高中数学必修5第一章《余弦定理》教案

课题: §1.1.2余弦定理（第1课时）

授课教师：惠来第二中学陈金利

教材：人教A版必修5第一章第一节

一、教学目标

1．知识与技能

（1）能选用适当的方法证明余弦定理（主要是向量法）；

（2）能从余弦定理得到它的推论；

（3）能利用余弦定理及推论解三角形（两类）.

2．过程与方法

（1）经历利用向量的方法证明余弦定理的过程，体会向量与三角之间的关系；

（2）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力.

3．情感态度与价值观

（1）通过余弦定理与勾股定理的对比，体会特殊与一般的关系.

（2）通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，理解事物之间的普遍联系与辩证统一.

二、教学重点、难点

重点：余弦定理及推论证明和其基本应用；

难点：余弦定理证明的方法的选用以及必要性的体会.

三、教学方法和手段

教学方法：启发式教学（讲练相结合）

教学手段：运用多媒体进行教学

四、教学过程

1.情景设置：隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC.

2.讲授新课

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因∠C 、∠B 均未知，所以较难求边.

提问：我们可以从哪些角度来研究这个问题，得到一个关系式或计算公式？

（老师引导学生从向量法及三角法得出关系式）

引导学生用向量方法来研究这个问题，由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题.

如图1．1-3，设=，=，=，那么-=，则

)()(-⋅-=⋅=

⋅-⋅+⋅=2

C ab b a cos 222-+=

从而 C ab b a c cos 2222-+= (图1．1-3)

同理可证A bc c b a cos 2222-+=

B ac c a b cos 2222-+=

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即

A bc c b a cos 2222-+=

B ac c a b cos 2222-+=

C ab b a c cos 2222-+=

引导学生解决情景问题：

若测得：AB ＝１千米，AC ＝ 千米，∠060=A ，求山脚BC 的长度 ．解： 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

2

3A AC AB AC AB BC cos |||2||||222⋅⋅-+=47212312)23(122=⨯⨯⨯-+

=2

7=∴BC

222

cos 2+-=b c a A bc

222

cos 2+-=a c b B ac 222

cos 2+-=b a c C ba

[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若ABC ∆中，090=c ，则0cos =c ，这时222b a c += 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.

[例题分析]

例1.在△ABC 中，已知 ，求角A 、B 、C.

例2.在△ABC 中，已知 ，求b 及A.

例3.在△ABC 中， ，那么A 是（ ）

A 、钝角

B 、直角

C 、锐角

D 、不能确定

提出问题：若222c b a +<呢？由学生回答，老师再进行总结.

总结：设a 是最长的边，则 △ ABC 是钝角三角形 △ABC 是锐角三角形 △ABC 是直角角三角形

例4.在三角形ABC 中，已知1413cos ,8,7=

==c b a ,求最大角的余弦值. [课堂练习]

（1）在ABC ∆中，已知4:3:2sin :sin :sin =C

B A

求 C cos 的值. 13,2,6+===c b a O B c a 45,26,32=+

==222c

b a +>2

22c b a +>⇔2

22c b a +<⇔222c b a +=⇔

（2）已知13,34,7===c b a ，求最小的内角.

（3）在ABC ∆中，若bc c b a ++=222，求角

3.课堂小结：

（1）余弦定理适用于任何三角形

（2）余弦定理的作用：

a 、已知三边，求三个角

b 、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角

c 、判断三角形的形状

（3）由余弦定理可知：

4.课后作业

（1）课后阅读：课本第8页[探究与发现]

（2）课时作业：第10页[习题1.1]A 组第3（1），4（1）题。

5.板书设计

022290A a b c >⇔>+022290A a b c =⇔=+022290A a b c <⇔<+