高中数学递推思想在解题中的应用例析

高中数学递推思想在解题中的应用例析

递推思想及递推方法常见于数列有关题目求解中，然而在实际中却有许多别的数学问题与此思想相结合形成一类“整合性问题”。解决这类问题时如果能融递推方法于题目之中，对学生的解题能力和创新能力的培养是大有裨益的。笔者下面结合教学实际举例说明几种常见情形的应用及求解。 一. 与有关函数问题的结合及求解

例1. 已知函数)]x (f [f )x (f ,x

1x

2)x (f 1n 1n 2

1-=-=，求)32(f 5-的值。 解析：依据条件21x 1x 2)x (f -=，联想到正切函数的二倍角公式θ

-θ

=θ2

tan 1tan 22tan ，于是条件函数式可写成θ-θ

=

θ21tan 1tan 2)(tan f θ=2tan 。所以由条件递推式)]x (f [f )x (f 1n 1n -=得：)32tan()2tan()(tan f 55θ=θ=θ，所以3)1532tan()15(tan f )32(f 55-=︒⨯=︒=-。

注：本题灵活的依据函数)x (f 1的结构联想三角函数关系式，类比三角函数的有关运算规则结合递推条件式，应用递推思想及方法使问题简易获解。

例2. 已知函数)x (f y =的图像是自原点出发的一条折线，当)N n (1n y n ∈+≤≤时，该图像是斜率为n b 的线段（其正常数1b ≠），设数列}x {n ，由n )x (f n =。)N n (*∈定义。

（1）求21x ,x 和n x 。

（2）求)x (f 的表达式，并写出其定义域。

解析：（1）要求n 21x ,,x ,x 只能紧扣题目定义n )x (f n =。探求1x 如下：当1y 0≤≤时，

1)x (f ,0)0(f ,1b 0x )0(f )x (f 1011====--，所以1x 1=。同理b 1x 1

x x )x (f )x (f 21212=-=--。所以b 1

1x 2+

=。同理

1n 1n n 1n 1n n 1n n b

1x x ,b x x )x (f )x (f -----=-=--，由此递推关系可求得：b

11b 11b 1b 1b 11x n

1n 2n --=

++++=- 。 （2）由n )x (f n =知：当1y 0≤≤时，x )x (f =，当1n y n +≤≤时，

)N n )(x x x )(x x (b n )x (f ,x x x *1n n n n 1n n ∈≤≤-+=≤≤++。（以下略）

例3. 设)x (f 是定义在非零自然数集上的函数，满足2)1(f =，对任意非零自然数x 有

2002x 999x )x (f )1

x 1

1()1x (f 2--+++

=+。求)2002(f 之值。 解：条件等式可转化为1001x 1

x )

x (f 2x )1x (f -=+-++，由此递推关系式可令

2001,,3,2,1x =得：100112)1(f 3)2(f -=-。2002

)

2001(f 2003)2002(f ,,100123)2(f 4)3(f -

-=- 10012001-=。把上述各式相加得：02

)

1(f 2003)2002(f =-。

将2)1(f =代入得：2003)2002(f =。

二. 与立体几何某些问题结合及应用

例4. 已知底面半径为r 的圆锥，轴截面的顶角为72

71

arccos ，一根绳子由0A 用最短的距离绕圆锥面一周至1A ，再由1A 用最短的距离绕圆锥面一周至2A …。如此下去，求所有绳

子长度的总和。

解：设轴截面顶角为α2，母线长为l ，侧面展开图中心角为θ，则72

71

arccos 2=α。所以121sin ,72712cos =α=

α，

又121l r sin ==α。而θ︒⋅=360l

r

，所以︒=θ30。图1中曲线10A A 长为图2中10B A 长，从0A 作010SB B A ⊥于1B ，作0011B A //A B 。再从1A 作221SB B A ⊥于2B ，作0022B A A B ⊥……，由~B B A ~B B A 121010∆∆……，所以θ=θ===c o s 1

c o s l l SB SB B A B A B A B A 1011002110，又θ=sin l B A 10，且θ===cos SB SB SA SA B A B A 0

1011021，所以θθ=θ=cos sin l cos B A B A 1021，同理 =θθ=θ=22132cos sin l cos B A B A 。其中1|cos |<θ，所以绳子长的总和为：

θ

-θ=+θθ+θθ+θ=++++++cos 1sin l cos sin l cos sin l sin l B A B A B A B A 21n n 322110 r )32(12)32(l 15cot l 2

cot

l +=+=︒=θ

=。

三. 与某些解析几何问题的结合及求解

例5. 在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线 ,l ,,l ,l n 21的直线族，使它们同时满足以下三个条件；

（1）点（1，1）)3,2,1n (l n =∈

（2）n n 1n b a K -=+，其中1n K +是直线1n l +的斜率，n a 与n b 分别是直线在x 轴和y 轴的截距),3,2,1n ( =；

（3）),3,2,1n (0K K 1n n =>⋅+。

解：假设存在这样的直线族，则n l 的方程为：)N n )(1x (k 1y *n ∈-=-分别令0y =，0

x =得n n n

n k 1b ,k 1

1a -=-

=，由

n n 1n b a k -=+得n

n 1n k 1k k -

=+，即

)N n (k 1k k n n 1n ++∈=

-，迭加得：)k 1k 1k 1(k k n

2111n +++-=+ ，由条件（2）可知，所有),3,2,1i (k i =同号。

当

0k n >时

，

由

0k 1

k k n

n 1n <-

=-+得

0k 1k 1n

1

n >>

+。所以