动中, 运动员相对于水
面的高度 h 单位: m与起跳后的时间t单位: s
存在函数关系ht 4.9t2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段时间内的平均速度v描
述其运动状态,那么
在0 t 0.5这段时间里,
v
h0.5
0.5
h0
0
4.05 m
/
s;
在1 t 2这段时间里,
例题分析
例 1. 已知函数f (x) x2 x的图像上的一点 A(1， 2)及附近一点B(1 x， 2 y)，则
y x 3.
x
例 2. 求y x2在x x0附近的平均变化率.
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B A
f x2 f x1
x 2 x1
O
x1
x2
x
思考 观察函数 f x 的图象图1.1.1 , 平均 变化率 f f x2 f x1 x x2 x1 表示什么?
直线AB的斜率
图1.1 1
它是曲线y f ( x )上的点( x1，f ( x1 ))， ( x2，f ( x2 ))两点的割线的斜率 .
思考：当空气容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题 2 高台跳水 人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水 面的高度 h 单位 : m 与起跳后的时间t 单位 : s 2 存在函数关系 h t 4.9t 6.5t 10. 如果我们用运动员某段 时间内的平均速度 v描 述其运动状态 , 那么 在0 t 0.5这段时间里, h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0.5 0 在1 t 2这段时间里, h2 h1 v 8.2 m / s . 21
. 习惯上 平均变化率averagerate of change
x代替x2 ; 类似地, y f x2 f x1 . y 于是, 平均变化率可表示为 . x
可把x 看作是相对于 x1 的一个 " 增量" , 可用 x1
y
y f x f x 2 f x 1
1.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率 很多人都吹过气球 .回忆一下吹气球的过程 , 可以发现, 随着气球内空气容量的 增加, 气球 的半径增加得越来越慢 .从数学的角度 , 如何 描述这种现象呢? 我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V r r , 3 如果把半径r表示为体积V的函数, 那么
割线，求割线的斜率 .
(1) x A 1，x B 2 ; ( 2) x A 1，x B 1.5 ; ( 3) x A 1，x B 1.1 .
k AB 3 k AB 2.5 k AB 2.1
练 习
（ 1 ）质点运动规律为 s t 3，则在时间
2
(3， 3 t )中相应的平均速度为 6 .t
第一章 导数及其应用
一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现 象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产 生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题 的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物 体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、 变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的 工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相 对于另一个变量变化的快慢程度．
ht 4.9t 2 6.5t 10 表 示.如何求他在某时刻的 速 度 ? 他 距水面的最大 高度是多少?
你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比 赛的瞬间 . 已知起跳1 s后, 运动员相对于水面的高 度 h 单位 : m 可用函数
1.1 变化率与导数
丰富多彩的变化率问题 随处可见. 让我们从其中的两个问 题, 开始变 化率与导数的学习吧 !
65 探究 计算运动员在 0t 这段时间 49 里的平均速度 , 并思考下面的问题:
1 运动员在这段时间里是 静止的吗? 2 你认为用平均速度描述运动员运动
状态有什么问题吗 ?
探究过程：如图是函数h(t)= 4.9t2+6.5t+10的图像，结合图 65 形可知， h( ) h(0) ， 所以， 49
例题分析
例 1. 已知函数f ( x) x x的图像上的一点 A(1， 2)及附近一点B(1 x， 2 y )，则 y . x
2
x 3
2
. 例 2. 求y x 在x x0附近的平均变化率
2 x0 x
例题分析
例 3.经过曲线 f ( x ) x 2 1上A、B两点作
2
（2）物体按s( t ) 3t t 4的规律作直线运动， 求在4 s附近的平均变化率 . 25 3t
3.31
（3）过曲线y f ( x ) x 上两点P (1,1)和 Q(1 x， 1 y )，做曲线的割线，求出 当 x 0.1时割线的斜率 .
3V r 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62dm / L . 10 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16dm / L . 2 1 可以看出, 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨 胀率逐渐变小了. 思考 当空气的容量从 V1增加到V2时, 气球的平 均膨胀率是多少 ?
65 h( ) h(0) v 49 0( s / m) 65 0 49
o
h
t
65 虽然运动员在 0 t 49 这段时间里的平均速度 为 0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然运动，并
非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运 动员的运动状态．
如果上述两个问题中的 函数关系用y f x 表示, f x2 f x1 那么问题中变化率可用 式子 表 x2 x1 示, 我们把这个式子称为函 数 f x 从 x1到 x2的 用x表示 x2 x1 , 即 x x2 x1 , x是一个整体符号 ,而不是与x相乘.