正方形的判定与性质

19.3.2正方形的判定与性质

一．选择题（共5小题）

1．下列说法错误的是（）

A．有一个角为直角的菱形是正方形

B．有一组邻边相等的矩形是正方形

C．对角线相等的菱形是正方形

D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

2．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）

A．1个B．2个C．4个D．无穷多个

3．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）

A．3 B．2 C．4 D．8

4．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）

A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm

5．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）

A．40 B．25 C．26 D．36

二．填空题（共4小题）

6．现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是_________（填写图形的形状）（如图），它的一边长是_________．

7．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为_________．

8．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是_________．

9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；

④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是_________

A、①④⇒⑥；

B、①③⇒⑤；

C、①②⇒⑥；

D、②③⇒④

三．解答题（共11小题）

10．如图，已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′．

求证：四边形A′B′C′D′是正方形．

11．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．

12．如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．

（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；

（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．

13．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．

（1）求证：BF=DE；

（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．

14．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．

（1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；

（2）若DG=6，求△FCG的面积；

（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．

15．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC 上移动，另一边交DC于Q．

（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；

（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．

16．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、ND分别交l2于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．

17．在正方形ABCD各边上一次截取AE=BF=CG=DH，连接EF，FG，GH，HE．试问四边形EFGH是否是正方形？

18．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．

（1）求证：AF﹣BF=EF；

（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；

（3）若AB=2，BP=1，求四边形EFGH的面积．

19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．

20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．

19.3.2正方形的判定与性质

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．下列说法错误的是（）

A．有一个角为直角的菱形是正方形

B．有一组邻边相等的矩形是正方形

C．对角线相等的菱形是正方形

D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

考点：正方形的判定．

分析：正方形：四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等，且互相垂直平分的平行四边形；

菱形：四条边都相等，对角线互相垂直平分的平行四边形；

矩形：四个角都相等，对角线相等的平行四边形．

解答：解：A、有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形．故本选项说法正确；

B、有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角．则该矩形为正方形．故本选项说法正确；

C、对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形．故本选项说法正确；

D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．故本选项说法错误；

故选D．

点评：本题考查了正方形的判定．正方形集矩形、菱形的性质于一身，是特殊的平行四边形．

2．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）

A．1个B．2个C．4个D．无穷多个

考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定．

专题：计算题．

分析：在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．

解答：解：无穷多个．如图正方形ABCD：

AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，

有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，

则EH=HG=GF=FE，

另外很容易得四个角均为90°

则四边形EHGF为正方形．

故选D．