第6章信号的分析和处理

x
A 1.414 1 mV 22
信噪比 SNR 20lg x 20lg 103 20 dB
N
102
(4) 通过滤波器后，随机噪声的均方值
2 N2

RN2 (0)


S N ( f )df
10 10 10 3 10 7 V 2
(5)
标准差变为 信噪比
eat (t 0, a 0)
y(t)
0
(t 0)
的傅里叶变换及频谱
Y ( ) y(t)e jt dt eat e jt dt 1


a j
因为
cos 0t

e e j 0 t
j 0 t
2
由频移性质，有 X () 1 [
1

1
]
2 a j( 0 ) a j( 0 )
于是，有
X(f) 1[
1

1
]
2 a2 4π2 ( f f0 )2 a2 4π2 ( f f0 )2
7 用一个一阶系统做100Hz正弦信号的测量，若要求幅值误差在
5%以内，时间常数应取为多少？若用该时间常数在同一系统测试振
(4) 输出信号的均方值：

2 y

lim 1 T T
T 0
x2 (t)dt

Ry
(0)


S y ( f )df


T

2
S
0[sin
c(πfT
)]2
df
T 2S0
sin 2 (πfT ) df
(πfT )2
T 2S0 πT

sin 2 (πfT )d(πfT ) (πfT )2
(A) 时域；(B)频域；(C) 幅值域；(D)复频域 8、倒频谱函数自变量可使用的单位是( )。
(A) 秒；(B)赫兹；(C) 毫伏；(D)毫米/秒 9、如图所示,含有正弦信号的随机信号的概率密度函数图为(D)
10、对某设备采用均方根值诊断法，如果关注的振动频率是50Hz， 那么适宜的测量参数是（ ）。
对于同频的周期信号，有
Rxy(τ)= (x0y0/2)cos(ωτ+φ) 不同频的周期信号不相关，周期信号与随机信号不相关。做输 入和输出的互相关，可以排除噪声干扰。 利用两个传感器信号的互相关分析，测定信号到达两个传感器 的时间差，进而得出两点间的距离或两点间运动物体速度。 通过不同时间差所对应的幅值确定信号的主要传输通道或主要 信号源。 4、测量系统输出与输入之间的相干函数小于1的可能原因是什么？ 测试中有外界噪声干扰；输出是输入和其它输入的综合输出； 联系输入和输出的系统是非线性的。

TS0 π
π
TS0
9 一个幅值为1.414 mV，频率为5kHz的正弦信号被淹没在正态分
布均值为零的随机噪声中。该噪声的功率谱为带限均匀谱，其截止 频率为1 MHz，谱密度为10−10 V2Hz−1。
(1) 求噪声的总功率，有效值和标准差。 (2) 画出正弦信号加随机噪声的合成信号的自相关函数的图形。 (3) 对正弦信号和随机噪声求以分贝为单位的信噪比。 (4) 使合成信号通过一个中心频率为5 kHz，带宽为1 kHz的带通滤 波器。这样，信噪比增加到多少分贝？
N2
SNR2


20 lgN2 2x
103.5
20
V
lg
103
N2
103.5
100次平均后，随机噪声的方差变为
10dB
N3
N2
100
10 4.5V
信噪比
SNR3
20lg x N3

20
lg
103 104.5
30dB
6-4应用题 1、求 x(t
)


Ae
at
0
(t 0, a 0) (t 0)
的自相关积分。
解 R( ) x(t)x(t )dt A2 eat ea(t )dt A2 ea
0
0
2a
2、求初始相角φ为随机变量的正弦函数x(t)=Acos(ωt+φ)的自相关
(5) 然后，通过平均器，对该信号取100个样本进行平均，于是， 信噪比增加到多少分贝？
解：(1) 随机噪声的自相关函数RN(τ)、功率谱SN及其均方值ψN2即
总功率之间的关系为：

2 N
RN (0)

S N ( f )df
10 10 10 6
10 4 V 2
随机噪声的有效值
(A) 加速度；(B) 速度；(C) 位移；(D) 相位
• 6.2填空题
• 1、若信号x(t)和y(t)满足y(t)=k x(t)+b的关系，其中k、b 均为常数，则其互相关系数ρxy(τ) =（ ＋1或－1 ）。
• 2、若随机信号x(t)和y(t)均值都为零，当τ→∞时，互相
关函数Ry(τ)=（0 ）。 • 3、正弦信号的自相关函数保留了信号的（幅值）信息
T /2
1
e j2πft
dt

2
T /2
cos2πftdt

T / 2
0
T sin πfT T sinc(πfT )
πfT
(3) 输出信号功率谱密度为：
S y ( f ) H( f ) 2 Sx ( f ) T sin c(π fT ) 2 S0 T 2S 0[sinc(πfT )]2
6 信号的分析和处理
• 6．1 单选题
• 1变、化信。号中若含有周期成分，则当τ→∞时，Rx(τ)呈( )
(A)衰减；(B)非周期；(C)2倍周期性；(D)同频周期性
• 2、两同频方波的互相关函数曲线是(
)。
(A)不是B、C或D；(B)方波；(C)三角波；(D)正弦波
• 3、相关系数ρxy的取值范围处于( )之间。 (A) 1和0；(B) +1和–1；(C) –1和0；(D)–∞和+∞。
函数，如果x(t)=Asin(ωt+φ)，Rx(τ)有何变化？
解
Rx
(
)

1 T
T x(t)x(t )dt A2
0
T
T
cos(t ) cos[(t ) ]dt
0
A2
T
cost cos(t
)dt

A2
2π 1 [cos cos(2t )]d(t)
• 4、当τ=0，自相关函数Rx(0)必为(
)。
(A)零；(B)无限大；(C)最大值；(D)平均值
• 5为、( 当τ→)∞。时，均值非零的随机信号的自相关函数Rx(τ)
(A)无穷大；(B)Ψx2；(C) 无穷小；(D)μx2
6、下面对线性系统的输入、输出间关系表述正确的是( )。 (A)Y(f)=|H(f)|2X(f)；(B)Sxy(f)= H(f) Sx(f)； (C)Sy(f)= |H(f)|Sx(f)；(D) Sxy(f)= Sx(f) Sy(f) 7、倒频谱函数是信号的( )描述。
H(s) 1 1 Ts
，当输入信号为
x解(t)=Asin2Hπ(f0ft)时 ，求1：(1)Sx(f);(2)Ry(τ);(3)Sxy(f);(4)Rxy(τ)。
1 j2πfT
(1) y(t) H ( f ) x(t t0 )
x0 1 (2πfT)2
s in(2πf 0 t
T0
2π 0 2
A2 cos
2
当x(t)=Asin(ωt+φ)时
Rx
(
)

1 T
T x(t)x(t )dt 1
0
T
T
sin(t )sin[(t ) ]dt
0
A2
T
cost cos(t )dt

A2
cos
T0
2
3、一线性系统，其传递函数为
幅为1V，频率为50Hz的正弦信号，求其输出的自相关函数及均方值。
解：
H ( j)
1

1

1
0.95
1 2 2
1 4π 2 f 2 2
1 4 3.142 1002 2
解得： 5.23104
于是，输出幅值
A
1
0.987
1 (5.23 104 )2 4 3.142 502
和（ 频率 ）信息，但是失去了相位的信息。
• 4、（相关系数 ）在时域表示两个信号之间相关的概率 大小。
• 5、（相关系数 ）在时域描述两个信号之间相关程度的 无量纲的函数。
6.3简答题
• 1、简述倒频谱分析方法与实际意义。
• 求倒频谱过程中，首先对输出的功率谱取对数，由于对 数加权，使信号便于识别。因为它是系统输入的功率谱 与频率响应函数的模的平方的乘积，所以通过取对数使 使输入信号的谱线与描述系统特性的谱线明显分开。然 后，进行傅立叶变换或傅立叶逆变换求得倒频谱，这样 得到了信号的时域(一般称为倒频域)描述，把频谱中的 周期成分以时间坐标显示出来，因此增强了对频谱的识 别能力
cos(2πf0 )
式中 arctan(2πfT)
（4）
Sxy ( f )

H( f )Sx ( f )

1
1 j2πfT

x02 4
[ ( f

f0) ( f

f0 )]

x02
[ ( f
4(1 j2πfT )

f0) (
f

f0 )]
4、已知限带白噪声的功率谱密度为

(60)sin(50 )
求该信号的均方值ψx2。 解：

2 x

Rx (0)

lim (60)sin(50 ) 0

lim 3000 sin(50 )
0
50
3000
6、求指数衰减函数x(t)=e-atcosω0t的频谱函数X(f) (a>0，t≥0)。 解 求单边指数函数
x0
sin(2πf0t)
x0
sin[2πf0 (t
)]dt

x02 2
cos(2πf0 )
Sx( f ) Sy(f )
F[Rx ( )] F[Ry ( )]
x02 4
4[1
[ ( f f0 )
x02
[
(2πfT)2 ]

(
( f
f
f
f0 )]
S
y
(
f
)

S0 0
求其自相关函数Rx(τ)。
解
Rx ( )

S
x
(
f
)e
j2 πf
df

B B
S
0
e
j2
πf
df
2S0
B
cos(2πf )df
0

S0
π
sin(2πB )
f B f B
2BS0 sin c(2πB )
5、已知信号的自相关函数
Rx
0)
(
f

f0 )]
或
Sy( f
)

H( f
) 2Sx( f )

x02
[ ( f
4[1 (2πfT)2 ]

f0) ( f

f0 )]
（3）
Rxy
(
)

1 T
T
0 x0 sin(2πf0t)
x0 1 (2πfT)2
sin[2πf0 (t
)
]dt
2
x02 1 (2πfT)2
xNrms

2 N

104 102 V
因为均值为零，所以有

2 N


2 N
于是，标准差
N

2 N
102 V
(2) 随着自相关函数自变量的增加，随 机成分衰减至零，正弦成分保持幅值和频 率的信息。合成信号的自相关函数的图形 如图所示。
(3) 正弦信号的标准差与其幅值A的关系为：
)
式中 arctan(2πfT)
Ry
(
)
ຫໍສະໝຸດ Baidu

1 T
T 0
x0 1 (2πfT)2
s in(2πf 0 t
)
x0 1 (2πfT)2
sin[2πf0 (t
) ]dt

2[1
x02 (2πf T) 2
]
cos(2πf0 )
(2)
Rx ( )

1 T
T 0
自相关函数
Rx
(
)

1 T
T Asin(t) Asin[(t )]dt A2 cos
0
2
0.987 2 cos(100 π ) 0.487 cos(314 )
2
均方值

2 x

Rx (0)

0.487
8
已知系统的脉冲响应函数h(t)

1, t 0, t
T T
/ 2; /2
,设输入谱密度为S0的白
噪声,求输出信号的功率谱密度,输出信号的均方值。(

0
s in 2 x2
xdx

π 2
)
解：
(1) 输入谱密度为S0的白噪声，所以输入信号的功率谱为Sx(f)=S0。 (2) 脉冲响应函数的频谱函数，即系统频响函数为：
H ( f )
h(t)e j2πft dt
• 2、如何确定信号中是否含有周期成分(说出两种方法)
• 做信号的自相关函数，当延时增大时，信号的用幅值不 衰减； 做信号的概率密度函数，含有周期成分时，曲 线呈盆形。
3、什么是互相关分析，它主要有什么用途？ 两个随机信号x(t)、y(t)的互相关函数定义为Rxy(τ)=E[x(t) y(t+τ)]