函数建模案例_课件1
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在我们学习过的函数图像中，二次函数的图像与之最接近，因此可以 用二次函数近似地表示这种变化。
为此，设函数式为y=ax2+bx+c：取三对数据可求出表达式的系数， 不妨取(18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172)，得方程组
则函数解析式为
四、求最小用气量
求燃气用量最少时的旋钮位置，实际上是求函数的最小值点x0
(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175㎝，体重为78㎏的在校 男生的体重是否正常?
典例讲解
解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图
60 50 40 30 20 10
0
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60
抽象概括
用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫做数学建模。
数学建模的过程如图：
实际情景
提出问题
数学模型
数学结果
可用结果 合乎实际 检验
不合乎实际
典例讲解
例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm 体重/kg
身高/cm 体重/kg
60 6.13 120 20.92
70 7.90 130 26.86
x0
b 2a
1.4722 10 3 2 1.9033 10 5
39
即燃气用量最少时旋钮的位置是旋转39度，这时的用气量为
五、检验分析
取旋转39度角，烧开一壶开水，所得实际用气量是不是0.1218m3? 如果基本吻合就可以依托此做结论了。 如果相差大，特别是这个用量大于0.122，最小值点就肯定不是39度 了，说明这三对数据取的不好，可以换另外的点重新计算.然后再检验。 直至结果与实际比较接近就可以了。 实际上，我们从已知的五对数据可以看出，如果取(18,0.130)， (36,0.122)，(54,0.139)，函数的最小值点就小于36。了。
问题提出
例1 现在燃气价格不断上升，用燃气烧水做饭是必要的，但怎样用气 才能做到节约。怎样烧开水最省燃气呢？
省燃气的含义就是烧开一壶水的燃气用量少。 烧水时是通过燃气灶上的旋钮控制燃气流量的，流量随着旋钮位置的 变化而变化。由此可见，燃气用量与旋钮的位置是函数关系。 于是，问题是：旋钮在什么位置时烧开一壶水的燃气用量最少？
函数建模案例
知识回顾
解函数应用题的一般流程
审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系。
建模 求模
将文字语言转化为数学语言，用数学知识建 立相应的数学模型。
求解数学模型，得到数学结论。
还原
将用数学方法得到的结论还原为实际问题。
问题引入
现在许多家庭都以燃气（天然气、煤气、 液化气、沼气等）为烧水做饭的燃料，请 同学简单的概述燃气灶烧水的环节。
2. 在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用 的燃气量。 3. 利用数据拟合函数，建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函
数解析式。
4. 利用函数解析式求最小用气量。 5. 对结果的合理性作出检验分析。
二、数学实验
为减少实验误差，要保证每次烧水时水壶的起始温度是一样的.所以， 在做实验之前，记录相关数据得到下表:
典例讲解
根据图中点的分布特点，设y=a·bx这一函数来近似刻画其关系;
典例讲解
(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍 为偏瘦，那么这个地区一名身高为175㎝，体重为78㎏的在校男生的 体重是否正常?
解 (2)将x=175代入y=2×1.02x，得y=2×1.02175 用计算器得：y≈63.98，由于78÷63.98 ≈ 1.22>1.2, 所以这个男生偏胖。
一、建立数学模型解决问题的方案
1. 给定燃气灶和一只水壶，因为燃气灶关闭时，燃气旋钮的位置为竖 直方向，我们把这个位置定为0o；燃气开到最大时，旋钮转了90o. 选择燃气灶旋钮的五个位置18o，36o，54o，72o，90o图象。
0° 18° 36° 54° 72° 90°
一、建立数学模型解决问题的方案
80 9.99 140 31.11
90 12.15 150 38.85
100 15.02 160 47.25
110 17.50 170 55.05
(1)根据表提供的的数据，能否建立一个恰当的函数模型，使它能近似 地反映这个地区一体化未成年男性体重y㎏与身高x㎝的函数关系?试 写出这个函数模型的关系式；
分析理解
设想，当旋钮转角非常小时，燃气流量也非常小，甚至点火后的热量 不足以将一壶水烧开，如果一直烧下去，燃气用量将无止境； 随着旋钮转角增大，即燃气流量渐渐增大。但旋钮转角很大时，燃气 不一定充分燃烧，过分的热量也不能充分作用于水壶，会产生浪费， 反而会使烧一壶开水的燃气用量增大。旋钮在什么角度用气量最小呢？ 我们不可能测出所有旋钮转角对应的燃气用量值，于是，试图经过实 验测出几组数据，然后用这些数据拟合函数，得到所求。
位置
项目 燃气表开始 水开时燃气 所用燃气量
时读数/m3 表读数/m3
/m3
18o
9.080
9.210
0.130
36o
8.958
9.080
0.122
54o
8.819
8.958
0.139
72o
8.670
8.819
0.149
90o
8.498
8.670
0.172
用表内数据，用横坐标表示旋钮位置，纵坐标表示烧开一壶 水燃气用量的点，在直角坐标系上标出各点。
三、拟合函数
从所选的5组数据可以判断燃气用量与旋钮角度之间存在什么样的关系呢？
百度文库
燃气用量/m3
0.2
0.172
0.130 0.122 0.139 0.149
0.1
0
18o
36o
54o
72o
90o 旋钮角度
从图可以看出，5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气 用量有一个从小到大的过程。
三、拟合函数
为此，设函数式为y=ax2+bx+c：取三对数据可求出表达式的系数， 不妨取(18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172)，得方程组
则函数解析式为
四、求最小用气量
求燃气用量最少时的旋钮位置，实际上是求函数的最小值点x0
(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175㎝，体重为78㎏的在校 男生的体重是否正常?
典例讲解
解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图
60 50 40 30 20 10
0
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60
抽象概括
用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫做数学建模。
数学建模的过程如图：
实际情景
提出问题
数学模型
数学结果
可用结果 合乎实际 检验
不合乎实际
典例讲解
例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm 体重/kg
身高/cm 体重/kg
60 6.13 120 20.92
70 7.90 130 26.86
x0
b 2a
1.4722 10 3 2 1.9033 10 5
39
即燃气用量最少时旋钮的位置是旋转39度，这时的用气量为
五、检验分析
取旋转39度角，烧开一壶开水，所得实际用气量是不是0.1218m3? 如果基本吻合就可以依托此做结论了。 如果相差大，特别是这个用量大于0.122，最小值点就肯定不是39度 了，说明这三对数据取的不好，可以换另外的点重新计算.然后再检验。 直至结果与实际比较接近就可以了。 实际上，我们从已知的五对数据可以看出，如果取(18,0.130)， (36,0.122)，(54,0.139)，函数的最小值点就小于36。了。
问题提出
例1 现在燃气价格不断上升，用燃气烧水做饭是必要的，但怎样用气 才能做到节约。怎样烧开水最省燃气呢？
省燃气的含义就是烧开一壶水的燃气用量少。 烧水时是通过燃气灶上的旋钮控制燃气流量的，流量随着旋钮位置的 变化而变化。由此可见，燃气用量与旋钮的位置是函数关系。 于是，问题是：旋钮在什么位置时烧开一壶水的燃气用量最少？
函数建模案例
知识回顾
解函数应用题的一般流程
审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系。
建模 求模
将文字语言转化为数学语言，用数学知识建 立相应的数学模型。
求解数学模型，得到数学结论。
还原
将用数学方法得到的结论还原为实际问题。
问题引入
现在许多家庭都以燃气（天然气、煤气、 液化气、沼气等）为烧水做饭的燃料，请 同学简单的概述燃气灶烧水的环节。
2. 在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用 的燃气量。 3. 利用数据拟合函数，建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函
数解析式。
4. 利用函数解析式求最小用气量。 5. 对结果的合理性作出检验分析。
二、数学实验
为减少实验误差，要保证每次烧水时水壶的起始温度是一样的.所以， 在做实验之前，记录相关数据得到下表:
典例讲解
根据图中点的分布特点，设y=a·bx这一函数来近似刻画其关系;
典例讲解
(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍 为偏瘦，那么这个地区一名身高为175㎝，体重为78㎏的在校男生的 体重是否正常?
解 (2)将x=175代入y=2×1.02x，得y=2×1.02175 用计算器得：y≈63.98，由于78÷63.98 ≈ 1.22>1.2, 所以这个男生偏胖。
一、建立数学模型解决问题的方案
1. 给定燃气灶和一只水壶，因为燃气灶关闭时，燃气旋钮的位置为竖 直方向，我们把这个位置定为0o；燃气开到最大时，旋钮转了90o. 选择燃气灶旋钮的五个位置18o，36o，54o，72o，90o图象。
0° 18° 36° 54° 72° 90°
一、建立数学模型解决问题的方案
80 9.99 140 31.11
90 12.15 150 38.85
100 15.02 160 47.25
110 17.50 170 55.05
(1)根据表提供的的数据，能否建立一个恰当的函数模型，使它能近似 地反映这个地区一体化未成年男性体重y㎏与身高x㎝的函数关系?试 写出这个函数模型的关系式；
分析理解
设想，当旋钮转角非常小时，燃气流量也非常小，甚至点火后的热量 不足以将一壶水烧开，如果一直烧下去，燃气用量将无止境； 随着旋钮转角增大，即燃气流量渐渐增大。但旋钮转角很大时，燃气 不一定充分燃烧，过分的热量也不能充分作用于水壶，会产生浪费， 反而会使烧一壶开水的燃气用量增大。旋钮在什么角度用气量最小呢？ 我们不可能测出所有旋钮转角对应的燃气用量值，于是，试图经过实 验测出几组数据，然后用这些数据拟合函数，得到所求。
位置
项目 燃气表开始 水开时燃气 所用燃气量
时读数/m3 表读数/m3
/m3
18o
9.080
9.210
0.130
36o
8.958
9.080
0.122
54o
8.819
8.958
0.139
72o
8.670
8.819
0.149
90o
8.498
8.670
0.172
用表内数据，用横坐标表示旋钮位置，纵坐标表示烧开一壶 水燃气用量的点，在直角坐标系上标出各点。
三、拟合函数
从所选的5组数据可以判断燃气用量与旋钮角度之间存在什么样的关系呢？
百度文库
燃气用量/m3
0.2
0.172
0.130 0.122 0.139 0.149
0.1
0
18o
36o
54o
72o
90o 旋钮角度
从图可以看出，5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气 用量有一个从小到大的过程。
三、拟合函数