1 有限单元法简介

但是能够用解析法求解的只是少数性质比较简单和
边界比较规则的问题，实际结构的形状和所受到的 载荷往往比较复杂，按解析法求解是非常困难的。
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一、数值模拟方法概述
解决这类复杂问题主要有两种方法： 1、引入简化假设，使其达到能用解析法求解的状态，然 后求其近似解（未必可行，容易导致不正确的解答） 2、保留问题的复杂性，利用数值模拟方法求得问题的近 似解（较多采用）
四、利用有限元软件进行工程分析
五、结后语
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固
体力学中的位移场、应力场分析；电磁学中的电磁
场分析；热力学中的温度场分析；流体力学中的流 场分析等，都可以归结为在给定边界条件下求解其 控制方程的问题。 虽然人们能够得到它们的基本方程和边界条件，
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一、数值模拟方法概述
由数值模拟方法结合计算机技术形成的应用软件 在工程中得到广泛的应用，国际上著名的有限元通用 软件有： ANSYS, ABAQUS, MCS.PATRAN, MCS.NASTRAN, MCS.MARC, ADINA, FLAC等
它们大多采用FORTRAN语言编写，不仅包含多 种条件下的有限元分析程序，而且带有强大的前处理 和后处理程序。
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发展，并且扩大了应用 有限单元法简介
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二、有限单元法简介
3. 发展方向
新型单元的研究
有限元的数学理论
向新领域扩展应用 大型通用程序的编制和设计 ANSYS, NASTRAN, ABAQUS 开发微机用版本 设计自动化及优化设计（CAD, CAE, CAM）
点进 行编号
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三、有限单元法分析步骤
2、选择位移插值函数
为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力， 在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布做出
一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简单函数。
选择适当的位移函数是有限单元法中的关键。
f N
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学习目的及方法
目的
了解FEM数学力学基础； 把握FEM求解具体问题的基本过程； 应用FEM ，特别是运用已有的通用或专用软件 求解实际工程技术问题；
方法
注重深入理解FEM思想的建立，数学力学基础;
运用通用或专用有限元程序进行工程问题分析；
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第1章
有限单元法概述
一、数值模拟方法概述
二、有限单元法简介
三、有限单元法分析步骤
有限单元法简介
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期末考试
共四题，每题25分
英文出题
闭卷，笔算
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课程学习基本要求
教材及参考书
1、李人宪. 有限单元法基础(第二版) [M]. 北京: 国防工业出版社, 2004 2、傅永华. 有限单元法基础[M]. 武汉: 武汉大学 出版社, 2003 3、黄国权. 有限单元法基础及ANSYS应用 [M]. 北 京: 机械工业出版社, 2004 4、王勖成、邵敏.有限单元法 [M]. 北京: 清华大 学出版社, 1997.
.
2
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节点 单元
真实的二次曲线
.
.. .
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节点 单元
. .
真实的二次曲线
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.
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.
节点 单元
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单元形函数(续)
遵循:
• DOF值可以精确或不够精确地等于节点处的真实解，但单元内的平均值 与实际情况吻合得很好。 • 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力、 热梯度）。 • 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导 出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。
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三、有限单元法分析步骤
有限元法分析问题的基本步骤：
1、结构的离散化
离散化就是将要分析的结构分割成有限个单元体，并在
单元的指定位置设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定
的连续性，构成单元的集合体代替原来的结构。
结构离散化时，划分的单元大小和数目应根据计算精度 的要求和计算机的容量来决定 选取坐标（右手法则） 选择合适的单元，离散结构物为有限个单元，并对单元、节
1、有限单元法FEM（Finite Element Method） 2、边界元法 BEM（Boundary Element Method） 3、有限差分法FDM（Finite Difference Method ） 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
非线性的、边界不规则的问题 数值分析法
只能解决极少的 方程求解，而且 解答复杂。
图1 工程问题的求解思路 有限单元法简介
近似解
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二、有限单元法简介
1. 有限元法 定义
是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
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节点和单元
载荷 节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元:
一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维单元或三维单元等。
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通 过节点连接，并承受一定载荷。 载荷
数值模拟技术（即CAE技术，Computer-aided Engineering）是人们在现代数学、力学理论的基础上， 借助于计算机技术来获得满足工程要求的数值近似解， 是现代工程仿真学发展的重要推动力之一。
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一、数值模拟方法概述
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有：
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节点和单元 (续)
节点自由度随连接该节点的 单元类型 变化。
J
J 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
I L K
I
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
二维或轴对称实体单元 UX, UY
I I P M L N K J 有限单元法简介 I
有限单元法
Finite Element Method
王璐
博士 副教授 土木工程学院 南京工业大学
桂林电子科技大学机电工程学院
课时安排
共 38 学时
上课36wenku.baidu.com时
考试2学时（第19周）
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考试考核成绩构成
听课表现(20分) 大作业 （20分） 期末考试（60分）
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三、有限单元法分析步骤
4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方 程 先将各个单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵 [K]，然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的
载荷列阵
[K ] =Σ[K]e
5、由平衡方程求解未知节点位移{δ}
按照问题的边界条件修改总的平衡方程，并进行求 解。
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二、有限单元法简介
4. 有限元法的分类
以方程中未知数代表的意义分类
有限元位移法：未知数为位移
有限元力法：未知数为力 有限元混合法：未知数为力和位移
以推导方法分类
直接法
变分法
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加权余数法
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二、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
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有限元模型
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自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
物理场 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
K F
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三、有限单元法分析步骤
6、单元应变和应力的计算
• 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果 的“形状”。 • 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性 。
• 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影 响求解精度。 2017/2/27 有限单元法简介
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单元形函数(续)
DOF值二次分布 二次曲线的线性近似 (不理想结果)
.
1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果)
遵循原则:
• 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型 所假定的单元形函数。 • 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足 够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。
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二、有限单元法简介
有限单元法的基本思想：
1、将一个连续域离散化为有限个单元，并通过有限个节点相连 接的等效集合体。由于单元能按照不同的联结方式进行组合， 且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂 的求解域。 2、有限元法利用在每一个单元内假设的的近似函数来分片地表 示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场 函数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。 3、一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个节点上的数值 就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离 散的有限自由度问题。 4、一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单 元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然， 随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自 由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改 进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
L
K J 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
J
O P 三维实体结构单元 UX, UY, UZ M L N
O
三维实体热单元 TEMP
K
I
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J
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单元形函数
• FEA（Finite element analysis ）仅仅求解节点 处的DOF值。 • 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值 到单元内所有点处DOF值的计算方法。
割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组
合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理， 把问题化成代数方程组求解。
分析指导思想
化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易。
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二、有限单元法简介
2. 发展简史
1943年，Courant提出有限元法概念 1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机
大多数有限元通用软件拥有良好的用户界面、使 用方便，功能强大。
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二、有限单元法简介
[FEM求解工程问题思路]
工程问题求解的基本过程 工程中的问题 本构关系 线性的、边界规则的问题 解析法 精确解
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FEM犹如万能钥匙 ，是解决工程问题的 主流数值分析方法
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{f}
[N ]
— 单元内任意点的位移列矩阵
— 单元形函数矩阵 — 单元节点位移的列矩阵
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e

e
有限单元法简介
三、有限单元法分析步骤
3、分析单元的力学特性
利用几何方程、本构方程和变分原理得到单元的 刚度矩阵和载荷矩阵
{R}e= [K]e {δ}e
{R}e — 单元节点力
[K]e — 单元刚度矩阵
机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度
1960年，Clough正式提出有限元法（FEM） 20世纪60年代，我国数学家冯康把FEM总结成凡是椭圆
形偏微分方程都可用FEM求解
2u 2u 2u u 0 ( 2 2 2 0) x y z
2
20世纪60年代以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬勃